由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳固性
由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性
2 众所周知，对于一个数字系数的一元二次方程ax+bx+c,0(a?0)，欲求其
解，可通过著名的求根公式
得到(当已知系数a、b、c是一些具有多位有效数字的近似数时，求二次方程根的其它技巧方法(比如因式分解方法)已不适用，只有借助于计算工具(计算机、计算器)或手算，按此求根公式求得近似根了(这在理论上是成熟的方法，应该说它是完美无缺的方法，但在实际应用中却完全不是那么回事(
在实际应用中，我们当然希望计算所得的结果，保留尽量多的有效数字(出于这一考虑我们需要对此求根公式做一些技术处理，这主要是指当,ac,即对于b甚小时，(1)式中的某一个右端分子将出现两个非常相近的数相减情况，得到一2
个很小的数，大大地损失掉已知数据中的宝贵的有效数字(其结果是使解答质量大打折扣，甚至严重失真，得不到我们所需要的信息(看如下例子:
-77 例1 我们以近似数x=8.143947×10，x=1.871211×11(x、x都具有71212位有效数字)作为两根，构造一元二次方程:
-77 (x-8.143947×10)(x-1.871211×11),0，
整理得(计算中仍保留7位有效数字)
27 x-8.143947×10?x+15.239043,0( (2)
下面我们利用求根公式重新计算这个构造出的方程的两根，计算中也保留7位有效数字，看看会发生什么情况，并做一些分析研究工作(
由求根公式(1)，得
7 即得x,8.143947×10，x,0( 12
这里x的值相当不错，但x的值已严重失真，可以说是面目全非了(实际12
上它已不满足原方程了(注意，我们构造二次方程(2)时，x保留有7位有效数字，2
但由构造出的方程复原x时，有效数字丧失殆尽～出现这种情况的原因，不难发2
现，是由于用求根公式(1)求x时，分子出现了两个非常相近的数，8.143947×2
710与
为了避免上述不利情形的出现，我们需要将求根公式(1)作一改动，成为
按公式(3)计算x可以有效地避免两个十分相近的数作减法，有效数字得以2
保存(公式(3)是将公式(1)的右端分子有理化所致(当然，在初等数学中，求根公式(3)不及公式(1)正规，或曰漂亮，因为在中学数学中，当一个
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的答案分母中含有根式时，人们习惯于将分母有理化，使根式集中于分子(这里的求根公式(3)有些违背习惯(但正是这个(3)式，在应用上有其不容置疑的优点(比如，用它计算例1中的解x，有 2
-7 ,1.871211×10，
它仍然保留了7位有效数字(
如此，求根公式(3)具有非常明显的优点(注意，我们解方程(2)的数值解时，是用公式(1)的第一式计算x，用公式(3)的第二式计算x(正如不宜用公式(1)两12
式统一计算根一样，也不宜用公式(2)两式统一计算根(你瞧，用公式(3)第一式计算x有 1
x之值不唯不精确，而且更糟糕，分母为0，计算成为不可能～1
总结我们的分析，对例1，一次项系数b为负值，求其两根的计算公式(求根公式)为
对于一次项系数b为正值情况，求根公式应该取为
实用中，选取公式(4)或(5)的原则是:尽量避免出现两个相近数相减，以保存尽可能多的有效数字位(
善于观察的读者，一定会发现公式(4)、(5)与(1)、(3)相比无甚高明之处，它们只不过是在公式(1)、(3)的基础上用了一下韦达定理，即在x求出的基础上按1
关系x,1/x计算x而已(但正是这样一处变化，却解决了此类数值计算的“稳212
定性”问题，使之成为一个好算法(
为了解决某个数值问题，需要选择一个算法(算法就是解题的公式、方法、程序系统(算法当然首先要有正确的理论基础与可行性，但除此之外还必须具有稳定性，即计算结果误差对于初始数据的微小变动(比如产生不可避免的误差)具有稳定性，后者的微小变动不至于使前者产生极大误差而失真(上面求例1根的
算法，用公式(1)的就不是稳定的算法，而按公式(4)或(5)的算法就是稳定的，是足可放心的算法(
有关算法稳定性的概念及应用，在中学数学中也多有涉及，这一内容虽不宜向中学生过早介绍，但作为一名数学教师，也是有必要了解一些的(
例2 已知某直线l的方程y,ax+b，请在直角坐标系中绘出该直线(
当然，两点之间可以确定一条直线，任意取两横坐标值x、x，由方程可计12算出相应的纵坐标y、y，得直线上两点只P(x，y)、P(x，y)(在直角坐标21112221
系中“点”出这两点，连结之，就得到所求作的直线,(但这应使P、P距离12不至于过小，因为太小时，由于“点”的位置误差可给直线带来相当大的误差(图1中，由两点P、P确定的直线是,，但由于P有误差到P′点，确定的直线1222
变到,，有相当大的误差(图1中由P、P3也可确定直线,，PP3较大，P3111虽有误差(与P的相同)偏到P3′，但P、P3′确定的直线,，误差就相对小得212
多(
设l、l分别为方程组之第1、2两方程代
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
的直线(图解法的解题思路是在12
直角坐标系下，绘出l、l的图形，找到它们的交点，图2中是点(x，y(), 此1200
即为原方程组的解(但如果确定直线l的两点取得太近，则作图误差就较大，l11偏离到l′，同样绘出的直线l也偏离到l′位置，则题目最终得到的解是l′、1221l′的交点P′(x′、y′)(在纸外，未画出)(它与精确值偏离相当的远，可能2000
对于实际问题而言，已经完全失去了使用价值，得不到我们所需要的信息(为了提高解答的精确度，当初在作出直线l(及l)时选择其上的两点应该足够地“远”(12
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