解题方法及提分突破训练：配方法专题

解题方法及提分突破训练：配方法专题 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用． 运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式． 一  真题链接 1. （2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（  ） A、（x-2）2+3 B、（x+2）2-4 C、（x+2）2-5 D、（x+2）2+4 2.（2011辽宁本溪，4，3分）一元二次方程 的根（  ） A．         B．             C．             D． 3. （2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程 时，原方程应变形为（    ） A．         B．         C．         D． 4. （2011江苏南京，19，6分）解方程x2﹣4x+1=0． 二  名词释义 把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式 可以将一元二次方程化为形如 的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式 ． 例 解方程 ． 解：方程两边都除以2，得 ，移项，得 ， 配方，得 ，即 ．开方，得 ． 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤： 1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1； 2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为 的形式； 4．若 ，用“直接开平方法”解出；若 ，则原方程无实数根即原方程无解． “配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用． 三  典题示例 1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用 在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。 例1、求二次根式 中字母 的取值范围 分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。 解： 因为无论 取何值，都有 。 所以 的取值范围是全体实数。 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。 2．配方法在化简二次根式中的应用 在二次根式的化简中，也经常使用配方法。 例2、化简 分析：题中含有两个根号，化简比较困难，但根据题目的结构特征，可以发现 可以写成 ，从而使题目得到化简。 解： 点评： 的题型，一般可以转化为 （其中 ）来化简。 3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用 在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。 例3、不管 取什么实数， 的值一定是个负数，请说明理由。 分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“ +负数”的形式。 解： ∵ ，∴ 。 因此，无论x取什么实数， 的值是个负数。 点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“ +负数”的形式来证明。 例4、不管x取什么实数， 的值一定是一个正数，你能说明理由吗？ 分析：要证 一定是一个正数，只要把它化为“ +正数”的形式即可。 解： ∵ ，∴ 因此，不管x取什么实数， 的值一定是个正数。 点评：证明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成 “ +正数”的形式来证明。 4．配方法在解某些二元二次方程中的应用 解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。 例5、解方程 。 分析：本题看上去是一个二元二次方程的问题，实质上它是一个非负数问题。 解：由 整理为 ∵ ， ，∴ ， ， ∴ ， 。 点评：把方程 转化为方程组 问题，把生疏问题转化为熟悉问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。 5．配方法在求最大值、最小值中的应用 在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们很跨求出所要求的最值。 例6、若 为任意实数，求 的最小值。 分析：求 的最小值，可以先将它化成 ，根据 ，求得它的最小值为3。 解： ∵ ，∴ ， 因此， 的最小值为3。 点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。 例7、若 为任意实数，求 的最大值。 分析：求 最大值，可以先将它化成 ，然后根据 ，求得它的最大值为9。 解： ∵ ，∴ 因此 有最大值为9。 点评：求二次三项式的最大值或最小值，可以先将它们化成 的形式，然后再判断，当 时，它有最小值 ；当 时，它有最大值 。 6．配方法在一元二次方程根的判别式中的应用 配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，并且也是解决其他问题的方法，其用途相当广泛。在一元二次方程根的判别式中也经常要应用到配方法。 例8、证明：对于任何实数 ，关于 的方程 都有两个不相等的实数根。 分析：由于方程中含有字母系数 ，而要证明的是方程有两个不相等的实数根，只需证明判别式恒大于零即可。 解： ∵ ， ∴ ，即 。 ∴方程有两个不相等的实数根。 点评：利用判别式证明方程根的情况是一种常见的题型，其实质上判断判别式的正负，一般都可以利用配方法解决。 例9、试判断关于 的方程 的根的情况。 分析：由于方程中含有字母系数 ，要判别方程根的情况，实质上是要判断判别式的正负。 解： ∵ ，∴ ， ∴方程没有实数根。 点评：要判断方程根的情况，其实质上判断判别式的正负，而判断判别式的正负，最常用的方法就是配方法。 7．配方法在恒等变形中的应用 配方法在等式的恒等变形中也经常用到，特别是含有多个二次式时，经常把他们分别配方，转变为平方式。然后再进行解决。 例10、已知 又知 、 、 为三角形的三条边，求证：该三角形是等边三角形。 分析：题中 分别含有 、 、 的二次式，提醒我们不妨利用配方法进行解答。 证明：∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ， ， ∴ ， ， ，∴ 。 ∴三角形是等边三角形。 点评：配方法在等式恒等变形中的应用，经常会让我们收到意想不到的效果。 四  巩固强化 1.若代数式 ， ，则 的值（  ） Ａ．一定是负数        Ｂ．一定是正数        Ｃ．一定不是负数    Ｄ．一定不是正数 2．分解因式： ． 3．若实数 满足 ，则 的值是（  ） Ａ．         Ｂ．         Ｃ．         Ｄ． 4.．多项式 的最小值是（  ） Ａ．1        Ｂ．         Ｃ．         Ｄ． 5．证明方程 没有实数根． 6. （2011清远，18，5分）解方程：x2－4x－1＝0． 7. （2011江苏无锡，20，8分）（1）解方程：x2+4x﹣2=0；          五  参考答案 真题链接答案： 1.考点：配方法的应用． 专题：配方法． 分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算． 解答：解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5， 故选C． 点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中． 2.考点：解一元二次方程-配方法。 专题：计算题。 分析：运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可． 解答：解：原方程左边配方，得 ， ∴ 故选D． 点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3.考点：解一元二次方程-配方法． 分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 解答：解：由原方程移项，得x2-2x=5， 方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得x2-2x+1=6∴（x-1）2=6． 故选C． 点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4.考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法。 分析：将原方程转化为完全平方的形式，利用配方法解答或利用公式法解答． 解答：解：（1）移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， （x﹣2）2=3， 由此可得x﹣2=± ， x1=2+ ，x2=2﹣ ； （2）a=1，B=﹣4，c=1． B2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0． x= =2± ， x1=2+ ，x2=2﹣ ． 点评：此题考查了解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用． （1）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． （2）选择公式法解一元二次方程时，找准a、B、c的值是关键． 巩固强化答案 1.解：（作差法） ．故选Ｂ． 说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小. 2.解： ． 说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式． 3.解：对已知等式配方，得 ，∴ ． ∴ ．故选Ｃ． 说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 4.解： ．故选Ｄ． 说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 5.证明： ， 即对所有实数 ，方程左边的代数式的值均不等于 ，因此，原方程没有实数根． 6.考点：解一元二次方程-配方法. 专题：配方法. 分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 解答：解：∵x2－4x－1＝0，∴x2－4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x－2）2＝5，∴x＝2± ，