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专转本数学历年真题.doc

专转本数学历年真题

叶可可可可可
2017-10-08 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《专转本数学历年真题doc》,可适用于成人教育领域

专转本数学历年真题年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共小题每小题分共分)、下列各极限正确的是()xxlim(),eA、B、C、D、xxlim(),elimsin,limsin,,,x,x,,x,xxxxxdx,、不定积分(),,xcA、B、C、D、arcsinxarcsinxc,x,x'''f(x),f(x),,,,、若且在内、则在内必有()f(x),f(,x)(,,,)''''''f(x),f(x),f(x),f(x),A、,B、,''''''f(x),f(x),f(x),f(x),C、,D、,x,dx,、(),A、B、C、,D、xy,x、方程在空间直角坐标系中表示()A、圆柱面B、点C、圆D、旋转抛物面二、填空题(本大题共小题每小题分共分)t,x,tedy、设则,,t,dxytt,,'''y,yy,、的通解为xdxf(x,y)dy,、交换积分次序,,xy、函数的全微分z,xdz,、设为连续函数则f(x)f(x)f(,x)xxdx,,,三、计算题(本大题共小题每小题分共分),x、已知求arctanln()cosdyy,xxtxedt,,、计算lim,xxsinx(x,)sinxf(x),、求的间断点并说明其类型x(x,)lnydy、已知yx求,x,,y,xdxxedx、计算x,ek、已知dx求的值,k,,,x'y,ytanx,secx、求满足的特解y,x,Dsinydxdy、计算是、、围成的区域y,y,x,x,,,Dy,f(x)xy,,、已知过坐标原点并且在原点处的切线平行于直线若'f(x),axb且f(x)在处取得极值试确定a、的值并求出y,f(x)的表达式x,bx,z,z(,)z,fx、设f其中具有二阶连续偏导数求、,x,yy,x四、综合题(本大题共小题第小题分第小题分第、小题各分共分)y,x,、过作抛物线的切线求P(,)()切线方程y,x,()由切线及轴围成的平面图形面积xy()该平面图形分别绕轴、轴旋转一周的体积。xf(x),,x,其中具有二阶连续导数且、设g(x),f(x)f(),,x,ax,,()求使得在处连续g(x)ax,'g(x)()求'f(x),,,c、设在上具有严格单调递减的导数且试证明:f(x)f(),对于满足不等式的、有f(a)f(b),f(ab)a,a,b,ab,cb、一租赁公司有套设备若定金每月每套元时可全租)dx,f(x)CC、D、,,xy,arctane、若则()dy,xxeedxdxA、B、C、D、dxdxxxxxeeee、在空间坐标系下下列为平面方程的是()xyz,,yxzy,xA、B、C、==D、xz,,xyz,,,,,,、微分方程yyy,的通解是()xx,xx,xy,cecey,ccxey,cecey,ccosxcsinxA、B、C、D、,,,,,、已知f(x)在内是可导函数则(f(x),f(,x))一定是()A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、不能确定奇偶性xIdx,I、设则的范围是(),xI,,I,,I,A、B、C、D、I,,p、若广义积分收敛则应满足()dxp,xA、B、C、D、,p,p,,p,p,x,e、若则是的()fxf(x),x,xeA、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点二、填空题(本大题共小题每小题分共分)xy,e,e,sin(xy)、设函数是由方程确定则y,y(x)y,x,x、函数的单调增加区间为f(x),xextanxdx,、,,xx,eyy,y,、设满足微分方程且则y(),y(x)edyfx,ydx,、交换积分次序y,,e三、计算题(本大题共小题每小题分共分)xtanxlim、求极限xx,ttsintdt,x,acosttsint,dy、已知求,,t,dxy,asint,tcost,,z,zz,lnxxy、已知求,y,x,x,,x,,xfx,dx、设求f(x),,,,,x,xe,xx,、计算dxxydydxxydy,,,,sinx,y,cosxy,e、求满足的解y(),arcsinxx、求积分dx,,x,,xx,x,,fx,且fx在点连续求:()的值()fx、设x,k,,k,x,,四、综合题(本大题共小题第小题分第小题分第小题分共分)f(x),x,x、从原点作抛物线的两条切线由这两条切线与抛物线所围成的图形记为X求:()的面积()图形绕轴旋转一周所得的立体体积SSS,,、证明:当时成立,,x,,,cosxx,PC(x),xx、已知某厂生产x件产品的成本为(元)产品产量x与价格之间的关系为:(元)P(x),,x求:()要使平均成本最小应生产多少件产品,()当企业生产多少件产品时企业可获最大利润并求最大利润年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共小题每小题分共分)fxhfxh,,()()'、已知则(),limf(x),h,h,A、B、C、D、'F(x),f(x)、若已知且连续则下列表达式正确的是()f(x)dF(x)dx,f(x)cA、B、F(x)dx,f(x)c,,dxdf(x)dx,F(x)cC、D、F(x)dx,f(x),,dx)、下列极限中正确的是(xxx,sinarctanxlim,,limx,A、B、C、D、lim,lim,x,x,,x,,x,x,xx、已知则下列正确的是()y,ln(xx)dydx,A、B、y',xdxxxdydx,y',C、D、xxx、在空间直角坐标系下与平面xyz,垂直的直线方程为()xyz,,xyz,,A、B、,xyz,,,C、xyz,D、x,,y,,z,、下列说法正确的是(),,A、级数收敛B、级数收敛,,nnn,,nnn,,(,)n!C、级数绝对收敛D、级数收敛,,n,n,n、微分方程满足的解是y''y,y,y',x,x,A、B、y,ccosxcsinxy,sinxy,cosxy,ccosxC、D、sinax,x,,x,、若函数f(x),x,为连续函数则、满足ab,,ln(,x)x,,bx,A、、为任何实数B、ab,a,bC、、D、b,,a,a,b,二、填空题(本大题共小题每小题分共分)xyln(xy),e、设函数由方程所确定则y,y(x)y',x,y,f(x),x,xx、曲线的凹区间为、x(xsinx)dx,,,y,ydyf(x,y)dxdyf(x,y)dx,、交换积分次序,,,,三、计算题(本大题共小题每小题分共分),cosx、求极限lim(x)x,,,x,,、求函数的全微分z,tan,,y,,xlnxdx、求不定积分,,,sin、计算d,,,,cos,xxy',y,xe、求微分方程的通解,x,ln(t)dydy、已知求、,dxdxy,t,arctant,sin(x,)f(x),、求函数的间断点并判断其类型x,Dxy,x、计算二重积分其中是第一象限内由圆及直线y,(,xy)dxdy,,D所围成的区域四、综合题(本大题共小题第小题分第小题分第小题分共分)y,x,x、设有抛物线求:X(i)、抛物线上哪一点处的切线平行于轴,写出该切线方程Y(ii)、求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积X(iii)、求该平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积x,、证明方程在区间内有且仅有一个实根xe,、要设计一个容积为立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价:侧面是底面的一半而盖V又是侧面的一半问油桶的尺寸如何设计可以使造价最低,五、附加题(级考生必做级考生不做)f(x),、将函数展开为x的幂级数并指出收敛区间。(不考虑区间端点)(本小题分)x、求微分方程y'',y',y,x的通解。(本小题分)年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共小题每小题分满分分),,,,xx,,、(),是:()fx,xx,,,,,A、有界函数B、奇函数C、偶函数D、周期函数、当时是关于的()xx,sinxx,A、高阶无穷小B、同阶但不是等价无穷小C、低阶无穷小D、等价无穷小xLy,x,e、直线与轴平行且与曲线相切则切点的坐标是()xA、,B、,,C、,,D、,Rxy,R、设所围的面积为则的值为()R,xdxS,SSA、B、C、D、SSxu(x,y),arctanv(x,y),lnxy、设、则下列等式成立的是()y,u,v,u,v,u,v,u,v,,,A、B、C、D、,,x,y,y,x,y,y,x,xx,y'',y'y,xey、微分方程的特解的形式应为()xxxx(AxB)ex(AxB)eA、B、C、D、AxeAxe二、填空题(本大题共小题每小题分满分分)xx,,f(x),limf(x),、设则,,x,,x,,、过点M(,,,)且垂直于平面的直线方程为xy,z,'f(),f(x),x(x)(x)?(xn)、设则n,Narcsinx、求不定积分dx,,,x,x、交换二次积分的次序dxf(x,y)dy,,,xn,x,()、幂级数的收敛区间为,n,n三、解答题(本大题共小题每小题分满分分)x、求函数的间断点并判断其类型f(x),sinxx(tant,sint)dt,、求极限limxx,(e,)ln(x)dyyy,xe,、设函数由方程所确定求的值y,y(x)x,dxxe'xf(x)dx、设的一个原函数为计算f(x),x,dx、计算广义积分,,xx,z,z、设z,f(x,y,xy)且具有二阶连续的偏导数求、,x,y,xsinyDy,xy,xdxdy、计算二重积分其中由曲线及所围成,,yD、把函数展开为的幂级数并写出它的收敛区间f(x),x,x四、综合题(本大题共小题每小题分满分分),,,sinx,、证明:并利用此式求xf(sinx)dx,f(sinx)dxxdx,,,cosxxtf(t)dt,xf(x)、设函数可导且满足方程求f(x)f(x),、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧甲城位于岸边乙城离河岸公里乙城在河岸的垂足与甲城相距公里两城计划在河岸上合建一个污水处理厂已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里、元。问污水处理厂建在何处才能使铺设排污管道的费用最省,年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共小题每小题分满分分)、是的()f(x),xsinx,xA、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点、若是函数的可导极值点则常数()a,y,x,ln(ax)x,,A、B、C、D、,f(x)dx,F(x)Csinxf(cosx)dx,、若则(),,A、B、C、D、F(sinx)C,F(sinx)CF(cos)C,F(cosx)CDDxoyD、设区域是平面上以点、、为顶点的三角形区域区域是A(,)B(,,)C(,,,)(xycosxsiny)dxdy,在第一象限的部分则:(),,DA、B、(cosxsiny)dxdyxydxdy,,,,DDC、D、(xycosxsiny)dxdy,,Dxu(x,y),arctanv(x,y),lnxy、设则下列等式成立的是()y,u,v,u,v,u,v,u,v,,,A、B、C、D、,,x,y,y,x,y,y,x,x,,uu、正项级数()、()则下列说法正确的是(),,nnn,n,A、若()发散、则()必发散B、若()收敛、则()必收敛C、若()发散、则()可能发散也可能收敛D、()、()敛散性相同二、填空题(本大题共小题每小题分满分分)x,xeex,,lim,、x,xsinx,,,、函数在区间,e上满足拉格郎日中值定理的f(x),lnx,,x,、,,,x,,,,、设向量,,,,,、,,,,k、互相垂直则,,k,,x、交换二次积分的次序dxf(x,y)dy,,,,x,n(n,)x、幂级数的收敛区间为,n,三、解答题(本大题共小题每小题分满分分)f(x)sinx,x,,'Rf(),、设函数在内连续并满足:、求F(x),f(),a,xx,,a,x,cost,dydy、设函数由方程所确定求、y,y(x),y,sint,tcostdxdx,tanxsecxdx、计算,arctanxdx、计算,,z,zz,f(sinx,y)、已知函数其中f(u,v)有二阶连续偏导数求、,x,y,xx,yzL:,,、求过点A(,,,)且通过直线的平面方程xf(x),、把函数展开为x的幂级数并写出它的收敛区间,x,x'xxyy,e,y,e、求微分方程满足的特解x,四、证明题(本题分)、证明方程:在,,上有且仅有一根,,x,x,五、综合题(本大题共小题每小题分满分分)、设函数的图形上有一拐点在拐点处的切线斜率为又知该函数的二y,f(x)P(,),''y,xa阶导数求f(x)y,x、已知曲边三角形由、、所围成求:y,x,)、曲边三角形的面积(X()、曲边三角形饶轴旋转一周的旋转体体积uuF(u),dyf(x)dx、设f(x)为连续函数且f(),(u,),,y()、交换F(u)的积分次序'F()()、求年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题(本大题共小题每小题分满分分)xf()x,lim、若则()lim,x,x,xx()fA、B、C、D、,,xsinx,、函数在处()f(x),x,,x,x,,A、连续但不可导B、连续且可导C、不连续也不可导D、可导但不连续,,,,、下列函数在上满足罗尔定理条件的是()xy,ey,,xA、B、C、D、y,,y,xxx'f(x)dx,eCf(,x)dx,、已知则(),,,x,x,x,xA、B、C、D、eCeC,eC,eC,u、设为正项级数如下说法正确的是(),nn,,,unuulim,llimu,A、如果则必收敛B、如果(,l,,)则必收敛,,nnn,,nn,un,n,n,,,,nuu(,)uuC、如果收敛则必定收敛D、如果收敛则必定收敛,,,,nnnnn,n,,n,nD,{(x,y)|xy,,y,}、设对一切x有f(,x,y),,f(x,y){(x,y)|xy,,x,,y,}D,f(x,y)dxdy,则(),,DA、B、C、D、f(x,y)dxdyf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy,,,,,,DDD二、填空题(本大题共小题每小题分满分分)、已知时与是等级无穷小则a(,cosx)a,x,xsinxA,x,xx,x、若limf(x),A且在处有定义则当时在处连f(x)f(x)x,x续'、设在,,上有连续的导数且则,f(x)f(),f(x)dx,xf(x)dx,,,a,b、设则a,a,(ab),,uxy、设u,esinx,,xD、dxdy,其中为以点、、为顶点的三角形区域O(,)A(,)B(,),,D三、解答题(本大题共小题每小题分满分分)x,、计算limx,x,,x,ln(t)dydy、若函数是由参数方程所确定求、y,y(x),dxdxy,t,arctant,lnxdx、计算,x,、计算xcosxdx,'xy,xy,y、求微分方程的通解、将函数f(x),xln(x)展开为的幂函数(要求指出收敛区间)xM(,,,)x,yz,,x,yz,,、求过点且与二平面、都平行的直线方程,z,zz,xf(x,xy)f(u,v)、设其中的二阶偏导数存在求、,y,x,y四、证明题(本题满分分)x,x,、证明:当时x,五、综合题(本大题共小题每小题分满分分)、已知曲线过原点且在点处的切线斜率等于求此曲线方程y,f(x)(x,y)xyy,,xy,x、已知一平面图形由抛物线、围成()求此平面图形的面积y()求此平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积,f(x)dxdyt,,,,Dg(t)、设,其中是由x,t、以及坐标轴围成的正方形区域ty,t,tDt,at,,函数连续f(x)()求的值使得g(t)连续a'g(t)()求年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共小题每小题分满分分)fx()、若则()lim,limxf(),x,x,,xxA、B、C、D、nnxln(x)、已知当时是的高阶无穷小而又是的高阶无穷sinxsinxx,,cosx小则正整数()n,A、B、C、D、'f(x),、设函数则方程的实根个数为()f(x),x(x,)(x,)(x,)A、B、C、D、'f(x)dx,、设函数的一个原函数为则()f(x)sinx,A、B、C、D、cosxCcosxCcosxCsinxCx'f(x),sintdtf(x),、设则(),A、B、C、D、sinxxsinxxcosxxsinx、下列级数收敛的是()nnn,,,,(,)(,)nA、B、C、D、,,,,nnnn,,,nnnn,二、填空题(本大题共小题每小题分满分分),x,(kx)x,、设函数f(x),在点处连续则常数x,k,,,x,,y,xxy,xm、若直线是曲线的一条切线则常数m,、定积分的值为,x(xcosx)dx,,,,,,,,、已知均为单位向量且则以向量为邻边的平行四边形的面积为ab,,a,babx、设z,则全微分dz,yxxy,CeCe、设为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解则该微分方程为三、解答题(本大题共小题每小题分满分分)xex,,lim、求极限x,xtanxdydyxye,e,xy、设函数由方程确定求、y,y(x)x,x,dxdx,xxedx、求不定积分,x,、计算定积分dx,x,z、设z,f(xy,xy)其中具有二阶连续偏导数求f,x,y'xy,y,x、求微分方程满足初始条件的特解y,x,xyz,,、求过点(,,)且垂直于直线的平面方程,x,yz,,D,,,(x,y)|xy,x,y,、计算二重积分其中xydxdy,,D四、综合题(本大题共小题每小题分满分分)y,,x、设平面图形由曲线()及两坐标轴围成x,()求该平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积xy,a()求常数的值使直线将该平面图形分成面积相等的两部分af(x),axbxcx,、设函数具有如下性质:()在点的左侧临近单调减少x,,()在点的右侧临近单调增加x,,()其图形在点的两侧凹凸性发生改变(,)试确定的值acb五、证明题(本大题共小题每小题分满分分)bbbxyxxadyf(x)edx,(e,e)f(x)dx、设证明:b,a,,,,aya(x,)lnx,(x,)、求证:当时x,年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共小题每小题分满分分)、设函数在上有定义下列函数中必为奇函数的是()f(x)(,,,,)y,xf(x)A、B、y,,f(x)C、D、y,,f(,x)y,f(x)f(,x)、设函数可导则下列式子中正确的是()f(x)f(xx),f(x)f(),f(x)''A、B、lim,f(x)lim,,f()x,x,xxf(x,x),f(x,,x)f(x,,x),f(x,x)''C、D、lim,f(x)lim,f(x),,x,x,,x,x'f(x),tsintdt、设函数f(x)则等于(),xA、B、C、D、xsinxxsinx,xsinx,xsinx,,,,a,(,,)b,(,,)、设向量则等于()abA、()B、(,,)C、(,)D、(,,)y、函数z,ln在点()处的全微分为()dzxA、B、C、D、,dxdydxdydx,dy,dx,dy'''yyy,、微分方程的通解为(),x,x,x,xy,ceceA、B、y,cecex,xx,xy,ceceC、D、y,cece二、填空题(本大题共小题每小题分满分分)x,f(x),、设函数则其第一类间断点为x(x,)ax,x,,,、设函数f(x),在点处连续则,ax,tanx,x,,xy,x,xx、已知曲线则其拐点为f(x)dx、设函数的导数为且则不定积分,f(),f(x)cosx,sinx、定积分的值为dx,,xn,x、幂函数的收敛域为,nn,n,三、计算题(本大题共小题每小题分满分分)x,x、求极限:lim(),,xxx,t,sint,,dydy,、设函数由参数方程所决定求y,y(x)t,n,,n,Z,dxdxy,,cost,,xdx、求不定积分:,xxedx、求定积分:,、设平面经过点A()B()C()求经过点P()且,与平面垂直的直线方程,,zy、设函数其中f(x)具有二阶连续偏导数求z,f(xy,),x,yxxdxdy、计算二重积分其中D是由曲线直线y,x,x,及y,所围成的平y,,,xD面区域'xy,yx、求微分方程的通解四、综合题(本大题共小题每小题分满分分)、求曲线的切线使其在两坐标轴上的截距之和最小并求此最小值y,(x,)xy,xy,x、设平面图形由曲线与直线所围成x,()求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积x()求常数使直线将该平面图形分成面积相等的两部分ax,a五、证明题(本大题共小题每小题分满分分),,,a、设函数f(x)在闭区间(a,)上连续且f(),f(a),f(a)证明:在开区间(,a)上至少存在一点使得f(,),f(,a),x(,x)e,、对任意实数x证明不等式:年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共小题每小题分满分分)xaxblim,、已知则常数的取值分别为()a,bx,x,B、C、D、A、a,,,b,,a,,,b,a,,,b,a,,,b,,x,xf(x),、已知函数则为的f(x)x,x,A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、震荡间断点,x,,,、设函数在点处可导则常数的取值范围为()f(x),,x,,,xsin,x,,x,A、B、C、D、,,,,,,,,,,x、曲线y,的渐近线的条数为()(x,)A、B、C、D、'f(x)dx,、设是函数的一个原函数则()F(x),ln(x)f(x),A、B、C、D、CCCCxxxx,n,、设为非零常数则数项级数(),,nn,A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性与,有关二、填空题(本大题共小题每小题分满分分)xx、已知则常数lim(),C,x,,xC,x't,(x),(x),tedt、设函数则,,,,,,,a,(,,,)b,(,,,)a、已知向量则ab与的夹角为,zxzyz,、设函数由方程所确定则,z,z(x,y),xn,anx(a,)、若幂函数的收敛半径为则常数a,,nn,(x)ydx,(,y)xdy,、微分方程的通解为三、计算题(本大题共小题每小题分满分分)xlim、求极限:x,x,sinx,ln()xt,dydy,、设函数由参数方程所确定求y,y(x),dxdxy,tt,,sinxdx、求不定积分:,x、求定积分:dx,,xy,xz,、求通过直线,,且垂直于平面的平面方程xyz,D,{(x,y),x,,x,y,,xy,}yd,、计算二重积分其中,,D,z、设函数z,f(sinx,xy)其中f(x)具有二阶连续偏导数求,x,y''y,y,x、求微分方程的通解四、综合题(本大题共小题每小题分满分分)f(x),x,x、已知函数试求:)函数的单调区间与极值(f(x)()曲线的凹凸区间与拐点y,f(x)()函数在闭区间上的最大值与最小值f(x),,y,xy,x、设D是由抛物线和直线所围成的平面区域D是由抛物线和x,a,y,直线及所围成的平面区域其中试求:x,a,x,y,,a,y()D绕轴旋转所成的旋转体的体积V以及D绕轴旋转所成的旋转体的体积VxDD()求常数的值使得的面积与的面积相等a五、证明题(本大题共小题每小题分满分分),x,,e,x,f(x)、已知函数证明函数在点处连续但不可导f(x)x,,x,x,,、证明:当时xlnx,xx,,x,年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题(本大题共小题每小题分满分分)ngxax(),an,设当时函数与是等价无穷小则常数的值为()fxxx()sin,,x,ABCDan,,,an,,,an,,,an,,,xx,y,曲线的渐近线共有()xx,A条B条C条D条t,设函数则函数的导数等于(),()x,()x,,()cosxetdt,xxxxxcosxex,cosxex,excosABCD,cosxex下列级数收敛的是()n,,,,nn(),nABCD,,,,nnnnn,n,,n,nny二次积分交换积分次序后得()dyfxydx(,),,xx,ABdxfxydy(,)dxfxydy(,),,,,x,CDdxfxydy(,)dxfxydy(,),,,,x,fxxx(),,设则在区间内()(,)A函数fx()单调增加且其图形是凹的B函数fx()单调增加且其图形是凸的C函数fx()单调减少且其图形是凹的D函数fx()单调减少且其图形是凸的二、填空题(本大题共小题每小题分满分分)xxlim(),,,xx,fxfx()(),,,若f(),则lim,x,xxdx定积分的值为,,xabk,,(,,),(,,)ab设若与垂直则常数k,设函数则zxy,lndz,x,y,n,(),nx幂级数的收敛域为,nn,三、计算题(本大题共小题每小题分满分分)、求极限,lim()x,xxxtandydyxyyex,,、设函数由方程所确定求yyx,()dxdxxxdxarctan、求不定积分,xdx、计算定积分,xxt,,,yt,、求通过点且与直线垂直又与平面平行的直线的方程。(,,)xz,,,,,zt,,,zxzyfxye,(,)、设其中函数具有二阶连续偏导数求f,,xyyx,xdxdyxy,,、计算二重积分其中D是由曲线直线及x轴所围成的闭区域。,,Dx,x"'ye,ypyqy,ye,、已知函数和是二阶常系数齐次线性微分方程的两个解试"'xypyqye,p,q确定常数的值并求微分方程的通解。四、证明题(每小题分共分)x,、证明:当时ex,x,,()x,,,,x,、设其中函数在处具有二阶连续导数且,()x,fx()x,x,,,,x,,',,(),(),,证明:函数在处连续且可导。fx()x,五、综合题(每小题分共分)yxx,,()yaa,,,()、设由抛物线直线与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周yxx,,()Va()yaa,,,()所形成的旋转体的体积记为由抛物线直线与直线x,Va()VaVaVa()()(),所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为另试求常数的值使Va()取得最小值。a'fx()'xy,fxfxe()(),、设函数fx()满足方程且f(),记由曲线与直线fx()lim()Atyxtt,,,,()及y轴所围平面图形的面积为At()试求t,,年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案、C、D、B、D、A、xy,e(CcosxCsinx)、其中、为任意实数CCyy,yyxdxxlnxdy、、、dyf(x,y)dxdyf(x,y)dxyy,,,,x,,lnx,,、、dy,,dx,x,,xx,,、是第二类无穷间断点是第一类跳跃间断点是第一类可去间断点x,,x,x,xxxxeee,exxdx,dx,e,ln(e)C、、、,x,xee,,,tanxdx,tanxdxxC,lncosxlncosx,,,,、y,esecx,edxC,esecx,edxC,,,,,cosxCxyCy,,,,,,x,coscosxycos,sin、解:原式ydydx,,,,'、解:“在原点的切线平行于直线”,即xy,,f(x),,b,,x,b'f(),又由在处取得极值得即得f(x)a,,,x,ab,'f(x),x,故两边积分得又因曲线过原点y,f(x)f(x),x,xc所以所以y,f(x),x,xc,z,,zxx'''''''fxf,,,、,,f,f,fxy,,x,yyyy,,、()y,x,()()V,V,xy''f(,x),,x,f(,x)f(,x),,x,f(,x)、,lim,lim,x,,x,(,x)''''''f(,x),,xf(,x),f(,x)f(,x),,x'',lim,lim,f(),x,,x,,x,x、由拉格朗日定理知:f(ab),f(b)'(b,,,ab),f(,)af(a),f()'(b,,,a),f(,)a'''f(x)f(,),f(,)由于在上严格单调递减知因故(,c)f(),f(a)f(b),f(ab)、解:设每月每套租金为则租出设备的总数为每月的毛收入为:x,x维护成本为:于是利润为:(x)(,x)(,x)L(x),(x)(,x),x,x(,x,)'L(x),,x,比较、、处的利润值可得L(),L(),L()x,x,x,故租金为元时利润最大(),年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案,、ACABD,、CBABB、、(,,、elnx,xdxf(x,y)dy、、、、,e,,,zy,z、,,,,x,y,x(xy)xy、解:令则时时t,x,x,t,x,t,,,所以fx,dx,dxdx,ln(e),ln(e)x,,,,xe,,y,,dyxydx,dr,rdr,、原式,,,,,ycosxy,e(x)、、arcsinxC、()k,e,,,ln()xx,,(),,xx,,,,'()xxx,,(),fx(),e,,x,,,x,xx,x、()S,dxdydxdy,,,,,,,xx()()()()V,,x,xdx,,,xdx,,xdx,,,,,,,x、证明:F(x),,,cosx因为所以是偶函数我们只需要考虑F(,x),F(x)F(x),,x,''',区间则F(x),,sinxF(x),,cosx,,,,,'''x,,arccosF(x),,arccosF(x)在时即表明在内单调递增所以函数,,,,,,,,arccos在内严格单调递增F(x),,,,,,,,,,'''x,arccos,arccos,F(x),F(x)在时即表明在内单调递减又因为,,,,,,,,,,,,,,'arccos,说明在内单调递增F(x)F(),,,,,,,,,,,,综上所述的最小值是当时因为所以在内满足F(x)F(),F(x)x,,,,,F(x),、()设生产件产品时平均成本最小则平均成本x'C(x)(件)C(x),,x,C(x),,xxx()设生产件产品时企业可获最大利润则最大利润x,,,,xP(x)C(x)xxxx,,,,,,,,,,,,'此时利润xP(x),C(x),(元)xP(x),C(x),,x,年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案,,、B、C、D、C、D、B、B、C、、、e,xx,,x,xcosx,x、、原式,lim(x),lime,edxf(x,y)dyx,,x,x,xxx,,xlnx,C、、dz,secdx,secdy,,yyyy,,,sinsin,,,,、原式,dd,,,,,,,coscos,,dytdytxy,x(ec)、、、,,tdxdxsin(x,)xsin(,)sin(,)xf(x),lim,,lim,、是的间断点x,,x,x,,x,xx,sin(x,)f(x),是的第一类跳跃间断点x,x,,cos,,、()(),xydxdy,d,rdr,,,,,,,D()、(i)切线方程:(ii)y,,,S,,x,xdx,,()(iii)V,V,V,,,,x,xdx,,x,xf(x),xe,,、证明:令因为在内连续f(),,,f(),e,,f(x)'xf(x),e(x),,故在内至少存在一个实数使得又因为在内大于f(x),f(,),,,零所以f(x)在内单调递增所以在内犹且仅有一个实根、解:设圆柱形底面半径为r高位侧面单位面积造价为则有hl,,,()Vrh,l,y,,r,l,r,,rhl(),,,,VV,,,h由()得代入()得:y,lrr,,,,r,r,,VVVVV,,,,,r,y',lr,,令得:此时圆柱高h,,,,,,,r,,,,,,,,VVr,h,所以当圆柱底面半径高为时造价最低,,''''''、解:f(x),,f(x),,„f(x),(x)(x)(x)n!(n)nf(x),(,)n(x)!n'''(n)n„()()f(),f(),,f(),,,fxnnxn()(),,?,?fxxxn收敛区间,,,xxy,CeCe、解:对应特征方程,,,、,,所以因为,,,,,,,,,xxy,bxb不是特征方程的根设特解方程为代入原方程解得:y,CeCe,x年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案,、A、B、C、B、A、D、ex,yz、,,、、arcsinxCn!,y,ydyf(x,y)dxdyf(x,y)dx,,、、,,,,xfx、间断点为当时为可去间断点当lim(),lim,x,k,k,Zx,x,k,x,x,xsinxlim时为第二类间断点,,k,k,Zx,sinxxxx,(tantsint)dt,tanxsinxtanx(sinx),,,,lim,lim,lim,lim,、原式x,x,x,x,xxxxyyy',e,xey',、代入原方程得y(),对原方程求导得对上式求导并将、x,x,y'',ey,代入解得:'xxx,,e(x,)ee,,f(x),,、因为f(x)的一个原函数为所以,,xxx,,''xf(x)dx,xf(x)d(x),xdf(x),xf(x),f(x)dx,,,,xx()xx,eex,x()()(),xfx,fxdx,,C,eC,xxx,,,t,,、dxt,x,dt,dt,arctant,,,,()tttxx,,z''、,ff,y,x,z''''''''',,,f,(,)f,xfyf,(,)f,x,x,y''''''',,f(x,y)fxyffysinysiny,dxdy,dydx,(,y)sinydy、原式,,,,,yyyD,(y,)cosy,cosydy,,sin,n,(x,)n、(,,x,)f(x),,,,(,),nx,x,n,,,、证明:令t,,,xxf(sinx)dx,,(,t)f(sin(,t)dt,(,t)f(sint)dt,,,,,,,,,,f(sinx)dx,xf(sinx)dx,,,,,,故证毕xf(sinx)dx,f(sinx)dx,,,,sinsinxx,,,,arctan(cos)xdx,dx,,x,,,coscosxx''xf(x),xf(x)f(x),xf(x),,xp,,x、等式两边求导的即且f(),,ex,,xpdxpdx,,,,pdxq,,xe,ee,e,xx,,pdx,qedx,,xqdx,e,,xxx,,f(x),(eC)e,Ce所以f(),,由xf(x),,e解得C,,、设污水厂建在河岸离甲城x公里处则M(x),x(,x),x,(x,)'M,,(,x)x,,解得(公里)唯一驻点即为所求年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案,、A、C、D、A、A、C、、、、e,y,、dyf(x,y)dx、(,,),,,,y、因为在处连续所以limF(x),F()F(x)x,x,f(x)sinxf(x),f()'limF(x),lim,lim,f(),,x,x,x,xx故F(),aa,dy''(y)dy,dycost,costtsinttdt、,,,csct,,,,t'dxdx,sint,sintdxxtdt、原式,tanxtanxsecxdx,(secx,)dsecx,secxdsecx,secx,secx,secxC,,,xd(x),、原式,xarctanx,dx,,,,xx,,,ln(x),,,ln,z,z''''',cosx(f,y),ycosxf、,cosx,f,x,y,x,,,,l,,,B,,,,、,,AB,,,,ijk,,,,lAB,,,,,,,平面点法式方程为:(x,),(y,),(z),x,y,z,即xxx、f(x),(),,,xx,x,xn,,x()n收敛域为,x,,x,,,,nn,xe',,、yy通解为xxxx,dxdx,,eCe,,xx,,y,eedxC,,,,xxx,,xe,y因为所以故特解为y(),ee,eCC,xf(x),x,x,,、证明:令x,,,且f(,),,f(),,,f(,),f(),由连续函数零点定理知在上至少有一实根f(x)(,,)'''f(),,f(),、设所求函数为则有y,f(x)f(),''''''y,xay(),y,x,由得即a,,''''y,x,y,x,xCy(),,C,因为故由解得y,x,xxCC,故由解得y(),y,x,xx所求函数为:、()S,ydy,y,,,()()()V,,xdx,x,x,,,x,D、解:积分区域,y,u为:y,x,uuxu()F(u),f(x)d,,dxf(x)dy,(x,)f(x)dx,,,,,D''F(u),(u,)f(u)F(),(,)f(),f(),()年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案,f(x)、C、B、C、C、C、A、、、、xye(ysinxcosx)、、,x,lim,、原式x,,xdy',()'ydytdytdxtt、,,,,,,''tttdxdxxxtttt,lnxd(lnx),(lnx)C、原式,,,,,,,xdsinx,xsinx,xsinxdx,xdcosx、原式,,,,,,,,xcosx,cosxdx,,,yyy,,''''xp,,py,pxp、方程变形为y,,令则代入得:分离变量得:p,,,xxx,,x,lnxCy,,dp,dx故,,lnxCpxpn,,(,)'nnng(x),(,)xdx,x、令g(x),ln(x)g(),,,nn,n,n,(,)nf(x),x故,,x,,nn,ijkl,nn,,,ijk、、,,,,n,,,n,,,,x,y,z,,直线方程为,z,z''''''''''',xfx(f,xf,y),xfxfxyf,xf、,y,x,y'f(x),x,xf(x),,x,、令,,x,,,f(,),,f(),x,,f,所以故即x,x,f,,f(),,f(,),,,f(x),maxmin'y,xy、y(),xxy,,x,ey,(,x,)Ce通解为由得故y(),C,、()()S,,x,xdx,,,()V,(y)dy(,y)dy,,,,,,tttf(x)dxdy,dxf(x)dy,tf(x)dx、,,,,,Dtt,,f(x)t,,g(t),,,at,,t()由的连续性可知a,g(),limg(t),limg(t),limf(x)dx,g(t),t,,,tt'g(t),f(t)()当时t,hf(x)dxg(h),g(),'g(),lim,lim,limf(h),f()当时t,h,h,h,hh'g(t),f(t)综上年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案ln、B、C、C、A、D、D、、、、,xdxdy,、、y'',y'y,yyxxxx,,,,,exexeelimlimlimlim,,,,、解:x,x,x,x,tanxxxxxdye,yxyxye,e,xye,e,y',yxy',y',、解:方程两边对x求导数得故ydxexdydy又当时y,故、,,,x,x,x,dxdx,x,x,x,x,x,xxedx,,xd(e),,xexedx,,xe,xd(e)、解:,,,,,x,x,x,,xe,xe,eC,cos,xt,、解:令则dx,dt,,x,sint,,,sinxt,z,z''''''''''',(f,f,x)fy(f,f,x)、解:,fyf,x,y,x''''''',f(xy)fxyff''、解:原方程可化为相应的齐次方程的通解为可y,Cxy,,y,xy,,y,xx'C(x)xC(x),C(x),x设原方程的通解为将其代入方程得所以y,C(x)x'C(x),从而故原方程的通解为又所以于是C(x),xCy,(xC)xy(),C,所求特解为(本题有多种解法大家不妨尝试一下)y,(x)x、解:由题意所求平面的法向量可取为ijk,,(,,)(,,,),,(,,,)n,故所求平面方程为(x,)(y,),(x,),即xy,z,,,cos,、解:cosxydxdy,,d,d,,d,,d,,,d,,,,,,,,,DD,()、解:()V,,xdx,,,a(,a),,,(,a)()由题意得由此得解得(,y)dy,(,y)dy,,aa,,()'''f(x),axbxcf(x),axb、解:'''f(,),f(),由题意得、、f(),解得、、a,,b,c,a,y,ba,x,b,,DD、证明:积分域:积分域又可表示成:,,y,x,ba,y,x,,bbbxbxxyxyxyxydyf(x)edx,f(x)e,dxf(x)edy,f(x)edxedy,,,,,,,,ayaaaaDbbxxaxxa,f(x)e(e,e)dx,(e,e)f(x)dx,,aax,x'、证明:令显然在,,上连续由于F(x),lnx,F(x)F(x),,xx(x)故在,,上单调递增F(x)x,(x,)lnx,(x,)于是当时即又故lnx,F(x),F(),x,,,x,xx,(x,)lnx,(x,)当时即lnx,又故F(x),F(),x,,x,x(x,)lnx,(x,)综上所述当时总有x,年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案、B、A、D、C、A、B、、、(),,,,、、、,,cosxxcx,xx,xxlim(),lim(,),lim(,)、令y,,那么x,,x,,x,,xxxx,x,y,,,lim()lim()x,,x,,xye‘’‘’‘’y(t),sintx(t),,costy(t),costx(t),sint、’‘’dyyttdyytxt,ytxt,()sin()()()(),,,,‘dx,tcosxtdx,t()(cos),,xt()xxd(x)dx,dx,dx,(x,x)dx,lnxC、,,,,xxxxx,,x,lnxCxxxxxxedx,ed(x),e,xdx,ede,(xe,edx)、,,,,,xx,e,edx,e,e,e,e,,,,AB,(,)AC,(,,,)、由题意得:那么法向量为,,,,,,,,,n,ABAC,,,(,,),,,,,zy,zy‘’‘’‘,ff,(ff)、,f,f,x,yxx,xxyy''''''''',ff,f,f,fxxxxxx、xdxdy,dxxdydxxdy,,,,,,Dxxxdxxdx,,,,,,,,dx,lnxxxee,(),,,、积分因子为xdyyxy,yx化简原方程为,,xdxxdyy在方程两边同乘以积分因子得到,,xxdxxx,d(xy),化简得:dxx,d(xy),dx等式两边积分得到通解,,dxx故通解为y,xlnxxC,F(x,y),,F(x,y),、令那么x和y的偏导分别为F(x,y),,yyxxxx,xy,y(x,y),所以过曲线上任一点的切线方程为:xy,y当X,时y轴上的截距为xx,xyx当y,o时x轴上的截距为F(x,y)令那么即是求的最小值F(x,y),yxyxxx,y,而F(x,y),xx,(x),故当时取到最小值xxx,x,(),,,,、()Vxxdx,,a()由题意得到等式:(x,x)dx,(x,x)dx,,aa化简得:xdx,xdx,,aa,解出a得到:故a,、令那么g(x),f(xa),f(x)g(a),f(a),f(a)g(),f(a),f(),,a由于并且在上连续g(a)g(),g(x)故存在使得即,,(a)g(,),f(,),f(,a)xx、将用泰勒公式展开得到:exxe,,,,!!x代入不等式左边:(,x)e,(,x)(xx,,,),,x,x,,,,,!!年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案xln、A、B、C、B、D、C、、xez,、、、、lnxx,lny,yC,xzyxxlim,lim,、x,x,xxx,sin,cosdy(t)dt、dx,dt,dy,(t)dt,,(t)dxtdttdyddy(t)dtdx,,,(t)dxdxdttt,,sinxdx,sint,tdt,,tdcost,,tcostcostdt、令x,tx,,,,,,,tcostsintC,,xcosxsinxC,、令当当,x,sin,x,,,,x,,,,,,sinx,,cos(cos)(sin)dx,d,,d,,,,,,,,,,,,,cos,,xn,(,,)s,(,,)、已知直线的方向向量为平面的法向量为由题意所求平面的法ijkn,sn,(,,)(,,),,(,,,)向量可取为又显然点在所求平面(,,)上故所求平面方程为即(x,)(,)(y,)(z,),x,yz,,,cos,、,yd,,sin,,d,d,sin,,d,d,,(csc,,sin,)d,,,,,,,,,,DD,,,,(,cotcos),,,z,z'''''''、,f,cosxf,y,fxcosx,fxyf,x,x,y,,dx,lnxxxee,(),,,、积分因子为xdyyxy,yx化简原方程为,,xdxxdyy,,在方程两边同乘以积分因子得到xxdxxx,d(xy),化简得:dxx,d(xy),dx等式两边积分得到通解,,dxx故通解为y,xlnxxC''Rf(x),x,f(x),、()函数的定义域为令得函数的单f(x)f(x)x,,单调减区间为极大值为极小值为调增区间为(,,,,,,,),,f(,),f(),,''''f(x),xf(x),()令得曲线在上是凸的在上y,f(x)(,,,,,)x,是凹的点为拐点(,)()由于故函数在闭区间上的最大值为f(,),f(),,f(),f(x),,最小值为f(),f(),f(,),,aV,,a,a,,xdy,,a、()V,,(x)dy,,(,a),,aaA,A()由得a,A,xdx,aA,xdx,(,a),,a,xlimf(x),lime,、证()因为且所以函数limf(x),lim(x),f(),,,x,x,x,x,在处连续。f(x)x,,xfxffxfx(),()e(),(),,lim,lim,,()因为所以lim,lim,,,,x,x,x,x,xx,xx,''''f(),,,f(),f(),f()由于所以函数在处不可导f(x),x,,x,'''f(x),xlnx,x,xf(x),lnx,xf(x)、证令则,,,xx'''f(x)f(x),由于当时故函数在上单调增加从而当时,),x,,x,''f(x),f(),于是函数在上单调增加从而当时f(x),)f(x),f(),,x,即当时xlnx,xx,,x,年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案、A、C、B、D、D、C,,、、、、、dxdy、(,,extanxxtanxsecxtanx,,,,limlimlimlim,,,,,、原式=x,x,x,x,xtanxxxxxyxydydydy,edyexy、e(),,,,xyxydxdxdxedx(e)、原式,xarctanx,xarctanxCt,x,t、变量替换:令x,dx,tdtt,t原式,,tdt,()dt,(tt),,,tijk,,,,,n,(,,)n,(,,,),,,(,,,,)nnn、,x,y,z,所求直线方程为,,,,,z,z'x'''x''''x,yfeyfxyfxyef、,y(fyfe),x,y,x,y、xdxdy,dyxdx,,,,,yDr,,r,,、特征方程的两个根为特征方程为从而p,,q,,rr,,x是特征方程的单根可设即设特解为p(x),Q(x),AxY,Axe,,"'x'xx''xxypyqye,代入方程得p,,q,,Y,AeAxeY,AeAxexxx,x(AAxAAx,A)e,e通解为A,,A,y,CeCex'x,''x,'x,f(x),e,,f(x)f(x),e,x()、构造函数在(,,)fx,e,x,''f(),f(x),上单调递增f(x)在上单调递增f(x),即(,,)f(),x,。ex,,,,(x)(x),()'、连续性得证limf(x),lim,lim,,(),,f()x,x,x,xx,,(x),'''f(x),f()(x),x(x),(x),(),,,,x'f(),lim,lim,lim,lim,limx,x,x,x,x,x,xxx,x''''可导性得证。,lim,(x),,()x,a、V(a)(a)(x)dxa,,,,,,V(a),,(x),(a)dx,(,aa),,aV(a),V(a)V(a),(,aa),''V(a),(a,a),V(a),令得最小值为V(),a,,,dxdxx,xxx,x,,、f(x),e(eedxC),e(eC),eCe,x,x'x,xf(x),eef(x),e,ef(),,C,'x,xxxf(x)e,ee,e,y,,,,,,x,xxxxf(x)eeeeexxxtttt,eee,,,,,,,A(t)(())dxdxdxdx,x,x,,xxeeeettexttttdeteee,,(),,ln()ln,ln,ln()ln,lnlnxt,eeteAtlim(),lim(lnln),ln从而tt,,t,,
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