材料力学 弯曲变形

材料力学 弯曲变形 材 料 力 学 电 子 教 案 第六章 弯曲变形 ?6-1 挠度与转角 梁的刚度条件 梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用表示;角位移是横截面变形前后的夹角，v dv(x)v(x)称为转角，用表示。而(x),，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程。 ,,dx 梁的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件 v,[v]max ,,[,]max [v][,]式中的和分别为梁的许用挠度和许用转角，可从 有关设计手册中查得。 ?6-2 挠度曲线的近似微分方程 忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为: 1式(a)表明梁轴线上任一点的曲率与该点处横截,(x) M(x)面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度EI成 反比。如图7-2所示。 v(x)而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间存 在下列关系: 第 六 章 1M(x), (a) ,(x)EI 2dv 21dx (b) ,3,(x)22，，dv,,1，,,,,dx,,,,，， 将上式代入式(a)，得到 2dv 2M(x)dx (c) ,,3EI，，2dv,,,,1，,,dx,,,,，， dv小挠度条件下，，式(c)可简化为: ,,,,1dx 2dvM(x),, (d) 2EIdx 在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对 2dv应着的正值(图7-3a)，负弯矩对应2dx 2dv着的负值(图7-3b)，故式(d)左边2dx 的符号取正值 2dvM(x), (8-1) 2EIdx式(7-1)称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分方程仅适用 于线弹性范围内的平面弯曲问题。 材 料 力 学 电 子 教 案 ?6-3 用积分法求弯曲变形 将式(7-1)分别对 积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠度方程: x dv(x)M(x) (a) ,(x),,dx，C,dxEI Mx() (b) vx,dxdx，Cx，D(),,EI 其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。 对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式(a)和(b)中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件(即支座对梁的挠度和转角提供的限制)确定。两种典型的边界条件如图7-4所示。 对于载荷有突变(集中力、集中力偶、分布载荷间断等)的情况，弯矩方程需要分段描述。对式(a)和(b)必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。 v,例7-1 求图示简支梁的挠曲线方程，并求和。 maxmax 解:(1)求支座反力，列弯矩方程 C梁的支座反力和所选坐标系如图所示。因载荷在处不连续，应分二段列出弯矩方程。 第 六 章 1lAC段 0,x,，，，，Mx,qlx128 211l,,lCB段 Mx,qlx,qx,，，,x,l，，,,22822,,(2)列出挠曲线近似微分方程，并进行积分 2dv111l,qlx (a) 0,x,，，122EI8dx 22，，dv111l,,2l (a) ,,,qlxqx，，,x,l,,,,222EI822dx,,,,，， dv1121x,,qlx，C，， (b) ,111dxEI16 3dv111，，22l，，，，x,,qlx,qx,，C, (b) 222,,2dxEI166，， 113vx,qlx，Cx，D (c) ，，1111EI48 4111，，3l，，，，vx,qlx,qx,，Cx，D (c) 2222,,2EI4824，，(3)确定积分常数 根据连续条件 l处，， x,,,,v,v12122 求得， C,CD,D1212根据边界条件 x,0， ，求得 v,0D,D,0112 37qlCCx,l,,,， ，求得 v,0122384EI将求得的4个积分常数代回、、、，求得两段梁的转角和挠度方程。 ，，，，，，，，bbcc1212 材 料 力 学 电 子 教 案 117，，23，，xqlxql,,, (d) 11,,EI16384，， 3，，111l7,,23 (d) ,,,,xqlxqxql,，，,,,,22EI1662384,,,,，， 117，，33，，vx,qlx,qlx (e) 11,,48384EI，， 41117，，33l，，，，vx,qlx,qx,,qlx (e) 22,,24824384EI，， (4)求最大转角和最大挠度 37qlx,0,,,将代入式，求得 (顺时针) ，，dA1384EI 39qlx,l,,将代入式，求得 (逆时针) ，，dB2384EI 39ql？,, ，发生在支座处。 Bmax384EI 3qll,,,将代入式，求得 (顺时针) x,，，dc12384EI ,,0CB故的截面位于段内，令，可解得挠度为最大值截面的位置，进而利用，，,x,02 求出最大挠度值。但对简支梁，通常以跨中截面的挠度近似作为最大挠度。 ，，vx2 45qll，，vv,, max2768EI 第 六 章 ?6-4 用叠加法求弯曲变形 在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果(表7-1(孙训芳教材P.224表6.1))，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加法。 例7-2 车床主轴如图a所示。在图示平面内，已知切削力，啮合力;主轴的外P,2kNP,1kN12 D,80mmd,40mml,400mm径，内径，， [v],0.0001la,200mmC;处的许用挠度，轴承 [,],0.001rad处的许用转角;材料的弹性模量B E,210GPa。试校核其刚度。 解:将主轴简化为如图b所示的外伸梁，外伸部分的抗弯刚度近似地视为与主轴相同。 EI (1)计算变形 主轴横截面的惯性矩为 ,,4444,,,80,40，，，，?Dd 64644,94,1885000mm,1885，10m C由表7-1查得，因而引起的端的挠度和截面的转角(图c)分别为: BP1 2Pa1，，(v),l，a cP13EI 32,62，10，200，10,3,3,，，400，10，200，10 9,93，210，10，1885，10 ,3,0.0404，10m,0.0404mm 3,3,3Pal2，10，200，10，400，10,31(,),,,0.1347，10rad BP9,913EI3，210，10，1885，10因而引起的截面B的转角(图d)为 P2 232,6Pl1，10，400，10,32(,),,,,,,0.0253，10rad BP9,9216EI16，210，10，1885，10 材 料 力 学 电 子 教 案 C因而引起的端的挠度为 P2 ,3(v),(,),a,,0.0253，10，200,,0.00506mm CPBP22 C最后由叠加法可得，端的总挠度为 v,(v)，(v),0.0404,0.00506,0.0353mmCCPCP12 处截面的总转角为 B ,3,3,3,,(,)，(,),0.1347，10,0.0253，10,0.1094，10rad BBPBP12 (2)校核刚度 主轴的许用挠度核许用转角为: [v],0.0001l,0.0001，400,0.04mm ,3 [,],0.001,1，10rad 而 v,0.0353mm,[v],0.04mmc,3,3 ,,0.1094，10rad,[,],1，10radB 故主轴满足刚度条件。 本题要点: (1)叠加法求梁的变形 (2)刚度计算 例7-3 梁受力如图a所示，试绘出其内力图。 解:(1)该梁为一次静不定。将中间支座C去掉，以简支梁作为静定基(图b)。在静定基 上作用均布载荷和多余约束力，成为原静不定梁的相当系统(图c)。 qRC (2)相当系统在点的挠度应为零，即。v,0cc根据此变形条件可写出求解静不定梁的补充方程式: 34Rl5qlc,,0 48EI384EI 5求得 , RqlC8 3)利用静力平衡条件求得其他支座反力(图( d) 3,, RRqlAB16 第 六 章 12Q画出静不定梁的、图，如图e、f所示。静不定梁的M,ql，而简支梁的Mmax32 121M,ql，前者仅为后者的。 max48 本题要点 用变形比较法求解简单静不定梁。 要点讨论 1(平面弯曲时，梁变形后的位移用挠度和转角度量。在小变形和材料为线弹性的条件下，且忽略剪力对变形的影响，则挠度曲线上任一点切线的斜率即为该处截面的转角，因此 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 梁变形的关键是，求出梁轴线变形后的挠度曲线方程。 ，，vx 2dvMx，，,2(小挠度近似微分方程，反映了梁微段受力与变形的关系。将各微段的变形2EIdx 叠加起来即为梁的整体变形， dvMx，， ，，,x,,dx，C,dxEI Mx，， ，，vx,dxdx，Cx，D,,EI C但梁变形后的位移还与支承条件有关，这反映在根据边界条件和连续条件确定积分常数、上。 D 3(用叠加法求梁的变形时，要注意到梁的挠度曲线既与受力(弯矩)有关，又与梁的支承条件有关。 4(用变形比较法解静不定梁时，次静不定必有个多余约束，除去这些多余约束，则有nnn个多余约束力，必须有个补充方程才能解出这些多余约束力。由于相当系统的受力(包括载荷n 和多余约束力)和变形与原静不定梁相同，在那里拆除约束，则在那里找变形条件和建立相应的补充方程式。 ?6-5 简单静不定梁 静不定梁:约束反力数目多于静力平衡方程数目 的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。 静定基:指将静不定梁上的多余约束除去后所得 到的“静定基本系统”。 材 料 力 学 电 子 教 案 相当系统:在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。将相当系统与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件，进而得到求解静不定问题所需的补充方程。通过静力平衡方程和补充方程可联立求解静不定问题。例如图7-5a中，车削工件的左端由卡盘夹紧，右端由尾顶针顶住，计算简图如图7-5b所示。此为一次静不定问题。图7-5c为静定基。图7-5d为相当系统，支座反力由表示，静力平衡方程为 RB X,0， H,0,A Y,0， P,R,R,0,AB m,0， Pa,Rl,M,0,ABA 在多余约束处建立变形协调条件 B ，，，，v,v，v,0 BBBPRB 利用表7-1可知 2Pa，，，，v,3l,a BP6EI 3RlB，，v,, BRB3EI 23,,Paa,,因此R,3, B23,,2ll,, 利用平衡方程可解得，和，画出其弯矩图如图7-5g所示 。 RMAA ?6-6 提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条 件，梁截面的惯性矩 、材料的弹性模量 有关。故提高梁刚度的措施为: IE (1)改善结构形式，减小弯矩 ; M l(2)增加支承，减小跨度 ; (3)选用合适的材料，增加弹性模量 。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为E 提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著; (4)选择合理的截面形状，提高惯性矩 ，如工字形截面、空心截面等。 I 第 六 章 ?8-7本章小结 1(本章是在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形，并且忽略剪力的影响，平面假设仍然成立。 变形后梁横截面的形心沿垂直梁轴线方向的位移称为挠度;横截面变形前后的夹角称为转v v(x)v(x)角 ,。梁的轴线在变形后成为一条连续光滑的曲线，称为挠度曲线。挠度曲线的一阶 dv(x)导数即为转角(x),。 ,dx 2dv(x)M(x)M(x),2(根据小挠度微分方程，对 积分一次，求得 2EIdx dv(x)M(x) ,(x),,dx，C,dxEI 积分二次，求得 M(x) v(x),dxdx，Cx，D,,EI M(x)2n若分为 段，则应分 段进行积分，出现 个积分常数。积分常数根据边界条件nn 和连续条件确定。 由以上运算可以看出，梁的挠度曲线取决于两个因素:受力(弯矩)和边界条件。 3(在小变形和弹性范围内，梁的位移与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的位移:将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各简单载荷的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。 4(若梁的未知约束反力的数目多于了静力平衡方程的数目，则称为静不定梁。两者数目的差值为静不定次数。 次静不定必须列出个补充方程。根据相当系统的挠曲线和nnn 原静不定梁的挠曲线完全相同，可以在解除约束处找到相应的变形条件，利用变形条件建立补充方程式，求出多余约束反力，进而利用静力平衡方程求出其他约束反力和内力。 5(根据求梁挠曲线的积分计算可以看出，提高梁刚度主要措施为:减小梁的跨度和弯矩;提高梁的抗弯刚度 。 EI