[word格式] 浅议数学与哲学的关系

[word格式] 浅议数学与哲学的关系 浅议数学与哲学的关系 中山大学研究生学刊(自然科学,医学版) 第26卷第3期JOURNALOFTHEGRADuATEsVOL.26No3 2005SUNYAT—SENUNIVERSITY(NATURALSCIENCES,MEDICI NE) 浅议数学与哲学的关系亲 郭翠花 (中山大学数学系03博,广州510275) 摘要:哲学是人类关于自然,社会,思维的基本规律,而数学则反映了哲 学范畴的量的侧面,本文分别从数学发展对哲学的作用及哲学发展对数学的作 用探讨了两者的关系. 关键词:数学;哲学;辨证统一 1前言 哲学是自然知识和社会知识的概括和总结,是研究世界观的学问,是人类思维的结 晶和提炼.它作为一种理论思维,在人类进步的漫长过程中,已经形成了一系列的基本 概念和范畴,构建了博大恢弘的理论体系.它与自然科学是辨证的统一而又有所区别 的.它们的统一性在于,所研究的都是不依赖于它们本身的客观世界.它们的区别在 于,每门自然科学都是以自然界的一定领域为其研究对象,研究物质某一种运动形式的 特殊规律;而哲学则揭示现象中共同的东西,揭示客观世界中各种运动形式所固有的普 遍规律和联系.因此,哲学和自然科学是相互依存,相互影响,彼此不能互相替代的. 数学,是研究客观世界数量关系和空间形式的自然科学.它不仅提供计算的方法, 而且还是思维的工具,科学的语言,更是建立辩证唯物主义哲学的科学基础之一.数学 通过精细的概念,严密的推理,奇妙的方法,简洁的形式,去描绘细节,扩展内容,揭 示规律,形成整体认识.数学反映了哲学范畴或基本矛盾的数量方面,数学有其逻辑严 密性,高度抽象性,应用广泛性等特点,自然与哲学有很多相近之处,因而就决定了其 与哲学必然有更为密切的关系.本文仅就数学与哲学的相互关系予以粗浅分析. 2数学对哲学的作用 2.1数学科学的发展.加深了对哲学基本规律的理解.丰富了哲学内容 美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型,为无限大,无限小提供了严格的理论 {l}收稿日期:2005—09—23 《研究生学刊》(自然科学,医学版)二oo五年第三期 依据,为微积分增添了直观的因素,从而创立了新的微积分理论——非标准分析. 在非标准分析中,构建非标准实数轴并引入单子概念,使非标准实数轴成为一个层 次结构空间.在该空间中,单子外部 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现为不同数量层次之间质的差异;单子内部是无 穷小量,其间只是量的差异,其比值是有限数量,其运算性质是同单子外普通实数是一 样的,可重新作为微分运算的出发点.因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在 “无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型.而在这之前,人们在讨论质量互 变规律中的量时,还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形,因而非标准分析的创 立丰富了质量互变规律的内容. 法国数学家托姆,在考察自然界,社会领域大量存在不连续现象的基础上,运用微 分映射的奇点理论,为这类客观现象建立了数学模型,用以预测和控制该类客观对象, 这就是突变论的产生. 突变论提供的模型表明,在一定条件下,质变可以通过飞跃的形式来实现,也可以 通过渐变的方式来实现.在给定的条件下,只要改变控制因素,一个飞跃过程可以转化 为渐变;反过来,一个渐变过程也可以转化为飞跃.突变模型还表明,在奇点(质变 点)领域事物状态的变化,不仅具有多种可能性,而且有它的随机性. 如何把握质变的各种形式及其条件,对于正确运用质量互变规律,认识和改造世界 有着重要的方法论意义.充分认识奇点这一特性,努力创造条件促使事物向我们预想的 方向演化,是运用质量互变规律改造客观世界的方法论. 2.2数学的发展有助于发现逻辑的模式一合情推理 美籍匈牙利数学家波利亚在数学领域里观察分析众多典型事例基础上,经过比较综 合,概括出合情推理的这一发现模式. 波利亚把科学推理分成论证推理和合情推理两种.论证推理是一种 必然推理,有 逻辑所制定和阐明的严格标准,每一步推理步骤都须经的住逻辑规则检验.合情推理则 是一种或然推理,它由一些猜想构成的,因而它的标准是不固定的.事实上,人类的认 识都是经过合情推理才得到,而论证推理的主要作用在于肯定或解释我们所得到的知 识.波利亚给出了三种合情推理类型:渐弱证明式,渐弱启发式,以及启发式. 无数事实证明,合情推理模型具有很大的普遍适应性,是科学发现逻辑的一般模 式. 2.3数学发展为科学思想方法带来重大变革 数学中某一重大成果及某一重要思想方法的取得,有时会为科学思想方法带来巨大 活力,引起科学思想方法的重要变革.美国控制论专家扎德于1965年创立的模糊数学 就是典型事例. 模糊数学是以模糊性事物和现象为研究对象的,模糊集合论与经典集合论之间的根 本区别在于两者赖以存在的基本概念集合的意义不同.在经典集合中,一个元素是否属 于一个集合,只有两种可能,属于或不属于,二者必居其一,其特征函数的逻辑基础是 二值逻辑,它是对事物”非此即彼”的定量描述;模糊集合是把特征函数推广到隶属 函数,把仅能取0与1两个值推广到可以取[0,1]的任何实数值,其逻辑基础是多值 逻辑,它是对事物”亦此亦彼”状态的定量描述.模糊集合是与经典集合密切相关的. 10R 浅议数学与哲学的关系 当隶属函数的值只含0,1两个数的集合时,这时的隶属函数就是经典集合中的特征函 数,此时的集合就是通常的经典集合.当把经典集合的特征函数视为隶属函数时,则经 典集合也可看作是模糊集合.经典集合是特殊的模糊集合,而模糊集合是经典集合的推 广. 扎德还定义了模糊集合的并,交,补等运算,证明了它们的运算律,为建立起模糊 集合和经典集合的转化条件,以便把模糊集合中的问题转化为经典集合中的问题来解 决,他提出了模糊集合的分解定理,表现定理以及扩张定理,从而将经典集合中的映象 拓宽到模糊集合之间,并成为研究模糊集合的重要工具. 目前,模糊理论已经不断丰富,应用范围不断扩充,就基础理论而言,已经涉及到 诸如模糊数,模糊关系,模糊图,模糊概率,模糊判断,模糊逻辑,模糊识别以及模糊 控制等;就应用领域来说,已渗透到物理学,化学,生物学,医学,气象学,地质学, 社会科学,人文科学,系统论,控制论,信息论与人工智能等.可见,模糊数学给整个 科学带来巨大的方法论启迪,它是科学思想史上的一次重大转折.而今,认识和利用模 糊数学已经成为观察世界,分析客观事物的一个重要基本方法. 2.4数学发展带来哲学思想革命 数学新领域的开拓和重大成果的发现,不仅能引起数学思想的革命,还可以带来哲 学思想的革命.歌德尔不完备性定理就是一例. 歌德尔不完备性定理认为:如果一个复杂的逻辑体系任何一个命题非真即假,都可 以用逻辑推理加以判定,或者说,这个理论体系是完备的,那么这个理论体系就是不可 能无矛盾的,因而它就不可能是完备的,其中必存在着非真即假的不可判定的问题.这 就从数学的角度清晰的表明了认识的局限性,从哲学上看,这个定理也十分清楚的说明 了相应方法的局限性. 客观世界存在各种不同的层次结构,不同的层次结构常常会发生混淆或缠绕.歌德 尔不完备性定理所构建的那个不可判定命题所断定的就是自身的不可证明性,这正是层 次缠绕的结果;但是该定理已经被证明是具有重要意义的,从而我们应当重新认识层次 缠绕问题.为了认识多层次的客观事物,人们必须建立起多层次的认识结构;又由于客 观事物中的不同层次常常是互相缠绕的,因此人们又特别注意去”填平不同层次之间所 存在的鸿沟”. 歌德尔的不完备性定理的重大哲学意义还在于由它引起的哲学思想的革命.由于逻 辑体系中的无矛盾性和绝对确定性是不能同时成立的,逻辑体系的发展必然同时存在两 种动力,即无矛盾性和内部不确定性.这正是歌德尔不完备性定理所体现的深层次哲学 意义所在. 3哲学对数学的作用 3.1哲学作为世界观,为数学发展提供指导作用 在人类的科学手段,科学方法尚未达到真切认识事物的时候,哲学往往有很强的前 瞻作用,这种认识往往会指导人类去准确定位客观事物,对科学的发展方向能够正确把 109 《研究生学刊》(自然科学,医学版)二oO五年第三期 握. 哲学作为人类认识世界的先导,其首先应当关注的是科学的未知领域,其往往对科 学的发展有预言性定论.在~l’-J学科发展的萌芽阶段,其粗浅认识经常以哲学的形式出 现.这方面的例子举不胜举. 哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前,哲学家谈论元素在化学家研究元素之 前,哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前. 希尔伯特曾直言不讳,他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念.罗素从分 析哲学的基本立场出发,坚持逻辑即数学的青年时代,数学即逻辑的 壮年时代的观点. 从这个意义上来讲,哲学实际上就是数学发展前进路上的方向盘. 数学作为空间形式和数量关系的科学,其研究的是客观世界的运动规律,因而其必 然是唯物的.数学对象是人类抽象思维的结果,无法脱离感性事物而独立存在.数学是 形式的,但决不是形式主义的.数学的抽象形式离不开现实世界,在内容上仍与现实有 着密切的关系,抽象的数学内容在现实世界中都能找到原型.如平面几何的全等,就是 反映了把两个现实对象相互贴附在一起的实际操作过程;微积分的概念,反映了自然界 无限接近的结果.不过,数学形式对客观现实而言,具有相对独立性.数学理论/住往仅 通过内部因素交汇融合,震荡提炼,就会涌现出简明深刻,和谐统一的理论.但是,我 们应当充分认识到,这仅仅是暂时的形式脱离内容.这种居高临下的发展态势,往往有 助于人类进一步理解认识其他学科.只有形式而无内容的事物是世界上没有的,数学的 形式必须结合内容才会获得旺盛的生命.那种在数学工作中人为的推广,盲目的抽象, 往往会形成无足轻重的支流末节,不久就会在数学大地上干涸消失.雄才大略的希尔伯 特数学规划的破产就是不争的事实.因此,数学研究必须以客观事物及其发展规律的客 观实在性为前提,通过科学实践完成所要解决的课题. 辩证唯物主义克服了古代朴素唯物主义的缺点和唯心主义的局限性,是科学的世界 观和方法论.半个世纪以来,数学的发展呈现两个态势,即高度分化又高度综合.分化 越深人,综合就越需要,这是辨证统一的.在数学研究中自觉地运用辩证唯物主义哲学 做指导,就可能避免或减少片面性,局限性,否则数学的发展就可能会误人歧途,停滞 不前.数学发展史上有很多这样的实例,如古希腊宁愿使用”严格但相对贫瘠的穷竭 法”而不采用根基松懈但很有效的”原子法”,正是由于深受柏拉图唯心主义的影响. 又如非欧几里德几何学诞生时,这一伟大的发现之所以不能立即被人接受,就连高斯这 样伟大的数学家也不敢发表看法,正是由于康德哲学在作怪. 因此,哲学对数学发展的影响是深远的,正确的哲学思想无疑会极大促进数学发 展,反之,错误的哲学思想会阻碍数学的发展. 3.2哲学作为方法论.为数学提供伟大的认识工具和探索工具 从实无穷小一潜无穷小一实无限与潜无限交叉,无穷小方法走过了漫长的曲折道 路.实无穷小方法是一种静态的思想方法,潜无穷小方法是一种动态的思想方法,两者 是辨证统一的.当人们认识充分到无穷小量方法和无限可分方法并非绝对对立,它们不 仅具有内在联系,而且是相辅相成的,在一定条件下,还可以相互转化,相互借用的辨 证统一后,无穷小方法在就有了突破性进展,因此就有了微积分的诞生的前提. l】0 浅议数学与哲学的关系 近代数学公理化进展中最重要且最有效的成果之一,就是明确地认识到数学的基本 概念并不必须具体化,冲破了教条主义哲学的束缚. 再如:借用模型研究原型的功能特征及其内在规律的数学模型方法,在当今已成为 解决科学技术及人脑思维等问题的最重要的一种常用方法.它的主要特征是高度的抽象 化和形式化.那么,如何揭示和把握这种抽象形式结构的规律性呢?是运用数学变换方 法.它的思想基础是辩证法:任何事物都不是孤立,静止和一成不变的,而是在不断的 发展变化.因此作为一个数学系统和数学结构,其组成要素之间的相互依存和相互联系 的形式是可变的.数学家们也正是利用这种可变的规律性,强化自身在解决数学问题中 的应变能力,不断提高自己解决数学问题的思维能力和技能,技巧. 最后,我们引用钱学森同志在《发展我国的数学科学》中的一段话来引申哲学与 数学的关系,”我认为每一门科学都有一个哲学总结,自然科学的哲学总结是自然辩证 法,社会科学的哲学总结是历史唯物主义,数学科学的哲学总结就是数学哲学,思维科 学的哲学总结就是认识论等等,所有这些哲学概括再汇总,我认为就是认为知识的结 晶,即马克思主义哲学.这样一个体系,就是马克思主义哲学为指导的科学体系.科学 技术的发展并通过哲学概括,必然会发展深化马克思主义哲学.” 数学和哲学,在过去有着密切的联系,现在,将来也一定有着密切的联系.这是必 然的.可以这样讲,哲学是一门宏大的科学,其虽无法与数学在具体学 科内直接争锋, 但其可为数学新分支的诞生及深入发展给予指导或准备条件.社会 的进步,人类的发 展,离不开哲学和数学发展.在未来,哲学和数学一定会具有无限的发 展空间.作为一 个数学工作者,我们一定要在认真学习本专业知识的同时,自觉运用 哲学改造我们的学 习研究方法,不断取得进步. 参考文献: [1]恩格斯.自然辩证法.北京:人民出版社,1971. [2]彭万春.辩证唯物主义和历史唯物主义.北京:求实出版社,1985 [3]解恩泽,徐本顺.数学思想方法.济南:山东教育出版社,1989. TheRelationBetweenMathematicsandPhilosophy GuoCuihua (CollegeofMathematicsandComputerScience,ZhongshanUniversity, Guangzhou510275) Abstract:Philosophydiscussesthebasiclawaboutthenature,societyandthet hought,ontheotherhand mathematicsreflectstheprofileofquantityaboutthephilosophy.Inthispapert herelationsandthereciprocity betweenmathematicsandphylosopyaregiven. Keywords:Mathematics;Philosophy;Discriminateunification