求矩阵特征值与特征向量

求矩阵特征值与特征向量 第五章 求矩阵特征值与特征向量 阶方阵的个特征值就是其特征方程 Ann det()0AI,,, ,的个根，方程属于特征值的特征向量是线性方程组 Axn Axx,, 的非零解。本章讨论求方阵的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值A 的对分法。 5.1 幂 法 在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的 值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法:幂法。 5.1.1幂法的基本思想 幂法是求实方阵按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是:先任取非零A 初始向量，然后作迭代序列 x0 k,,,,0,1, ， (5。1) xAx,kk，1 k再根据增大时，各分量的变化规律:按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A的按xk 模最大特征值及其特征向量。 先看一个计算实例。 例1 设矩阵 12,, A,,,21,, 用特征方程容易求得的两个特征值为 A ， ,,,1,,312 Tx,1,0下面用幂法来计算，取初始向量，计算向量序列 ，，0 k,,,,0,1, ， xAx,kk，1 具体结果如表5.1所示. 表5.1 幂法计算结果 ()k()k xxk 12 0 1 0 1 1 1 2 2 5 4 3 13 14 4 41 40 5 121 122 6 365 364 7 1093 1094 考察两个相邻向量对应分量之比: (2)(3)(4)(5)(6)(7)xxxxxx111111,,,,， ,5,2.6,3.154,2.951,3.016,2.994(1)(2)(3)(4)(5)(6)xxxxxx111111 (2)(3)(4)(5)(6)(7)xxxxxx222222,,,,, ,2,3.5,2.857,3.05,2.983,3.005(1)(2)(5)(6)(3)(4)xxxxxx222222 由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随k的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰 好就是矩阵的按模最大的特征值。这一现象是否有普通性,下面进行具体分析。 A 5.1.2 幂法的计算公式 为简便起见，设矩阵的几个特征值按模的大小排列如下: A ,,,,？？,, 12n其相应特征向量为，并且是线性无关的，因此可作为维向量空间的一组基。 uuu,,？n12n T(0)(0)(0)任取初始向量，首先将表示为 xx,,xxx,,0？？，，0012n xuuu,，，，aaa？？01122nn作迭代序列 k,,,,0,1,, xAx,kk，1 则 xAxuuu,,，，,,,，aaa,,,10111222nnn „„ „„ kkk xAxuuu,,，，,,,，aaa,,,kknnn,1111222 于是 kk,,,,,,,,k2n aaa,,,xuuu,，，,,,，knn11122,,,,,,,,11,,,,,, 为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论。 u,11 ,,,1.为实根，且 ,121 2 当，k充分大时，则有 a,01 k xu,a,k111 k，1 xux,,a,,kk，11111所以 (1)k，xi ， (5.2) ux,,,1k1()kxi ,,,2. 为实根，且， ,,,,,23112 k当不为0，充分大时，则有 a,a12 kkkxuu,，,aa(1),, k111212 kkk，，，111xuu,，,aa,,(1) k，1111212 kkk，，，2222 xuux,，,,aa,,,(1)kk，21112121于是得 22xAxx,,, kkk21， 22 ()0AIx,,,k1所以 1,(2)k，2,,xi,,,,,,，uxx,,1111kk，k(),xi,,, (5.3) ,1(2)k，,2,,xi,,,,,，uxx,,,,2212kk，()kx,i,,, ,,,,,，,,,uivuiv,,3( 1223 k当充分大时，则有 kkxuu,，aa,, k111222 kk，，11xuu,，aa,, k，1111222 kk，，22xuu,，aa,, k，2111222于是得 3 xxx,，，(),,,,kkk，，212112 kkkkkk，，，，，，211211aa,,，，，,，，,[()][()]0uu,,,,,,,,,,,,1121121121221222 若令 ,，,,,,,,pq, ，，1212 得 (5.4) xxx，，,pq0kkk，，21 5.4)是以为变量，以的几个分量为系数的矛盾方程组。 式(pq,xxx,,kkk，，21 用最小二乘法解矛盾方程组(5.4)，求出，然后再解一元二次方程 pq, 2 xpxq，，,0得到的两个根便是的近似值。 ,、,12 再由 2 [()]0AAx,，，,,,,,k1212可得 ()()()()0AIAIxAIxx,,,,,,,,,,12112kkk，和 A,,,,,,,,,,ΙAΙxAΙxx0 ，，，，，，，，21211kkk，综上所述，可得 p12 ,,,，P,4q122 uxx,,,112kk，(5.5) p12 ,,,,p,4q222 uxx,,,211kk， 在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况来判定属于哪种情况。 若迭代向各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况;若迭代向量分量变化不单xx,ckk，1 调，但有关系式，则属于第2种情况;若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式xx,ckk，2 ，则属于第3种情况。 xxx，，,pq0kkk，，21 5.1.3 幂法的实际计算公式 4 ,,1,,1当k,,时，若，则的分量会趋于无穷大;若，则的分量会趋于零。因此会使xx11计算机出现上溢或下溢现象。为了防止溢出，可采用如下迭代公式 mmax,,()xx kkk, xxkkk,,,,0,1, y,,(5.6) kmxkk, x,Αykk，1 T y,(1,1,,1)？0 式(5.6)的更详细的带计算过程的计算公式为: n()(1),kkxay,in,1,2,,？ ,ijji,1j ()()kk(5.7) yxm,iik ()()()kkkk,1,2,？ mxxx,,,||||max,kiipi n()()kksmyx,,,(), ,kii,1i T y,(1,1,,1)？0 ()p()k()p()k注:当时，按模最大特征值为正，故计算时取,当时，取。 x,0，xx,0,xsiikk 由式(5.6)知 22xAyAxkkk,,,233 xAyA,,,,kk,,12xxxxkkkk,,,,2323,,,, „ „ k,1Ax0 (5.8) ,xxx,,,kk,,230,,, 在式(5.8)两端同乘以，得 A kAx0 (5.9) Ax,k,1xxx？kk,,230,,,因为 Axxk,1k,1,xAyA,,, kk,1,,xxkk,,11,,,将式(5.8)、(5.9)两端分别取范数后，代入上式得 5 kk,,,,,,,,kn2,,aaauuu，，,,,，,,,,,11122nn,,,,,,,,11,,,x, k,kk,,,,,,,,k,1n2,,aaauuu，，,,,，,,,,,11122nn,,11,,,,,,,,, 所以 m,,x,当k,,时， (5.10) kk,1 ,k因此当充分大时，就是按模最大的特征值的近似值。 m1k 利用式(5.9)可得 xAyAxkkk,,11 y,,,kxxxxkkkk,1,,,, kAx0 (5.11) ,,,,,xxx,,,kk,10,,, 另一方面，有 kkk AxAyxAyx,,00000,,,,, kk,,11 ,,AAyxAxx0010,,,, k,1,Ayxx (5.12) 110,, „ „ ,,,,xxx kk,10,,, 将式(5.12)代入式(5.11)，有 kk,,,,,,,,kn2,,aaauuu，，，？,,,,,11122nnk,,,,11,,,,Ax,,0 y,,kkkkAx,,0,,,,,,,kn2,,aaauuu，，，？,,,,,1112nnn,,11,,,,,,,,, 从而 u1 (5.13) 当时，k,,,yku1, yyk这说明归一化向量序列收敛于按模最大的特征值所对应的特征向量。因此，当充分大时，,,,,kk 就是特征向量的近似值。 u1 6 5.1.4 幂法的计算步骤 ,,,,,,,,？。 为节省篇幅，这里仅介绍123n 1(输入 T 矩阵的阶，系数，=，允许误差 ainjn(1,,;1,,),,？？ep初始向量yn(1,1,,1)？ij0 2(输出 in,1,2,,？ 特征值,和特征向量() yi 3(计算步骤 1)给出迭代先导条件 sep,2 计算公式 对应语句 s=2*ep; 2)用幂法求按模最大特征值及特征向量 计算公式 式(5.7) 对应语句 while(s>ep) { for(j=1;j<=n;j++) x[i]=x[i]+a[i][j]*y[j]; m=fabs(x[1]); p=1; for(i=2;i<=n;i++) if(fabs(x[i])>m) { m=fabs(x[i]); P=i; } S=0; for(i=1;i<=n;i++) s=s+(x[i]-m*y[i]); for(i=1;i<=n;i++) y[i]=x[i]/m; } 5.1.5 幂法的计算实例 例2 用幂法求矩阵 210,,, ,, A,,,121,,,,012,,, ,4的按模最大特征值和相应的特征向量()。 ep,10 T解 取x,(1,1,1)，用幂法迭代公式 0 7 mmax,,()xx kkk, xxkkk,,,,0,1, y,,kmxkk, x,Αykk，1 计算结果如表5.2所示。 表5.2 幂法迭代公式计算结果表 0 1 2 3 4 5 6 k 1.000 0 2.000 0 3.000 0 2.500 0 2.428 6 2.416 7 2.414 6 ()k1.000 0 -2.000 0 -4.000 0 -3.500 0 -3.128 6 -3.416 7 -3.414 6 xi1.000 0 2.000 0 3.000 0 2.500 0 -2.428 6 2.416 7 2.414 6 m1.000 0 2.000 0 4.000 0 3.500 0 3.428 570 3.416 7 3.414 6 k 1.000 0 1.000 0 0.750 0 0.714 3 0.708 3 0.707 3 0.707 1 ，，k0.000 0 -1.000 0 -1.000 0 -1.000 0 -1.000 0 -1.000 0 -1.000 0 yi1.000 0 1.000 0 0.750 0 0.714 3 0.708 3 0.707 3 0.707 1 T所以。事实上，矩阵的最大特征值,,,,,,m3.414634,(0.707143,1,0.707143)uyA1616 22Tu,,(,1,),,，22为，其对应的特征向量。 1122 5.2 逆幂法 逆幂法的功能是求按模最小特征值和和特征向量。 A ,1A设为非奇异方阵，为的特征值，为其相应的特征向量，则的AA,,,,,,,,,uu,,,,,12n1n 111,1A,,？,特征值为其相应的特征向量仍为。按模最大特征值的倒数则为阵按Auu,,,,,1n,,,12n 模最小特征值。 5.2.1 逆幂法的计算公式 x,0取，计算向量序列 ,1 (5.14) xAx,,,,,,0,1,kkk，1 它等价于 (5.15) Axx,,,,,,0,1,kkk，1 8 这样一来，我们可以通过反迭代过程，即通过解方程组(5.14)求得。x k，1 ,,,,,0,ak当充分大时，则有 nnn,1 ()kxi (5.15) ,,,,ux，nnk1，(1)kxi在实际计算中，为了减少运算量，可先将作三角分解 A ALU, 然后再解两个三角形方程组就可以了，再考虑到防止数据溢出，即得逆幂法的实际迭代步骤如下: LU(1)对作分解 A (2)解方程组 (1)()kk， LUxy,即解 (1)()kk，,Lzy, ,(1)(1)kk，，Uxz,,,()k x,()ky,,()k||||x,,(0)(0)TT,(1,1,,1)(1,0,,0)yy,,？？或, 令 ()()()kkk,max0xxx,,ipp,i m,,k()()()kkk,,,,max0xxx,ippi, 1,, minmk迭代条件为 ()()kk ||||xy,,m,k5.2.2 逆幂法的计算步骤 LU 逆幂法的迭代过程与幂法一样，前面已经介绍过分解法，这里不再详细叙述逆幂法的计算步 骤。 例1 用逆幂法求矩阵 210,,, ,, A,,,121,,,,012,,, ,,0.05按模最小特征值及相应特征向量。(精度) ALU, 解 先对作三角分解 A 9 ,,,, ,,,,100210, ,,,,13,,,, LU,,,,1001,,,,22 ,,,,24,,,,0100,,,,,33,,,, T取,用逆幂法迭代公式 x,(1,0,0)0 xkk,,,,0,1,;; Uxz,Lzy,y,kk，1kkkxk, 得计算结果如表5.3所示。 表 5.3 逆幂法迭代公式计算结果 0 1 2 3 4 5 k 1.000 000 0.250 000 0.500 000 0.937 500 1.177 083 1.180 722 (k) x0.000 000 0.500 000 1.333 333 1.500 000 1.729 167 1.710 843 i 0.000 000 0.750 000 1.166 667 1.250 000 1.281 250 1.225 904 m1.000 000 0.750 000 1.333 333 1.500 000 1.729 160 1.710 843 k 1.000 000 0.333 333 0.375 000 0.625 000 0.680 722 (k) y0.000 000 0.666 667 1.000 000 1.000 000 1.000 000 i 0.000 000 1.000 000 0.875 000 0.833 333 0.749 640 1.000 000 0.333 333 0.375 000 0.625 000 0.680 722 ()k z0.500 000 0.833 333 1.875 000 1.312 500 1.340 361 i 0.333 333 1.555 551 1.666 667 1.708 333 1.634 538 1,,,从上表可看出，0.5845作为按模最小的特征值的近似值，minm5 (5)T作为相应的特征向量的近似值，而的按模最小的特征值的理论值为Ax,(1.1807,1.7108,1.2590) . 220.5859,, ~,5.2.4 用逆幂法求在附近的特征值的计算公式 ~设与最接近的特征值为，即有 ,,i ～～||||,,1,,,,,,,,,, ？jijn ij ～作矩阵，它的特征值及相应特征向量为 AI,, ～,,,,,,,,,和u,1,,jn jjj 10 ～若用逆幂法求，则有 AI,, ～(),0,1,AIxx,,,,,,,k kk，1～则可求得按模最小特征值和相应特征向量为 AI,, ()k,xi～,,,,,,,ii，(1)k x,i ,ux,，ik1, ~于是得矩阵在附近特征值和相应特征向量为 A, ()k,xi～～,,,,,，,，,ii，(1)k x,i ,ux,，ik1, ~,5.2.5 用逆幂法求在附近的特征值的计算实例 例2 用逆幂法求矩阵 220,,, ,, A,,021,,,,012,,, ,5在2.93附近的特征值及相应特征向量(精度)。 ep,10AI,2.93解 对矩阵作三角分解 ,,0.9310,, ,,AI,,,,2.9300.931,,,,010.93,,,, ,,,, ,,,,1000.9310,,,,,,,,,01000.931,,,, ,,,,1101000.93,，,,,,0.930.93,,,, T取x,(0,0,1),由迭代公式 0 xkk,,,,0,1,;; Uxz,Lzy,y,kk，1kkkxk, 得计算结果如表5.4所示。 表5.4逆幂法的计算 11 0 1 2 3 k 0.000 00 7.959 06 12.692 31 14.278 43 (k) x1.0000 00 -7.401 92 -12.803 85 -14.267 63 i 1.000 00 6.883 79 12.837 58 14.266 27 m1.0000 00 7.959 06 12.837 58 14.266 27 k 0.000 00 1.000 00 0.988 68 1.000 00 (k) y0.000 00 -0.930 00 -0.997 37 -0.999 24 i 1.000 00 0.864 90 1.000 00 0.999 15 0.000 00 1.000 00 0.988 68 1.000 00 ()k z0.000 00 -0.930 00 -0.997 37 -0.999 24 i 1.000 00 1.864 90 2.072 44 2.073 60 ,11AI,2.93由表5.4知，的按模最大的特征值为，即的按模最小的特征值为，(2.93)AI,mm33 T 1所以矩阵的特征值为+2.93?3.000 36，相应的特征向量为(1,-0.999 24,0.999 15) Am3 5.3实对称阵特征值的对分法 首先讨论三对角对称矩阵的情形，再讨论一般对称矩阵的情形。 5.3.1 求实三对角阵特征值的对分法 1(实对称三对角的Sturm序列 设实对称三对角阵 cb,,11,,bcb122,, ,,bcb233,, C,,, ,,？？？,,bcb,,nnn211,,, ,,bcnn1,,, p(,)CI,,的i其中，用表示阶主子式，并规定则 p(,),1,b,0,bin,,,,,0(1,,)00i C为矩阵的特征多项式，且容易验证 p()det(),,,,CIn p(,),10 p(,),c,,11 2p(,),(c,,)p(,),bp(,) (5.17) 22110 „ „ 12 2 pcpbp()()()(),,,,,,,iiiii,,,112称多项式序列为矩阵C的Sturm序列。 {(),(),,()}ppp,,,,,,01n Sturm序列具有以下性质: 性质1 仅有实根。 pin()0(1,,),,,？i 性质2 相邻两个多项式和无公共零点。 p(,)p(,)i,1i ~～～pp()()0,,,性质3 设是的根，则 。 p(,),0,ii,，11i 的根全是单根，并且 的根把的根严格地隔离 性质4pin()0(1,,),,,？p()0,,p(,),0iii，1 开来。 ~11,,,in性质5 设,且是的根，则当正数足够小时，和在区间p(,)p(,),0p(,),,i,1ii ～～～～内同号, 和在区间内同号。 (,),,,,p(),(,),,,，p(,)ii，1 2(序列在某点的连号数 ~～ 序列Sturm在在时的连号数p(,)，由以下规则确定 {(),(),,()}ppp,,,,,,,,,i01n ~~~~p(,)p(,)(1) 若和p(,)同号，则从到p(,)有1个连号数;若符号相反，则无连号数。 i,1i,1ii ~～p()0,,p(,)(2)，则以的符号作为它的符号。 i,1i ~p(,)(3)=的连号数。 {(),(),,()}ppp,,,,,,01n p(2)1,0,1,0,1,,,如:的连号数=2。 ,, 3(Gerschgorin定理 nn，AR,,()a定义1 设 ，定义 ij Dzzarin,,,,,,,{}1,, (5.18) iiii n为第个Gerschgorin盘(或称圆盘)，其中为的半径。 iDra,,iiijj,1ji, nn，AR,,()a定理1(Gerschgorin定理或称圆盘定理)设，则A的全部特征值都在区域ij 内。 DDDD,::？:12n in,1,,？zar,,zD,证明 当内，即对，有。所以矩阵AI,z是严格对角占优的，而严格iii det()0AI,,z对角占优矩阵是非奇异的，即，故z不是A的特征值。换句话说，方阵A的全部特征 13 值都属于。 D Gerschgorin由定理立即可得 推论1 矩阵的特征值满足 A n minmin(),,,aa,iiiijii,1j,ji (5.19) n maxmax(),，aa,,iiiijii,1j,ji C推论2 设为实对称三对角方阵，令 (5.20) mcbbMcbb,,,,，，min,max，，，，jjjjjj,,111,,jn1,,jnC则的所有特征值都属于区间。 ,,m,M 4.求实对称三对角阵的对分法 ~～C定理2 矩阵在区间内特征值的个数等于。 [,),，,,(,) 证明略。 例1 求三对角矩阵 ,2100,, ,,1210,,,C, ,,0121, ,,,,0012,,, 在内特征值的个数。 ,，,2,0 C解 首先写出的Sturm序列 ， ，，P,,10 ， ，，P,,,2,,1 ，，，，，，，，P,,,2,,P,,P,210 ，，，，，，，，P,,,2,,P,,P,321 ，，，，，，，，P,,,2,,P,,P,432再分别计算Sturm序列在-2和0两点的连号数 ,(2)1,0,1,0,1}2,,,,, (0)1,2,3,4,5}0,,,,,, 所以在上有个特征值。 ,，，，，，,2,0,,2,,0,2 14 利用定理2和Gerschgorin定理，由对分法就可将矩阵C的特征值进行隔离，具体步骤如下: C1. 求矩阵的Sturm序列; C2. 根据Gerschgorin定理求出的全部特征值的上界和下界; Mm m，MC3. 将区间对分，取中点，若，则矩阵在区间有k个特征,,,，，m,M,,,k,,,,M,1112 m,,内有n,k个特征值，再分别计算及的中点，，分别计算，值，在区间,，，,,m,,,,,,M,,,，,131122 ，继续下去，总可将分成若干个小区间，使得矩阵C在每个小区间上至多有一个特征值，，，,,,,m,M3 C这样就可以将的个特征值隔离开了。 n 4. 继续对有根区间使用对分法，就可求出满足给定精度的特征值的近似值，这就是求实对称三对 角方阵特征值的对分法。 例2 用对方法将三对角方阵 1200,, ,,2120,,C, ,,0212 ,,,,0021,, 的特征值进行隔离，并求出其最大特征值，使它至少有2位有效数字。 C解 设的四个特征值的次序为，则，由圆盘定理可得特征值的上,,,,,,,,,,,m,M1234i 界，下界分别为 ，Mcbbmax5 ,，，,，jjj,1，14,,j ，mcbbmin3 ,,,,,，jjj,1，14,,j [3,5],C即矩阵的特征值属于区间。 C的特征多项式序列为 ; ，，P,,1，，P,,1,,01 ，，，，，，，，，，P,,1,,P,,4P, i,2,3,4ii,1i,2 (1)分别计算各点的连号数，具体结果见表5.5 表5.5各点连号数的计算 i 0 1 2 3 4 连号数 ，，P,i p(3),1 4 12 32 80 4 i P(1),1 2 +0 -8 -16 3 i P(1)1 +0 -4 -0 16 2 i P(3)1 -2 -0 8 -16 1 i P(5)1 -4 12 -32 80 0 i ,,,3,1,1,1,1,3,3,5CC因此，区间各有的一个特征值，这样就将的特征值进行了隔离。 ，，，，，，,, (2)最大特征值，计算列表如下。 ，,,3,5,,11 15 表5.6 最大特征值所在区间划分 i ，，P,i所在区间 0 1 2 3 4 连号数 , 1 ，，P4 ，,,4,5,i1 1 -3 5 -3 -11 1 ，，P4.5 ，,,4,4.5,i1 19.062 0 1 -3.5 8.25 -14.875 1 3.25 6.5625 -8.328 0.816 0 ，，P4.25 ，,,4,4.25,i11 -3.22 6.3684 -7.626 -0.917 1 ，，P4.22 ，,,4.22,4.25,i1由于区间,取该区间内任意一点作为最大特征值的近似值都具有2位有效数字。 ，,,4.22,4.25,1 5.3.2实对称阵的三对角化 为了用对分法求任意实对称阵的特征值，首先需要正交变换将其化为三对角矩阵，此过程可以A 通过Househoulder矩阵实现. nnHHv,()定义2 设，阶Househoulder矩阵定义为: v0,,RR\{}n* 2T (5.21) HIvv,,Tvv 其中为阶单位阵。 In nx,R显然，对任意，有 TvxHxxv,,2 Tvv nTnx,Rvx,0Hxx,RHxx,因此向量以及共面。特别地，如果，且，有，于是由在上垂直于v nx,RxHx,的所有向量组成的超平面H在映射下是不变的。最后，对任意 xv TTvHxvx,, HxHx因此，如果和之间的夹角用表示，则和的夹角等于,，,。易知:是关于超平,xvvx xHx,面的像。由于此原因，映射又称为Househoulder反射，或者称为镜面反射(见图5-1)。 H xv u H Hx 16 图5-1 镜面反射图 引理1 Househoulder阵是对称且正交的。 TTTTTTTT证明 因为是一个正数，的对称性显然。又 HIIvvvvvvvvvv,,,, (),()且 44TTTTT2HHHHHIvvvvvv,,,,，()() TT2vvvv() TTTTTT ()()()()()vvvvvvvvvvvv,, 所以 THHI, 因此为正交阵。 H k引理2 设为阶Househoulder阵，则下列分块形式的矩阵 1, ,,knHk I0 ,,nk, (5.22) H,,,T0H k,, n,k0仍是Househoulder阵，其中为阶单位阵，为阶零阵。 I，，n,k，knk, nbu bubu, , , ,,,RHbu,定理3 设，则存在Househoulder阵，使得。 H*22 n证明 取，取 vbu,,,R* 2T HIvv,,Tvv且 T2bubu,,，，，，Hbbb,,Tbubu,,，，，， T2 bubbu,,，，，， ,,bTTTTbbbuubuu,,， nTTTTbbuu, bu,buub,,bu因为， 所以。又因为，故 ,ii22i,1 TT2bbub,，，Hbbbu,,,，，TT 2bbub,，， ,,,,bbuu，， 17 b,,1,,？,, ,,b,,22,,,, Hbusgn()，？，bbbr，1r，1n,,0,, ,,？,,,,0,, bu,注 的符号由下列原则决定:“使”，否则，在中第个分量的计算中r，1uu与b异号r，1r，1r，1 可能出现两个相近的数作减法。 Househoulder阵的形状讨论如下: H 令 0,, ,,？,, ,,00,,,,r buvbu,,,,记,,rr，，11,,Pnr,,,,,br，2,,？,, ,,bn,, 22vP,显然有，且 nr,22 0,,rTT20P，，,,rnr,TP2vvnr,,,HII,,,,T2vvPnr,2 00,,rrrnr,,,2,,T0PPnrrnrnr,,,,,,,,I 2Pnr,2 I0,,rrrnr,,,,,T2PP,nrnr,,,,0nrr,,2,,Pnr,2,, rn，,1Householderb定理4 设已知向量的个分量不全为量，，则必有一个阵H， ，，n,r，1 HbHbb使得的前个分量与向量的前个分量对应相等，而的后个分量都等于零。 ，，n,r，1rr 证明 设 18 bu,,,,11,,,,bu22,,,, ,,,,？？ ,,,,b,bu,u， rr,,,, ,,,,bu11rr，，,,,, ？？ ,,,, ,,,,,,,,bu,,,,nn 令 bir 1,,,？,i,,22 usignbbbir,，，,，？1，，,，，11irrn ,0 2,,irn,，？,, nubub,,,R且满足。 *22 b由定理3知:对于向量及与其等长的不同向量，必定存在一个Househoulder阵 u T2bubu,,，，，，，使得对称阵经过Househoulder变换后具有以下性质: AHI,,Tbubu,,，，，， 性质1 与相似。 AHAH 性质2 为对称阵。 HAH 性质3 的前行与的前行相同。 HAArr 证明 将、分别写成分块形式: HA I0,,rrrnr,,,AB I0,,,,,,Tr2PPH,记; A,nrnr,,,,,,,,0 0DCAnrr,,2,,n-r,,,,Pnr,2,, 则 AB,,r HA,,,DCDAnr,,, 性质4 的前列与的前列相同。 HAHHArr 证明 ABI0,,,,rrHAH ,,,,, DC DA0D,,n-r,, AB,,r ,,,DCDADnr,,, nn，A,R定理5 设，则存在Househoulder阵 ,使由递推公式 HHH,,,？，，k,n,2sym12k 19 AA,1 ik,1,,？ (5.23) AHAH,，，iiii，1得到的对称矩阵是三对角阵。 Ak，1 证明略。 例3 用Househoulder变换将对称阵 6231,, ,,2548,,A, ,,3491 ,,,,1817,,化为三对角阵。 n,4n,2,4,2,2解 ，则至多通过次Househoulder变换可将对称阵化为三对角阵。 A 第一步 令,记 AA,1 6,, ,,2,,b, 1,,3 ,,,,1,,取 66,,,, ,,,,222,14,，，231,,,, u,,1,,,,00,,,,,,,,00,,,, 则 0,, ,,214，2,, vbuv,,,,, 42.966611112,,3,,,,1,, 1000,, ,,T0-0.5345 -0.8018-0.2673vv11,,H,,,I 212,,0 -0.8018-0.5811 -0.1396v12,,,,0-0.2673-0.1396 0.9535,, 所以 63.741700,,, ,,,3.741713.87561.8079 -3.1394,, HAHA,,1112,,01.80794.2912-6.0079 ,,,,0-3.1394-6.00792.8512,, 20 第二步 记 ,3.7417,, ,,13.8756,,b, 2,,1.8079 ,,,,,3.1394,,取 ,3.7417,,,3.7417,,,,,,13.875613.8756,,,,u,, 22,,2,,,3.6228,，,1.80793.1394，，,,,,,,,,0,,0,, 则 0,, ,,02,,vbuv,,,,, 39.3483 22222,,5.4307 ,,,,,3.1394,, 1000,, ,,T0100vv222,,HI,,, 22,,00-0.49900.8666v22,,,,000.86660.4990,,所以 6 -3.741700,, ,, -3.741713.8576 -3.62270,,HAHA,, 2223,,0 -3.62278.4058-3.6387 ,,,,00-3.6387-1.2634,, 显然，为所求对称三对角阵。 A3 A用Househoulder变换将对称阵化为三对角阵算法所涉及程序设计知识较多，这里不再介绍。 21