多元Poisson分布及其性质

多元Poisson分布及其性质 多元Poisson分布及其性质 第29卷2期 2006年4月 安徽师范大学(自然科学版) JournalofAnhuiNormalUniversity(NaturalScience) VO1.29NO,2 Apr.2006 多元Poisson分布及其性质 何道江 (安徽师范大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 与计算机科学学院,安徽芜湖241000) 摘要:首先给出了多元Poisson分布的一种定义,然后从研究其特征函数入手,讨论了多元 Poisson分布的边缘分布,条件分布以及数字特征等一系列性质.最后给出了多元P0issOn分布与多 项分布以及多元正态分布之间的关系. 关键词:多元Poisson分布;特征函数;多项分布;多元正态分布 中图分类号:O212文献标识码:A文章编号:1001—2443(2006)02—0122—05 引言 关于多元离散型分布,由于其复杂性,除了多项分布外,对其研究一直较少.文献[1]给出了多元r分布 的定义及其性质,本文给出其关于离散型分布的对应物——多元Poisson分布的定义,讨论了它的一些性质 以及它与多项分布,多元正态分布之间的关系, 首先给出多元Poisson分布的定义: 定义设X=(X.,X2,…,x)是,z元随机变量,如果x的联合概率函数为 二_-二_ 其中^>0,k=1,2,…,7z.l?2?…?,^=0,1,2,…,k=1,2,…,7z.则称X服从参数为(l, 2,…,)的7z元Poisson分布,记作X,P(l,2,…,). 显然,当7z=1时,X服从的就是常见的(--;~)Poisson分布. 1多元Poisson分布的一些性质 本节从研究多元Poisson分布的特征函数人手,讨论了多元Poisson分布的若干性 质. 性质1设X=(X一,X),P(一,),则X的特征函数为 x ()=exp{一(l+2+…+)+[l'I2"?一'+2'2十'"+…+Pn一]},(2) 其中tER",i是虚数单位. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 用数学归纳法.当,z=1时,X=X.,P(),易知结论成立.假设当n=k时,结论成立, 即 Vt?R,有 『_? ()=?P… I ?…??+l I,,,?0 F『=___ 收稿日期:2005—03—30 基金项目:安徽省省级教学研究项目(JYXM2003159). 作者简介:Nigh(1980一),男,安徽六安人,硕士研究生,主要从事多元统计研究 ?曩一臼 rr P + + +?, ,一+ ? ? ( — V 时 eL =+ 忌 ll 当 贝 29卷第2期何道江:多元Poisson分布及其性质l23 = ?ei[tlxl+'"+(tk+l+tk).ek] l ?2?…? l?x2-…?xk0 一 : l ?2?…xk l?2?…?'0 _(1= . 二_=(al+a2+--'+ak~1)? t3=0 鲁 . =exp{一(1+2+…+^)+[1'l2+…++l+…+^'++l]}?exp{一^}1+^}l+l} =exp{一(1+2+…+^+^+1)+[1i'l…^+l+…+^'+l+^+1n+1]}. 可见,当=k+l时结论也成立.故结论得证. 性质2设X=(X1,X2,…,X),P(1,2,…,),则 (i),P(1+…^),k=1,2,…,. fv(1)1 (ii)对x分块,X=I一I,其中x()=(X1,…,Xq),x')=(x.+1,…,X),1?q?一1,则x"'lVZl' , P口(1,…,口),X'',P一口(1+…+口+1,aq+2,…,). 证明(i)在(2)中令t1=…=t^一1=t^+1=…=t=0,则得的特征函数 x(tk)=~ox(O,…,0,^,0,…,0) =exp{一(l+2+…+^)+(l+2+…+^)eit}, 这正是(一元)Poisson分布P(1+…+^)的特征函数,由唯一性定理知(i)成立. (ii)在(2)中分别令t.+1:…=t=0以及tl=…=t口=0,则得到X''和x''的特征函数, x(1)(')=exp{一(l+…+口)+[l'l…口'+…+q]},t'=(tl,…,tq). x(2)(t'2)=exp{一[(1+…+口+1)+口+2+…+,]+[(1+…+口十1)e"+l+…一 +口十2"+2…一 '+… +"]},t('=(tq1,…,t). 进而(ii)成立. 注更一般地,对于x的任一子向量X=(,,…,Xk),l?k1<k2<…<k?,类似可 从(2)求得X的特征函数, x'()=exp{一(1+…+^)+[(1+…+^)'… +(^+1+…+^ 2 )P'':'+…+(^ 一 +1+…+^)Pitk]}? 性质3设X=(X1,X2,…,X),P(1,2,…,),则X的数学期望和协方差阵分别为 EX=(1,1+2,…,1+2+…+), Coy(X)= 11 11+2 11+2 证明由性质2(i)知,EX^=1+…+^,DXk=1+…+^,k=l,2,…,,故 EX=(EX1,EX2,…,EXk)=(1,1+2,…,1+a2+…+). 再由(4),当1?J<k?时,(x,,X^)的特征函数为 ,^ (tj,t^)=exp{一(l+…+女)+[(l+…+J)'+(J+l+…+女e"] 易得 二=仍 ^ (f,,f^)[(l+…+,)ei(tj+q)+(,+l+…+^)P《] [(l+…+,)F'i]+(tj,t^)[(l+…+J)ei(t'i2]. (4) ? ? ? ? = + 2. 一 ++ 12 + 124安徽师范大学(自然科学版)2006焦 进而 于是 故 再注意到 因此 l..=一(+…+)(t+…++1) E(Xk)=iOt J Otk CD(,X^)=E(Xk)一EX:,EXk = (1+…+,)(l+…+七十1) =1+…+J,1?<五?n. Coy(,)=D=l+…+j,1?J?n, Coy(X) |=L1|=Ll 11+2 11+2 |=Ll 1+2 性质4设x= f:],其中x(1)=(Xl,---,xq)',X(2):cx.+-,…,x,,则(i)在给定X'=z'=(z.+一,z)的条件下,X'的 条件概率函数为 厂czct-zc,,=兰;;,z?zz?…?z.?z.+t.c5, (ii)在给定X'=z'=(z一,z.)的条件下,x'的条件概率函数为: '+ ,z.?z.+1?…?z.(6) 证明由X'?,Pq(1,…,口)及X',Dn--q(l+…+q+一,)以及条件分布的定义易得(5), (6). 性质5设X,P(1,…,),Y,P(A1,…,A),且X与y独立,则 X+Y,P(1+以l,…,+A). 证明由于X与y独立,故X+y的特征函数为 x+y(f)=x(f)?y(f) =exp{一(1+2十???+)+[1'l…?n'+2'2…?'+…+n]} .exp{一(A1+以2+…+A)+[以1'l2…?'+以2'2n+…+以n]} =expt一[(1+A1)+(2+A2)+…+(+A)]+[(l+A1)"l'' +(|=L2+A2)'2'…?+…+(|=L,+以)P"]} 这是n元Poisson分布P(l+以一,+A)的特征函数,故结论成立. 性质5 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,多元Poisson分布具有可加性. 性质6设X=(Xl,X2,…,X),P(l,2,…,),令Y1=Xl,=Xk—Xk一1,五=2,…,n. 则(i)yl,y2,…,y相互独立,且,P(),五=1,2,…,n. (ii)在yl+y2+…+Y=z条件下,(Yl,Y2,…,Y)的条件分布是多项分NM(z;Pl,P2,…,P), ) 这里P^,1,2,…? 证明(i)易得Y=(Yl,Y2,…,Y,)的联合分布为 _厂y(Y)=")=直c等,一【' 29卷第2期何道江:多元Poisson分布及其性质125 此表明Yl,Y2,…,Y相互独立,且,P(),忌=1,2,…,,z. (ii)Yrl+Y2+…+Y,,=X,,,P(l+2+…+,,),故 p(Y+y:+…+y=z)=____e—n-++…+,z=0,1,… 由(i)易知,(Yl,Y2,…,Y,Yl+Y2+…+Y)的联合分布为 P(Yl=zl,…,Y:z,y1+…+Y=z)= z女=0,1,…;七:1,2,…,,且zl+…+z=z 于是在yl+y2+…+Y,,=z条件下,(yl,Y2,…,y)的条件分布为: P(Yl=zl,Y2=z2,…,Y=zIyl+y2+…+y=z) P(Yl=zl,…,Y,,:z,Yl+…+Y=z) P(yl+…+Y=z) =… , z=0,1,…;忌=1,2,…,,z,且zl+…+z,I=z. 故(ii)得证. 2其他结果 二项分布在一定条件下的极限分布是一元Poison分布,这就是着名的Poisson定理. 而多项分布与多元 Poisson分布也有类似结果: ,x),M(,z;i,…,'),?2,且当,z一..时,,z一>0,i= 定理1设X=(X一 1,…,,一1.令yl=X1,Y2=X1+X2,…,y1=Xl+X2+…+X一1,则当,z一? 时,Y=(Yl,Y2, … ,一1)的极限分布是P一l(l,2,…,一1). 证明由于X=(X1,…,X一l,X)的特征函数为 (t)=("P"-+…+lP"m一-+P)", 故(X一,X一1)的特征函数为 (x.,…,x.),()=("'P-+…+:lP"-+'). 设A=(.)(一 1)(一1) ~-V=fa阵,且aij=1,i?J,则Y=(Yt,…,y一1)=A(Xl,…,X—1),于是 y的特征函数为 y()=(x., … , x.), (A)=(Pm-+..…+P:+.一"一+…+lP"一+)" : 『1+::!:::::二::::::::!:!!:::::二:::::! ,z —expt一(1+…+,一1)+[lP'l…m—l+…+2.z- 1P "— 1]},(,z—?) 这正是,1元Poisson分布P一l(一,,1)的特征函数,定理得证. 多元Poisson分布与多元正态正布也有密切关系,这就是 定理2设X=(X1,X2,…,X),P(l,2,…,,,),令 b=(,,…,),(7) A= 00…00~/ l 1 ~/2 0 0 1 ~/2 l ~/3…0 00?1 ~/ 0 0 l ~/ (8) 126安徽师范大学(自然科学版)2006年 记Y=(Y1,Y2,…,y)=AX—b,则当.=【—oo,k=l,2,…,时,y的分布收敛于多元正态分 布N(0, ). 证明y的特征函数为 y (t)=e-ib't~x(At) 一( 一xp{ 一xp{ ,皂) ~/ +…+皂)}.exp{一(l+…+)+(1eitI+...+/)~/ +.一+,(1+…+)+1[1+i 一…+一 爰+0()] exp{ — exp ({ 1(2 t1 ~/ +…+t2)+1?0()+…+-0(:) +…+t2)},(—oo,k=1,2,…,7/) +0()] 注意到expl一1(,2+…+,)}是扎元正态分布N(0,f)的特征函数,故定理得证. 由定理2,显然有 推论设x=(x一,x),P(-.,),则当1,…,都充分大时,x的分布近似于多元正态 分布』\,(A_.b,AI1(AI1)),这里b和A分别由(7)和(8)给出. 致谢:感谢郭大伟教授的指导! 参考文献 张光远.另一种形式的多元r分布及其性质[J].高校应用数学A辑,2000,15(1):65— 71. 高道德.广义多元r分布[J].数理统计与应用概率,1995,10(2):l—l3. 张光远.关于多元t分布的一些讨论[J].新疆大学:自然科学版.1996,13(3):33—38. RobbJMuirhead.Aspectsofmultivariatetheory[M].Johnwiley&sons.Inc,1982:2— 20. AndersonTW.AnIntroductiontomultivariatestatisticalanalysis[M].Secondedition.Jonhwiley&sons.Inc,1984.:7—35 方开泰,许健伦.统计分布[M].北京:科学出版社,1987:82—87. 张晓东,杨尚骏.F一矩阵[J].安徽师范大学:自然科学版,2001,24(I):I一5. MultivariatePoissonDistributionanditsProperties HEDao—jiang (CollegeofMathematicsandComputerScience.AnhuiNormalUniversity,Wuhu241000,China) Abstract:Inthispaper,adefinitionofmultivariatePoissondistributionisproposedfirstly.Then,onthebasis ofcharacteristicfunction,itspropertiessuchasmarginaldistributionandconditionaldistributionarediscussed. Atlast.therelationsbetweenmultivariatePoissondistributionandmultinomialdistributionormultivariate normaldistributionaregiven. Keywords:multivariatePoissondistribution;characteristicfunction;multinomialdistribution;multivariate norma】distrib1ation , l234567