§9-3 同 构
定义8:实数域R上的欧氏空间V与W称为同构的,如果由V到W有一个1-1的映上映射
,对任意
,适合
1)
,2)
,3)
;
这样的映射
,称为V到W的同构映射。
显然:如果
是欧氏空间V到W的同构映射,则
也是线性空间V到W的同构映射。同构的欧氏空间具有相同的维数。
设V是一个n维欧氏空间,
是V的一组
标准
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正交基,则V的向量
都可
表
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示成
。
令
,则
是V到Rn的一个1-1的映射且是同构映射。
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性、传递性。
由于每个欧氏空间都与Rn同构,从任意两个欧氏空间都是同构的。
定理3:两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。
l 欧氏空间的结构完全由它的系数决定。
作业:P395-10、11
§9-4 正 交 变 换
定义9:欧氏空间V的线性变换A称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,对于任意的
都有
。
定理4:设A是欧氏空间V的一个线性变换,于是下面命题是等价的:
1.A是正交变换;
2.A保持向量的长度不变,即对于α∈V,恒有 |Aα|=|α|;
3.如果
是标准正交基,则
也是标准正交基;
4.A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
给予证明
正交矩阵是可逆的
正交变换是可逆的
结论:正交变换的逆变换是正交变换;
两个正交变换的乘积也是正交变换。
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
:设V是n维欧氏空间,
是一个非零向量,
定义:
,则A是V的一个正交变换,且A2=E
如果A是正交矩阵,就有
,从而有 |A|=±1,
行列式值为1 的正交变换称为旋转,或称为第一类的;
行列式值为-1的正交变换称为第二类的。
在欧氏空间中任取一组标准正交基
,定义线性变换
A就是第二类正交变换。
例:将V2的每个向量旋转一个角φ的正交变换:
关于任意标准正交基下的矩阵是
,或者
取φ=
,矩阵有形状
。
V3的任意正交变换关于某一正交基下的矩阵类型有:
,
,
,及
。
P396-16、17、18、23