2014届九年级中考数学专题复习：常见辅助线作法：圆问题 三角形问题 梯形问题(方法解读 题型训练)

2014届九年级中考数学专题复习：常见辅助线作法：圆问题 三角形问题 梯形问题(方法解读 题型训练) www.czsx.com.cn 初中几何中常见辅助线的作法 在几何学习中，如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添 加方法不当，造成解题困难。在老师的帮助下，我根据自己的学习经验把初中几何中常见的 辅助线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。 人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添,把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 1 www.czsx.com.cn 正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法: 方法一:从已知出发作出辅助线: 例1(已知:在?ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的 1交点，求证:AF= FC2 O 分析:题设中含有D是BC中点，E是AD ? B A C E 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 D 切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法: 1(1)过D点作DN?CA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=FC，2 1FC再证?AEF??DEN，则有AF=DN，进而有AF= 2 1FC(2)过D点作DM?BF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF= 2 方法二:分析结论，作出辅助线 例2:如图，AD是?ABC的高，AE是?ABC的外接圆直径， 求证:AB?AC=AE?AD ABAE,分析:要证AB?AC=AE?AD，需证 ADACA ABAD,(或)，需证?ABE??ADC(或?ABD??AEC)， AEAC 这就需要连结BE(或CE)，形成所需要的三角形，同时得 B C D 00E ?ABE=?ADC=90(或?ADB=?ACE=90)又?E=?C(或?B=?E) 因而得证。 A 方法三:“两头凑”(即同时分析已知和结论)作出辅助线 例3:过?ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E; F E N 求证:AE?ED=2AF?FB M B C 分析:已知D是BC中点，那么在 D 三角形中可过中点作平行线得中位线; A F 若要出现结论中的AE?ED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点 E AEAF2AFM ,,作DM?EF交AB于M，可得，再证BF=2FM即可。 EDFM2FMC B D 2 www.czsx.com.cn 方法四:找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。 例如:在“圆”部分就有许多规律性辅助线: (1)有弦，作“垂直于弦的直径” 例4:已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小C D 圆于C、D两点，求证:AC=BD O E ? 分析:过O点作OE?AB于E，则 B A AE=BE，CE=DE，即可证得AC=BD (2)有直径，构成直径上的圆周角(直角) 例5:已知:如图，以?ABC的AC边为直径， ,, 作?O交BC、BA于D、E两点，且， CD,DE 求证:?B=?C A ,, 分析:连结AD，由于AC为直径，则有AD?BC，又，有?1=?2，CD,DE O E 1 2 由内角和定理得?B=?C ? (3)见切线，连半径，证垂直 B C D 例6:如图，AB为?O的直径，C为?O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证:AC平分?DAB 分析:连结OC，由于CD为切线，可知 OC?CD，易证:?1=?2，又因为?2=?3， 所以?1=?3，则可得AC平分?DAB D (4)证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” C 例7:已知，直线AB经过?O上的一点，并且OA=OB，CA=CB; 1 2 3 A B ? 求证:直线AB是?O的切线 O 分析:连结OC，要证AB是?O的切线， 需证OC?AB，由已知可证?OAC??OBC， 0可得?OCA=?OCB=90，结论得证。 O 0例8:已知，梯形ABCD中，AB?CD，?A=90，BC是?O的直径，BC=CD+AB， A C B 求证:AD是?O的切线 分析:过O点作OE?AD，垂足为E， 3 www.czsx.com.cn 要证AD是?O的切线，只要证OE是?O的半径即可， 10也就是说需要证OE=，由于?A=90，AB?CD，可得AB?CD?OE，再由平行线等BC2 11分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=，所以E点在(AB，CD),BC22 ?O上，AD是?O的切线。 (二)练习 1、已知: 如图，在?ABC中，AD,DB，AE,EC( 1求证: DE?BC，DE,BC( 2 A DE BC 2、已知: 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中， AD?BC，AE,BE，DF,CF( 1求证: EF?BC，EF,(AD，BC)( 2 3、已知:如图27.3.13所示,在?ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC. 求证:AE、DF互相平分。 ,4、如图:已知:AB为?O的直径，弦CD?AB，M为上一点，AM的延长线交DC的AC延长线于F， 求证:?AMD=?FMC 4 www.czsx.com.cn 与圆有关的辅助线常规作法解析 与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考—— 一、圆中有弦，常作弦心距(或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径) 例1.如图，以Rt?ABC的直角顶点A为圆心，直角边AB为半径的?A分别交BC、AC于点D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求?A的半径。 1解:过A作AH?BD于H，则。 BHBD5cm,,2 ?BA?AC，??CAB=?AHB=90?。又??ABH=?CBA， ABCB??ABH??CBA，?，,BHAB 2rAB8045cm,,,，?。 ?ABBCBH(BDDC)BH16580cm,,,，,,，, 例2.如图，AB是?O的直径,PO?AB交?O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证: 2PMPN2PO,,。 1证明:过O作OC?NP于点C，则。 PCPN,2 ?OC?NP，PO?AB，??POM=?PCO=90?。又 1POPM2??OPM=?CPO，??OPM??CPO，?，?POPMPCPM(PN),,,,，即,2PCPO 2PMPN2PO,,。 评析:求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距(即垂直于弦的直径或半径)，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。 二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角(在半圆中，同样可作直径所对的圆周角) 例3.如图，AB为半圆的直径，OH?AC于H，BH与OC交于E，若BH=12，求BE的长。 解:连结BC。 1? AB为直径，? AC?BC。又?OH?AC，AO=BO，? OHBC，2 5 www.czsx.com.cn HEOH1? ?OHE=?CBE，?HOE=?BCE，??OHE??CBE，?，,,BEBC2 22?。 BEBH128,,，,33 2CDADBD,,例4.如图,AB是半圆的直径, C为圆上的一点, CD?AB于D, 求证:。 证明:连结AC、BC。 ? AB为直径，? ?ACB=90?，??1+?2=90?。又?CD?AB， ??ADC=?CDB=90?，?1+?3=90?，??3=?2，??BCD??CAD，ADCD2CDADBD,,?，即。 ,CDBD 评析:由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。 三、圆中有切线，常作过切点的半径(若无切点，则过圆心作切线的垂线) 例5.如图，已知MN为?O的直径，AP是?O的切线，P为切点， 点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求?A的度数。 解:连结OP，设?A的度数为x。 ?PA=PM，??M=?A，同理可得?OPM=?M， ??POA=?OPM+?M=2?M=2?A=2x。又?AP切?O于点P，?AP?OP，??A+?POA=90?，即x+2x=90?，解之得x=30?，??A=30?。 例6.如图,AB为?O的直径,C为?O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证?1=?2。 证明:连结OC。 ?DC切?O于点C，?OC?DC。又?AD?DC，?OC?AD，??1=?3。?OA=OC,??2=?3，??1=?2。 评析:当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。 四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形(若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形) 例7.如图, 点A、B、C在?O上(AC不过O点)，若?ACB=60?,AB=6，求?O半径的长。 解:作直径AD，连结BD。 6 www.czsx.com.cn ??ACB与?D都是所对的圆周角，??D=?ACB=60?。又?AD是直径，AB 1AB6??ABD=90?，?，?。 rAD23,,,,,AD43:2sinDsin60 例8.如图，在锐角?ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，?ABC的外接圆半径为R，求 abc证:。 ,,,2RsinAsinBsinC 证明:作直径CD，连结BD。 BCa?CD为直径，??CBD=90?，?。又??A=?D，sinD,,DC2R aabc?，即，同理可得，，sinAsinD,,,2R,2R,2R2RsinAsinBsinC abc?。 ,,,2RsinAsinBsinC 评析:当题设中未告诉有直角三角形但却含有30?、45?、60?、90?等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。 五、两圆相切，常作公切线(或者作两圆的连心线) 外切于点A，BC是?O和?O外公切线，B、C为切点，求证:例9.如图，?O和?O2121 AB?AC。 证明:过点A作?O与?O的公切线AM交BC于点M。 12 ?MA和MB分别切?O于点A、B，?MA=MB，同理可得MA=MC，1 ?MA=MB=MC，即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上，?AB?AC。 例10.如图，?A和?B外切于点P，CD为?A、?B的外公切线，C、D为切点，若?A与?B的半径分别为r和3r,求:?CD的长;??B的度数。 解:连结AB，连结AC、BD，过点A作AE?BD于E。 ?、?CD是?A和?B的外公切线，C、D为切点，?AC?CD， BD?CD。又?AE?BD，?四边形ACDE为矩形，?CD=AE，DE=AC=r， 22CDAEABBE23r,,,,?BE=BD-DE=3r-r=2r。?AB=r+3r=4r，?。 BE2r1cosB,,,?、在Rt?AEB中，?，??B=60?。 AB4r2 评析:在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和(或差)等性质来沟通两圆间的联系。 六、两圆相交，常作公共弦(或者作两圆的连心线) 7 www.czsx.com.cn 例11.如图，?O和?O相交于A、B两点，AD是?O的直径，且圆心O在?O上，12112连结DB并延长交?O于点C，求证:CO?AD。 21 证明:连结AB。 ? AD为?O的直径，??ABD=90?，??D+?BAD=90?。又??C1 和?BAO都是?O中所对的圆周角，??C=?BAO，即?C=?BAD，??D+?C=90?，BO1211 ?CO?AD。 1 62例12.如图，?O和?O相交于A、B两点，两圆半径分别为和12 43，公共弦AB的长为12，求?OAO的度数。 12 解:连结AB、OO，使之交于H点。 12 ?AB为?O与?O的公共弦，?连心线OO垂直平分AB，1212 AH62AH631cosOAH，,,,cosOAH，,,,AHAB6,,?，?，，??OAH=45?，112AO2AO22624312 ?OAH=30?，??OAO=?OAH+?OAH=75?。 21212 评析:在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。 全等三角形作辅助线的常用方法 一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某 边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形A 中，再运用三角形三边的不等关系证明，如: DEMN例1、 已知如图1-1:D、E为?ABC内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. BC图1,1证明:(法一) A将DE两边延长分别交AB、AC F于M、N， G (法二:图1-2) DE 延长BD交 AC于F，廷长CE交BF于G， CB图1,2二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如A 直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形， EG使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这D 8 BFC 图2,1 www.czsx.com.cn 个三角形的内角位置上，再利用外角定理: 例如:如图2-1:已知D为?ABC内的任一点，求证:?BDC>?BAC。 分析:因为?BDC与?BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使?BDC处于在外角的位置，?BAC处于 在内角的位置; 证法一:延长BD交AC于点E 证法二:连接AD，并廷长交BC于F 注意:利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三 角 形的内角位置上，再利用不等式性质证 A明。 N三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造 全等三角形，如: EF例如:如图3-1:已知AD为?ABC的中线，且2341 C?1=?2,?3=?4,求证:BE+CF>EF。 BD 图3,1分析:要证BE+CF>EF ，可利用三角形三边关系定理证明， 须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知?1=?2， ?3=?4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。 A证明:在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC， 注意:当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等EF的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得2341C到相等元素。 BD四、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造 全等三角形。 M图4,1例如:如图4-1:AD为?ABC的中线，且?1=?2，?3=?4，A求证:BE+CF>EF 证明:廷长ED至M，使DM=DE，连接 D CM，MF。 BC注意:当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此 E 9 图5,1 www.czsx.com.cn 线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。 五、 在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。 例如:如图5-1:AD为 ?ABC的中线，求证:AB+AC>2AD。 分析:要证AB+AC>2AD，由图想到: AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明:延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE (常延长中线加倍，构造全等三角形) E F练习: A已知?ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为 直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF=2AD。 六、 截长补短法作辅助线。 BDC例如:已知如图6-1:在?ABC中，AB>AC，?1=?2，P为图5,2AD上任一点 求证:AB-AC>PB-PC。 分析:要证:AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN， 再连接PN，则PC=PN，又在?PNB中，PB-PNPB-PC。 A 21证明:(截长法) P 在AB上截取AN=AC连接PN CND 证明:(补短法) MB图6,1 延长AC至M，使AM=AB，连接PM， 七、 延长已知边构造三角形: 例如:如图7-1:已知AC=BD，AD?AC于A ，BC?BD于B， 求证:AD=BC 分析:欲证 AD=BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 :?ADC与?BCD，?AOD与?BOC，?ABD与?BAC， 但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 10 www.czsx.com.cn 证明:分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， (当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。) 八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如:如图8-1:AB?CD，AD?BC 求证:AB=CD。 AD分析:图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必 须把它转化为三角形来解决。 CB证明:连接AC(或BD) 图8,1九、 有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如:如图9-1:在Rt?ABC中，AB=AC，?BAC=90?，?1=?2，CE?BD的延长于E 。 F求证:BD=2CE 分析:要证BD=2CE，想到要构造线段2CE， EA同时CE与?ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 D 1证明:分别延长BA，CE交于F。 2 BC十、 连接已知点，构造全等三角形。 图9,1例如:已知:如图10-1;AC、BD相交于O点，且AB=DC， AC=BD，求证:?A=?D。 分析:要证?A=?D，可证它们所在的三角形?ABD和?DCO全等，而只有AB=DC和对顶角 两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如连接BC，则?ABD和?DCO全等，所以，证得?A=?D。 DA O证明:连接BC 在?ABC和?DCB中 十一、 取线段中点构造全等三有形。 BC例如:如图11-1:AB=DC，?A=?D 求证:?ABC=?DCB。 图10,1分析:由AB=DC，?A=?D，想到如取AD的中点N，连接NB，NDANC，再由SAS公理有?ABN??DCN，故BN=CN， ?ABN=?DCN。下面只需证?NBC=?NCB，再取BC的中点M， BM连接MN， C 图11,1则由SSS公理有?NBM??NCM，所以?NBC=?NCB。问题得 证。 11 www.czsx.com.cn 证明:取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。 梯形问题中的辅助线 1、连结对角线 例1 如图1，梯形ABCD中，AB?CD，AD,BC，延长AB到E，使BE,CD，试说明AC,CE. 解:如图1，连结BD，由?BDCE可证得BD,CE，由等腰梯形ABCD性质得AC,BD，所以AC,CE. 2、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形 例2 如图2，梯形ADCB中，AB?CD，AB,2cm，CD ,8cm，AD,4cm，求BC的取值范围. 解析:过点B作BE?AD，交CD于点E，则四边形ADEB是平行四边形，可知BE,AD,4cm，DE,AB,2cm. 于是EC,CD,DE,8,2,6cm. 在?ABC中，EC,BE,BC,EC，BE， 所以2cm,BC,10cm. 3、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中 例3 如图3，在梯形ABCD中，AD?BC，?B，?C,90?，E、F分别为AD、BC的中点，BC,8，AD,4，试求EF. 解:过点E分别作EM?AB，EN?CD，交BC于M、N，则?EMF,?B，?ENF,?C， 所以?MEN,90?，AE,BM，DE,CN，所以MF,NF， 111所以EF,MN,(BC,AD),(8,4),2. 222 4、作梯形的高，即从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形 例4 已知，如图4，梯形ABCD中，AD?BC，?B,?C,45?，梯形ABCD是等腰梯形吗, 解:过点A作AE?BC于点E，过点D作DF?BC于点F， 12 www.czsx.com.cn 则?AEB,?DFC,90?，AE,DF，又?B,?C,45?. 于是?ABE与?DCF能够完全重合，即AB,CD. 5、延长两腰，即延长两腰交于一点，得到两个三角形 例5 如图5，梯形ABCD中，AD?BC，AD,5，BC,9，?B,80?，?C,50?.求AB 的长. 解:延长BA、CD交于点E，因为AD?BC， 所以?ADE,?C,50?. 因为?E,180?,?B,?C,50?， 所以?E,?ADE,?C. 所以AE,AD,5，BE,BC,9. 所以AB,BE,AE,9,5,4. 6、平移对角线，即过底的一个端点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中 例6 如图6所示，在梯形ABCD中，上底AD,1cm，下底BC,4cm，对角线BD?AC，且BD,3cm，AC,4cm.求梯形ABCD的面积( 解:过点D作DE?AC交BC的延长线于点E，因为在梯形CD中，AD?BC，所以四边形ACED是平行四边形.则AC,DE，AD,CE.又因为AC?BD，所以BD?DE，即?BDE是直角三角形.因为?BDE与梯形ABCD同高，且梯形ABCD中AD，BC,BC，CE,BE， 12所以S,S,×2×4,6(cm). 梯形?ABCDBDE2 7、利用中点，割补三角形 如图7，梯形ABCD，E为一腰AB的中点，将?AED绕点E旋转180?， 到?BEF的位置，拼成?DFC，把问题置于三角形中解决( 例7 如图7梯形ABCD中，AD?BC，E为AB的中点，DE?CE.试说明CD,BC，AD. 解析:按上述方法拼成?DFC，同时?AED与?BEF关于点E中心对称， 故EF,ED，AD,BF.又因为CE?DF，故CD,CF,BC，BF,BC，AD 13