二倍角的正弦
二倍角的正弦、余弦、正切及辅助角公式的应用
本周授课重点:掌握二倍角公式的结构特征和功能，应用公式进行三角式的求值、化简与证明。
授课要点:
1. 在两角和的三角函数公式 时，就可得到二倍角的三角函数公式
在公式S，C中，角α没有限制，但公式T中，只有当 2α2α2α
时才成立。
2. 余弦的二倍角公式有三种:
2222 cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα
解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。
3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍。
的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。
4. 辅助角公式及其功能:化asinα+bcosα为一个角的一个三角函数形式，常与降次公式结合使用 其中 所在象限位置由a、b的符号决定， 大小由tan 的值决定。
重点例题参考:
例1. 化简下列各式:
(1)
解:
(1)
(2)
点评:
?余弦的二倍角公式的变形形式: 。经常起到消除式子中1的作用。
?由于 ，可进行无理式的化简和运算。
例2.已知 的值。
解:
例3. 已知 的值。
解:
由sin2α<0，且0<2α<2π，得π<2α<2π，即
又?sinα+cosα>0且cosα<0
点评:本题中 的条件是隐含在 中的，不能找出隐含条件，将不能确定cos2α的正确值。
的值。 例4. 已知
解:原式
点评:在本题求解过程中逆用了余弦的二倍角公式，使原式降幂达到化简目的，同时利用诱导公式构造二倍角求出原式的值。
例5. 已知
解:
点评:把 整体看作是一个量，探求函数式如何用 来
表
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示。
例6. 求sin6??sin42??sin66??sin78?的值。
解法一:
原式
点评:一般地，对于 ，可以通过乘以sinα后连结使用二倍角公式化简，这样便可以生产“连锁反应”。
解法二:
设所求为A，即A=sin6??sin42??sin66??sin78?
设B=cos6??cos42??cos66??cos78?
则
点评:在不能观察到所求角的互余角的倍数关系以前。通过设B来构造可以利用二倍角公式的“对偶”式，算出乘积再约去B。从而得到原式的值。这也是处理类似问题的一种常见方法。
例7. 化简
解:原式
点评:
(1)注意观察角间关系，利用角的互余或互补关系可以统一角;
(2)利用辅助角公式，创造条件产生的组合，产生新角。
课后练习:
1. 求证:
提示:从左到右进行证明，用正切的二倍角公式及切化弦方法。
2. 已知 的值。
提示:先要由已知求出tanα与tanβ的值，再得到tan2β的值。再用两角差的正切公式求值。
3. 已知 的值。
提示:寻找所求函数值的角与已知函数值的角之间的联系，
，探求函数式如何用已知条件来表示。
答案:
1.
证:
2.
解:
3.
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