最小代数的同调和上同调

最小代数的同调和上同调 最小代数的同调和上同调 第39卷第3期南开大学(自然科学版) 2006年6月ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisNankaiensis Vo1.39N9-3 Jun.2006 文章编号:0465-7942(2006)03-0085-06 最小代数的同调和上同调 郑弃冰 天津300071) (南开大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 科学学院, 摘要;计算出了域上的最小代数的同调和上同调,并作为应用发现了比A代数还要简单的DGA与Steen- rod代数具有相同的上同调. 关键词;最小代数;DGAISteenrod代数 中阴分类号:0154.2文献标识码:A 0引言 球面稳定同伦群的计算是代数拓扑的中心问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 之一,其结构非常复杂,构造一个同伦类是相当困难 的,而Steenrod代数的上同调是目前最主要的计算稳定同伦群的工具之一,对于其计算也是代数拓扑的 中心工作.本文通过对最小代数的上同调的计算发现了一个比以代数还要简单的DGA与Steenrod代数 具有相同的上同调.. 1上同调的上同调 本文中F代表一个域,0代表F上的线性空间的张量积.一个代数总是指一个连通的有限型的具有 单位元的代数.也就是说,如果A是一个代数,则它就是一个域F上的结合代数,其增广e:A—F是一个代 数同态并且=kere或者是一个有限维线性空间(不分次情形)或者在每一个阶数上都是一有限维线性 空间(分次情形).由于分次代数只是保证有限维的条件,所以当与同调和上同调无关时,我们从不表示A 的分次阶数.有限型的条件保证了本文中所有的谱序列都是收敛的并且homF(A,F)A.(A.表示对偶 空间). 定理1对于一个代数A,存在一个谱序列{Ed,)收敛到A满足以下条件: 1d,t,一-,并且在?.上存在一个乘积*使其成为DGA,也就是说d,(z*)=== dr(z)Y+(一1)IIz*dr()对所有的.27,Y成立, 2E一14.(H.(A)), 3令E(A)=一A…,分次代数E()=F0(0>.E(A)/+()),则存在E三'与E()之间的 n 代数同构满足E=0如果?t,E===E(A)/E十(). 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 我们按以下方式定义双分次代数T—F0(0s,t>OT").T由以下形式的元素张成的线性空 间a1,1Ial.21..?I口?,]*[口2.1I口z.21..?Ia2,1z]*…*[口,l1I口,.21..?I口,.f,]其中口?A,i1+…+i一t,ik>0对 于k一1,…,.显然*使7'成为双分次代数.' 首先在上定义微分d使得丁关于乘法*和第一个阶数s成为一个DGA,满足 n--1 dEala1..?I口]=?[口1..-]*ak+1...1a](dial===o) 收稿日期:2004-03-02 喜磊界~国家自然(1科96学6--基)-,~男-(1,浙010江1衢00县9)人,博士.副教授,主要从事计算代数拓扑中的稳定同伦群研究.作者简介:,男,浙江衢县人,博士?副教授,主要从事计算代数拓扑中的稳定同伦群研蔸- ?86?南开大学(自然科学版)第39卷 把这个链复形的上同调记为日'().注意到的bar复形B()有一个自然的上代数结构 使得对任意 的=Eala:1..-l口]?B(A)(当1时定义,Tg为原初元), ?()=10+01+?Ea.1..-la.]0Ea+.1..?la] 而日()就是这个上代数的cobitr复形,因而其上同调为该代数的原初元.所以有日3?()=,在 中表示为Ea3,a?;日()一0,s>1. 其次在上定义微分8使得丁关于乘法*和第二个阶数t成为一个DGA,满足 aEa.la.1...1a]=?(一1)HEa1...1a胆川1..?la](8[口]=o) 把以上链复形的同调记为H..(T).注意到由Kiinneth定理H(T)为由H(A)的元素生成的自由代 数. 易证d8一涮,所以有以下的交换图 TT?土… d jaj… 批71… a 』… ...… 故可定义上的一个新的微分a,满足al一8+(一1)d.令T===0…7,则显然T一0》.在这 个微分下关于a仍是一个链复型,且对任何?T,y?T,仍有O(x*)一a()*Y+(一1)*a(). 因而还是DGA.我们把这个同调记为日..().我们有两种方法计算这个同调. 第一种方法:令F===07',则{F)构成T的一个过滤,因而有一个谱序列{F:d}收敛到 日... ().由于,.一日()=A,而a(])=0对于所有的口?A,所有谱序列从第二项起坍塌,因 而日.()A. 第二种方法:令E===0一,则{E}构成的一个过滤,因而有一个谱序列{E,d}收敛到 日,.().计算得E:日气.(7'),由H.(A)生成的自由代数.' 现证对于r>1,E'是一个DGA.假设同调类和分别由?T'和Y?表示,则存在而? +和?T州使得 8(1)一(一1)一d(),8(2):(,1)一d(x1),…,8(一1)=(一1)t--~+1d(a:r一 2) 8(1)=(一1)'一d(),8(2)=(一1)'一d(y1),…,8(一1)=(一1)一d(y,一 2) 并由dr(口)和dr()分别由d(,一.)和d(y)表示.所以 a((+1+…+一1)*(+Y1+…+Y,一1)) = (dx一1)*(+…+Y一1)+(一1)(一…+(一1)一4—1)*(dy1) 兰(dx,一1)Y+(一1)'*(dy,,1) 其中第三个式子是在模去第一个阶数小于5+U+r的元素的情况下成立的.这就证明了E,,.是一个 DGA.特别地,当,.=2时,E'在微分d:下正是代数H()的cobar复形,因而E'一H(日(A)). 由以上运算得知日...()一A,全部由和1表示,所以E=0,如果s?t,而 a(?(一1)H[口]*…*]*Ea…?口]) 一 Ea1口2…a]一[口1]*…*[口] 这说明E=E(A)/E+1(A). 第3期郑弃冰.最小代数的同调和上同调?87? 定理1有一个对偶定理.该定理需要更细致的概念. 对于上代数,按以下方式在上定义约化对角影射.对于-z?,?()=1+1+ ().易证(1)一(10),所以我们可以定义'=('"o1):(1'").对于A中 的任何元素,存在唯一的一个n满足():0,但一()?0.称这个数n为的因子阶数,记为 llll,.令E'I(A)由所有因子阶数不超过n的元素生成,则有滤子上代数E(A)一F0 (0>.E(A)/E一(A)). 定理2对于一个代数,存在一个谱序列{Er.f,d)收敛到其对偶上代数A,满足以下条 件: 1d,:E:,一E一,并且在Er-,.上存在一个对角影射?使其成为上DGA,也就是说?(dr)一 ?d()Q+(一1)0(drx"),如果?()一?0",?E 2E3-..一H,(H.(A)); 3存在E7,.与E(A)之间的上代数同构满足E一0如果?t,E与()/E一(A)的同 构将逆映到?[]*…*[],其中'()一?0…Q('.()=). 证明为定理1的对偶. 按以下方式定义双分次代数T===F0(0>.).由以下形式的元素张成的线性空间 ?,.『..?]*,f口.,『..?f口]*…*,.『..?]其中口f'JE,i+…+i=,i>0对 于k=l,…显然*使成为双分次代数. 首先,的Cobar复形c()有一个自然的乘法使得对任意一Ja1..?J口]?c()和Y= [6lJb.1..-]?c(A),=l-.?JaJb1..-],于是自然成为该代数的bar复形,其微分满足对任意 的a?C(A), l*口2*…*口=?(一1)^_口1*…*akal~+1*…*口(=o) 其中akat+就为如上定义的乘法,把这个同调记为H,(T).由于C(A)是一个自由代数,所以H,(T) 为该代数的生成元,即..()一,在7'中表示为],a?;H,()=O,>1. 其次在上定义微分d使得关于乘法*和第二个阶段t成为一个DGA,满足 a[ala.1...1a]=?(一1)卜[口1...n:+1...1a] 其中I?(口.)一?口0口:.把这个链复形的上同调记为日(7').注意到由Kt~nneth定理H'(丁)为由 H(A)的元素生成的自由代数. 易证d8=艿d,所以有以下的交换图 ?二T?三T三… s f… z.z三三… s f… 丁… 故可以定义T上的一个新的微分a,满足ar一8+(一1)d.令T===0一T",则显然T=0?.T 在这个微分下关于a是一个上DGA,把这个同调记为H.(7').同定理l,通过两种不同的方法计算这个 上同调就可以得到定理的谱序列. 定理2说明了Massey积的本质.对于H.(A)中的n个上同调类a",a,如果aid代表零类,则 a*a2*…*a在E.中代表同调类,如果Massey积<a1,口2,…,a>有定义的话,则 ?88?南开大学(自然科学版)第39卷 d一(口l*a2*…*a^)一<:al,a2,…,a^>. 我们可以通过定理2求出一类代数的上同调.先给出最小代数的定义.如果一个代数的零关系全都是 生成元的二元线性组合,则称其为最小代数(当然要保持有限型条件).也就是说,如果代数A由g,,g2..? 生成,且零关系全都为以下形式?kglgj,其中ki.?F,只有有限个ki.J不为零,则称A是最小代数. 如果A是一个最小代数,则有一个最小代数由以下方式构造.的生成元空间为以的生成元空间 的对偶空间,的零关系空间也为A的零关系空间的补空间.具体地,如果代数A由g,g2-.?生成,且零关 系如下?志g,,?志gj,…,则代数A由对偶元g,…生成,?..gi.gj在A中为零当且仅当 >:"J愚船=0对所有的s;1,2,…. 定理3如果A是一个最小代数,则它的上同调H(A);A,它的补代数,其中的分次以如下方 式决定.如果g为不分次代数A的生成元,则g.作为A的生成元具有阶数1.如果g 为分次代数A的阶 数为t的生成元,则g作为A的生成元具有双阶数为(1,f). 证明首先证明作为代数-H(A)由H(A)生成.取定理1中的复形和谱序列{Ed,).设A由 g,g.…生成,且零关系如下?志gIgJ,?志gg,,…,由于a(?愚船[glIg])=;=?志搿[]*[gj7,即 d2(?kO)C.o.I])===?k(SJL)F,T]*[],所以有一个从A到E'的同态将g??g'映到[gl,]*…*[gi3. 而由于A=E(A),其中E(A)为定理1中定义的过滤代数,所以E三;==E(A)为'.的一个子代数.由 于E二又为日的商子代数,所以由谱序列的阶数可知E'=E二.日.(H(A))=A.所以 H(日(A))的生成元空间为,即H.(A)的原初元素为[g],[g.],….对偶地.H.()由生成,即生 成元为[g],[],…. 由于A=E(A),其中E(A)为定理1中定义的过滤代数,所以A有一个因子阶数ll?II,使得 IIgg.…gII,:7'1,其中g,g,…,g为A的生成元.对偶地,A'在定理2前定义的因子阶数II?I1,满 足对于A的原初元g,llgII,一1.若()=?0Vtt则IIII,=II『Il,+IIII,.由于代数 H(A)由形如[g]的元素生成,其中g为原初元,所以H(A)的一般元素在cobar复形中为形如 l-g;I譬1..?I]的元素的线性组合,其中g都为原初元.令这个cobar复形的子代数为B,则H)= (B/irad)nB.显然,若d[vItI..?]?B,则最多只能有一个1?k?n满足IIII,=2,其余的都 为原初元.这说明(imd)nB为形如{d[]II,一2)的元素生成的理想,也就是说A还是一个最小代 数.对于日2(A)中的任一元素?ko儿)r~Ig』],我们有 <[],?愚船[gIg』]>一<,?志船gg』>:<,0>一0 这说明H(A)的二元零关系空间包含在H.(A)的补空间里.令这两个线性空间分别 为z.和z,则zc . 但由维数公式(无限维分次情形只要固定阶数讨论即可) dimZ;dimH(A)0H(A),dimH.(A)=dimH1(A)0H1(A)一dimH2(A)=dimZ 所以Z.=,H(A)为A的补代数. 作为定理3的推论,我们可以很容易将一些常见的代数的上同调求出.比如多项式代数P(X--') (?阶数为偶数)的上同调就为外代表E(y",y),其中Y的双阶数为(1,I?I).同样,外代数E(y--' Y)(阶数为奇数)的上同调为多项式代数P(x-.'),其中的双阶数为(1,IyI). 2Steenrod代数 在本节中找到了一个比以代数还简单的DGA其上同调与Steenrod代数的上同调同构. 对于素数P,Steenrod代数是模P整数域上的一个代数,由P.=1,P,P.,…和Q.,Q,Q.,…生成. 第3期郑弃冰:最小代数的同调和上同调?89? 满足以下Adams零关系(如果P=2,没有Q部分): 对于一警(_1)州(一1口)(b-- 2对于口,6=O,1,…,P—Q6P一Q蚪lPn一(P』:0如果<O)}. 3对于a,6=0,l,…,QQ6+Q6Q.. 定义简约Steenrod代数,由P,P.,…和Q.,Q,Q.,…生成,在以上Adams关系中令P.一0的代 数.则由定义可计算出的补代数为由.,.,…和r0,r,r.,…生成,满足以下零关系: 1对于>呲+蓦((p--1愚)(i--k川 2对于i,J一1—0,1,…,rI+++r{一(r一.=O)l 3对于i,J=0,l,…,一rJrI. 定理4设如上,在其上定义微分如下使其成为一个DGA(~n果P=2,没有r部分): d一 i--1 c一('户一.'一点一)^一cd一. dr,=rI一1(dro—O) 则该DGA的上同调与Steenrod代数的上同调同构. 证明称A中的元素a为标准单项式如果a=1或者 a=P1Pf2…P'Q,oQ{…Q,H 其中i.?pi+,h===1,…—1,j;一0或1,足=0,1,…,,z.我们定义这样的标准单项式的因子阶数为s+ +…J(1的因子阶数为O).已知所有的标准单项式构成A,的一组基.令B为所有阶数不超过的标准 单项式构成的线性空间,则BBcB,由定义可知简约Steenrod代数,就是按照滤子(B}?.生成的滤 子代数0?.B/B+.定义A的bar复形的子空间E;0.+__一B0…0Bi,,显然{E)?o构成了bar 复形的一个滤子,因而我们得到了一个谱序列E:,收敛到A,的上同调.直接计算可知El-..作为复形与简 约Steenrod代数,的bar复形同构,因而E,.=H(一Ap).具体地,E.的元素为以下的形式; ?毛[gi.I..?IgI,],其中每个gI't都是某个P或Q,并且?愚gmg+=0对于惫===1,…,s一1.所以我 们有 dz(?五[1...Ig])=?[1...Id.(愚[,+1])I...] 而d.限制在日z(A)满足 1对于o?口?户6和f一D6一1?o, d2([P例一警c1口)(b--=c"(p-)[P+ 2对于i=o,1,…,d([-pp'lQ]一[QlP])=[Q+t]. 3对于其它的日.()基元,dz()=0. 注意到H.()作为A的bar复形的子空间,d.在其上也恰巧为bar复形的子复形.这说明H.(EO = H.(A). 对偶地,定义滤子{—E}?.(c代表补空间)可以得到谱序列F'收敛到H(Ap)满足 Fz-,.= H(),F,.=H.(Ap).而F..就是定理中的复形.定理得证. 注意该定理中的复形在形式上比A代数要简单. ?90?南开大学(自然科学版)第39卷 参考文献 1Adams.JF.OnthestructureandapplicationoftheSteenrodalgebra[J].MathHeir,1958,32l18o一247. 2BousfieldAK,CurtisEB,KanDN,eta1.TheroodPlowercentralseriesandtheAdamsspectralsequence[J~. 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