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“返朴归真”在放球问题中的应用
我们都知道，在数学中，每个定理都是由公理推出的。每个推论都是由定理推出的。总之，每个知识点最终源于公理。定理、推论或者一个结论都是公理的真子集，它们的范畴都远小于公理。因此，用定理分析问题比用推论分析问题的成功率大，用公理分析问题比用定理分析问题的成功率大，或者说，成功率为1.
——题记
下面我们进入正题。假设有m个小球，放入n个盒子里()，有几种放法,不同思考方式的人有不同的答案。另外，有的人会给出一个答案，有的人会给出二个答案„„有的人会给出八种答案。...
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“返朴归真”在放球问题中的应用
我们都知道，在数学中，每个定理都是由公理推出的。每个推论都是由定理推出的。总之，每个知识点最终源于公理。定理、推论或者一个结论都是公理的真子集，它们的范畴都远小于公理。因此，用定理分析问题比用推论分析问题的成功率大，用公理分析问题比用定理分析问题的成功率大，或者说，成功率为1.
——题记
下面我们进入正题。假设有m个小球，放入n个盒子里()，有几种放法,不同思考方式的人有不同的答案。另外，有的人会给出一个答案，有的人会给出二个答案„„有的人会给出八种答案。八种答案是较全面的，因为在这个问题中，要讨论球是否相同、盒子
3是否相同、盒子是否为空。根据分步计数原理，得出2=8种情况。下面我们逐一讨论。
(1)盒子不同，球不同，允许有空。
m由于每个球有n种选法，故有n种。
(2)盒子不同，球相同，允许有空。
(3)盒子不同，球相同，不行有空。
以上两种可返朴归真到求不定方程 的非负整数解及正整数解的个数的问题。由此得出(2)的结果为，(3)的结果为。
(4)盒子相同，球不同，不许有空。
(5)盒子不同，球不同，不许有空。
(6)盒子相同，球不同，允许有空。
其中(4)可返朴归真到集合问题，即令,且A, A,„, A为A的n12n个非空相斥的真子集，且，求有几类这样的划分方法。
由容斥原理不难得出有种划分方法，即为(4)的答案。
(5)题与(4)题惟一的区别即为盒子是不同的，在(4)的基础上乘以n!即可。答案为:
将(6)分类讨论:恰有k个盒子有(或无)空(k=1,2,„,n)。若记(4)为f(m,n)，则(6)的结果为，即有种放法。
(7)盒子相同，球相同，不许有空。
(8)盒子相同，球相同，允许有空。
(7)可返朴归真为数的分拆问题。即把正整数m分拆为n个正整数相加的形式(无序)的分法。如5,1+2+2视作一种分法，5,1+2+2与5,2+1+2视作同一种分法。根据数列知识易求得答案为:
m的x项系数(通过长除法求得)
记(7)为g(m,n)
下面分析(8)。同(6)分类讨论的思想，易得(8)的答案为。
实际上，放球问题远不止这8类情况。下面，给读者留一个小小的问题:
有m个球，可分为k组，每组球都相同，不同组别的球不同，第i组有a个不同的球，i讨论球相同与否、盒子相同与否、允许有空与否，将这m个球放入n个盒子内的分法有多少种。注意返朴归真法在其中的应用。
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