高等工程热力学与传热学

高等工程热力学与传热学 课程名称: 高等工程热力学与传热学 授课老师: 年级专业: 学生姓名: 学 号: 导 师: 报告时间: 大平板非稳态传热数值解与解析解对比 摘要 关键词 Abstract Key words 1问题描述 一块大平板(0?x?L)，初始温度为常数t，且等于环境温度t，τ>0时，x=0if的边界接受恒热流q，x=L的边界向环境放热，对流换热系数为α，试用有限差w 分法和解析法确定t(x, τ)，并将数值解和解析解对比之。 2数学模型 由上述所描述的问题可知，该大平板传热属于无内热源、常物性一维温度场 的瞬态导热问题，故其在直角坐标系下的导热微分方程可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示如下: 2,tk,t ,,2 (2-1) ,,,c,x 其中，t——温度，是时间与空间的函数，单位:K; τ——时间，单位:s; k——大平板的热传导系数，单位:W/(m,K) 3kg/m ρ——大平板的密度，单位: c——大平板的比热容，单位:J/kgK(), x——大平板上的位置，单位:m。 又根据已知条件可得以下三个初始条件，即: t,t,t(1)当τ=0时，整个大平板温度均匀，即; if ,tq,-k(2)当τ>0，x=0时，; w,x ,t(t-t),-k,(3)当τ>0，x=L时，。 i,x ,(x，,),t(x，,)-t引入过于温度，，可得数学模型为: i 2,,,,k, ,,,2,,,c,x, ,,(x，0),0 , ,,,,(0，) q,-k,w (2-2) ,x, ,(，,),L,()L,,-k,,,,,x, 3近似积分法解 根据已知问题可知，该大平板传热可分为二个阶段:一、左侧x=0的边界接 受热源的加热，其热量从左往右依次渗透。但当τ，τ，即热量只传递到大平板L的某一处，假设，而并没有传递至最右侧x=L处的边界时，由于右侧边界,(,) 的初始温度与环境相同，故其并不对环境放热;二、当τ>τ，即左侧热量已传递L至右侧时，大平板的左侧仍接受热源的加热，而其右侧则对环境放热，直到放热 量等于吸热量为止，整个大平板的温度趋于稳定。 3.1τ，τ，即尚未整体渗透阶段 L 假设此阶段大平板内温度分布为: 2,,,A，Bx，Cx(0,x,())(,)(,)(,)x, (3-1) (，),,,0(,(,),x,L), 此时边界条件有: , ,,,,,0(，) ,,,,0(，),q,-k,w (3-2) ,x, ,(,，,),,,0,,x, 将边界条件带入式(3-1)中，可确定相应的待定系数，于是可得到如下结 果: ,,()qqq,2www,x，x,,(0,x,()),x,22(),(，,)kkk,, (3-3) ,(,(,),x,L),0, 此阶段的温度分布取决于的确定，于是，根据积分方程有: ,(,) 2,,(),(,),,(,,),,(,,)xkx dxdx,,2,, (3-4) 00,c,x,, 其中: 2qqx,,x,,()ww,,,,,, (3-5) 22k,2k,, 2,,qx,(,)w, (3-6) 2k,x, 将式(3-5)、(3-6)带入式(3-4)可得: 6k(),,,, (3-7) c, 当时，可求得: ,(,),L c,2L,, (3-8) L6k 再把式(3-7)代入式(3-3)中，即可得出此阶段平板内温度分布为: 6k,,,,qq3c(0,x,)2ww,x，xq,,cw,(x，,),2k,ck2k6k,, (3-9) 6k,0(,,x,L),c, 3.2τ>τ，即大平板已整体渗透阶段 L 假设此阶段大平板内温度分布为: 2,(x，,),A(,)，B(,)x，C(,)x (3-10) (0,x,L)111此时边界条件有: ,,,(0，),q,-kw,,,x, ,(，,),L,(L,),-k,,,,,x, (3-11) 将边界条件带入式(3-10)中，可确定相应的待定系数，于是可得到如下结 果: ,q2w,,q，L,(2kL，L)C()w1q2kw (3-12) ,(x，,),,x，C(,)x(0,x,L)1k, 此阶段的温度分布取决于C(,)的确定，于是，根据积分方程有: 1 2LL,(,,),(,,)xkx,, dxdx,,2 (3-13) ,,00cx,,,, 其中， 2,,,,(x,)2kL，L2,,,-C(,)，C(,)x (3-14) 11,,, 2,,,(x,),2C(,) (3-15) 12,x 将式(3-14)、(3-15)带入式(3-13)可得: ,3k,,2c(3kL，L),,c(,),f,e (3-16) 1 ,,,C(,),C(,)又因为整个热渗透过程是连续的，故当，时，，,(,),LL1 即 ,3k,,2qc(3kL，L),,w,f,e 2k,(,) 则可得: ,L qw6k，2,Lf,,e (3-17) 2kL将式(3-17)带入式(3-16)中，可得: 2,,,,cL,6k 2q2,c(3kL，,L)wC(),,,e1 (3-18) 2kL 再将式(3-18)带入式(3-12)中，即可得出此阶段大平板内温度分布为: 2,,,,cL,6k,2qq,,2c(3kL，L)ww2,,,,cL,6k,，L,k，L,eq(2)2w2qqx2,c(3kL，,L)kk2ww,,(，),,x，,ex kkL,2 (3-19) (0,x,L) C(,),0当时，可得，从而可得: ,,,1 qqqwww,,(x，),，L,x (3-20) ,kk 4有限差分法解 4.1有限差分法的基本概念 设函数可以展开为泰勒展开式: f(x) 2233dfxdfxdf()(),,fxxfxx，,,，,，，，，，，， (4-1) 23dxdxdx2!3! 2233dfxdfxdf()(),,fxxfxx,,,,,，,，，，，， (4-2) 23dxdxdx2!3!对以上两式进行改写，可得: 223dffxxfxxdfxdf()()()()，,,,,,,,, (4-3) 23dxxdxdx,26 223dffxfxxxdfxdf()()()(),,,,,,，,， (4-4) 23dxxdxdx,26 如果将式(4-3)和式(4-4)相加，即可得到一阶导数的中心差分公式: dffxxfxx()()，,,,,2，， (4-5) ,，,ox，，，，dxx2, 如果将式(4-3)和式(4-4)相减，即可得到二阶导数的中心差分共识: 2fxxfxfxx()2()，,,，,,，，df2，，,，,ox (4-6) ，，22，，dx,x，， 此外，还可以有朝前差分公式和朝后差分公式: fxxfx()，,,，，df,，,ox (4-7) ，，dxx, fxfxx,,,()，，df,，,ox (4-8) ，，dxx, 有限差分的核心思想就是用各阶差分代替各阶微分。 4.2非稳态传热分析 针对式(2-2)所列的数学模型，此处采用隐式差分法(即朝后差分格式) 对其进行分析，可得: nn，1,,,,,jj, (4-9) ,,,, nnn，，，1112,,,,，2,,jjj，,11, (4-10) 22xx,,() 2,,,,k,,把式(4-9)和式(4-10)代入导热微分方程可得: 2,,cx,, nnnnn，，，，1111,,,,,,,，2kjjjjj，,11,, (4-11) 2cx,,(),, k,,b,令，经整理可得: 2cx(),, nnnn，，，111,,,,,，,,,,(12)bbb (4-12) jjjj，,11 根据能量守恒定律，对左、右边界条件进行隐式差分，可得: nnnn，，，111,,,,,,,x,2111qkc，,,w,,2,,xx ,nnnn，，，111 (4-13) ,,,x,,,,n，1,mmmm,1kc,,,,,m,2,,x,, 整理后可得: 2,,,nnn，，11bbq,，,，(12)2,,,112w,cx,,, , (4-14) 2,,,nnn，，11,bb,，，,(12)2,,,mmm,1,cx,,, 因此，式(2-2)所列的数学模型可离散为下式矩阵形式: 2,,122000，,bb,,,,nn，1，,,,,1,,,,1cx,,,，,bbb1200,,n，1,,,,,n2,,,,,,,2,,,,,,,,(4-15) ,,,,,,,,,,,,0120,，,bbbn，1,,,,,,nm,1,,,2,m,1,,,,,n，1,,,,000212,，，bbnm,,,,,,,cx,m,,,,mm，,, 上式三角矩阵可通过LU分解，分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵，再通过追赶法求解出各未知量。 5大平板非稳态传热的MATLAB解 通过上述分析，已经对大平板非稳态传热解析解以及数值解的求解过程有了一定的了解，此处就通过实例来比较解析解与数值解之间的差异。 5.1参数定义 表5.1 大平板参数值(材料选用铝) 环境温项目 密度 比热容 长度 导热系数 热流密度 对流换热系数 度 c L k t q 符号 ρ α fw 2700 880 1 220 300 1000 100 数值 232m WmK/(), WmK/,Jkg/K, kgm/K 单位 ，，，， Wm/ 5.2解析解的MATLAB实现 参考文献 [1]. 李格升, 郭庆平与刘春晓, 大平板第一类边界条件下非稳态传热近似解析解. 武汉理工大学学报(交通科学与工程版), 2002: 第432-434页. [2]. 李灿, 高彦栋与黄素逸, 热传导问题的MATLAB数值计算. 华中科技大学学报(自然科学版), 2002(9): 第91-93页. [3]. 王飞与裴永祥, 有限差分方法的MATLAB编程. 新疆师范大学学报(自然科学版), 2003(4): 第22-27页. [4]. 田兵, 用MATLAB解偏微分方程. 阴山学刊(自然科学版), 2006(4): 第12-13页. [5]. 张春路等, 大平板瞬态热传导问题的一种新的近似解法. 工程热物理学报, 1999(1): 第82-85页. [6]. 赵德奎与刘勇, MATLAB在有限差分法数值计算中的应用. 四川理工学院学报(自然科学版), 2005(4): 第61-64页. [7]. 曹钢, 王桂珍与任晓荣, 一维热传导方程的基本解. 山东轻工业学院学报(自然科学版), 2005(4): 第77-80页.