平面几何初步
课程
要求
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1.直线与方程
(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几 何要素.
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
2.圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
3.空间直角坐标系
(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标
表
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示点的位置.
(2)会推导空间两点间的距离公式.
考情分析
平面解析几何是高中数学的一个基本
知识点
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,我们学习它是为了后面学习空间几何和圆锥曲线打基础。但平面几何作为一个考点,还是会在选择题或填空题中出现一道,而且难度适中。
为了拿到这5分,并且为后面的解答题做准备,我们需要牢牢掌握这部分基础知识。
知识梳理
1
一、 直线与方程
1. 直线的倾斜角和斜率:
倾斜角: x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别
地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180
直线的斜率:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线
的斜率。直线的斜率常用k表示。
斜率反映直线与轴的倾斜程度
斜率的公式:给定两点,,则直线的斜率
=
平行与垂直:两条直线,他们的斜率分别为
2. 直线的方程
点斜式:直线过点,且斜率为k,那么直线方程为:
斜截式:直线斜率为k,且与y轴交点为(0,b), 那么直线方程为:
y=kx+b
两点式:直线过点,其中,,那么直线
方程为
直线的一般方程:,(A,B不同是为0)
3.两点间的距离
4.点到直线的距离
点到直线:的距离为:
5. 两条平行线间的距离
已知两条平行线,则的距离为
二、 圆与方程
1.圆的定义
(1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
(2)确定一个圆的要素是圆心和半径.
2.圆的方程
(1)圆的标准方程: ,其中圆心为A(a,b),半径为r;
(2)圆的一般方程:
注:上述方程配方得:
3.求圆的方程的一般步骤为:
(1) 根据题意选择标准方程或者一般方程;
(2) 根据条件列出关于或者的方程组;
(3) 解出或者代入标准方程或者一般方程.
4.点与圆的关系:
(1)若>则点M在圆外;
(2)若,则点M在圆上; (3)若<,则点M在圆内.
5.直线:与圆 的位置关系:
(1)若圆心A到直线的距离,则直线与圆相离;
(2)若圆心A到直线的距离,则直线与圆相交;
(3)若圆心A到直线的距离,则直线与圆相切;
6.圆与圆的位置关系:
设两圆的连心线长为,则判别圆与圆的位置关系的依据有以
下几点:
(1)当时,圆与圆相离;
(2)当时,圆与圆外切;
(3)当时,圆与圆相交;
注:当圆与圆相交与A、B两点时,上述方程相减即得直线AB方程.
题型分类
1. 求直线的方程:
例. 如图所示,已知两条直线l1:x-3y+12=0,l2:3x+y-4=0,过定点P(-1,2作一条直线l,分别与直线l1、l2 交于M、N两点,若点P恰好是MN的中点,求直线l的方程。
解析:解法一 设所求直线l的方程为,
由得交点M的横坐标为,
由得交点N的横坐标为,
∵点P恰好是MN的中点,
∴,解得。
∴所求直线l的方程为。
解法二 以确定斜率k,如图所示,
设
∴,∴,
∴,
∴所求直线l的方程为。
解法三 求M、N中的一点,运用“两点确定一条直线”求l的方程。如图所示,
设
即
解得,即M(-3,3)
∴直线MN的斜率为
∴所求直线l的方程为。
点评:解法一、解法二都是求斜率k,显然解法二中引入中点坐标的增量△x、△y,建立关于△x,△y,k的三个方程构成的方程组,消去△x、△y,很快就求出了k,△x、△y在此扮演了参数的角色,可以看成是解法三的演变。
不同的解题方法就是对同一个题目的不同角度的理解,通过对同一个题目的多种解法的研究,不仅有利于提高解题能力,也有利于提高对数学问题和数学概念、思想的理解深度。从而提高数学素质。
2. 求圆的方程
例. 圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为,求此圆的方程。
解析:因圆与y轴相切,且圆心在直线上,故设
圆方程为
又因为直线截圆得弦长为
则有
解得b=±1。故所求圆方程为
或。
点评:在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点:
(1)确定圆方程首先明确标准方程还是一般方程。
(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得 a , b , r 或 D , E , F。
(3)待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的数。
3.直线与圆
例. 已知圆C:,直线l:=0()。
(1)证明:无论m取什么实数,直线l与圆C恒交于两点;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程。
解析:(1)直线l的方程化为:。
因此,直线l过两条直线和的交点,联立这两条直线的方程中解得交点为A(3,1),即直线l恒过定点A(3,1)。
又因,
故点A(3,1)在圆C的内部,直线l与圆C恒交于两点;
(2)圆心为C(1,2),当直线l被圆C截得的弦长最小时,有l⊥AC,由可得,因此直线l的方程为
。
点评:本题(1)的常规解法是联立直线与圆的方程,证明方程组一定有解,或证明圆心到直线的距离小于圆的半径;(2)的常规解法是联立方程运用弦长公式讨论何时取得最小值。这些做法的过程都非常复杂。因此,在解直线与圆的位置关系的问题时一定要充分利用圆的几何性质,以便尽快找到简洁的解法,使问题的解决事半功倍。
专项训练
例1. 自点 A(-3,3)发出的光线l 射到x轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线 l 所在直线的方程。
解析:圆的方程可化为,
由光学原理可知,圆关于x轴的对称圆必与l相切,
对称圆方程为
设l的斜率为k(k必然存在)。
则l的方程,
即
由于l与圆相切,故
解得
故所求直线l的方程为或。
点评:求入射光线的方程可从反射光线的对称入手;反之,将入射光线上的点通过反射面对称后有助于求反射光线的方程。单纯从求反射线(入射线)角度看也可利用入射角等于反射角的方法,确定反射线(入射线)的斜率。由此可以看出确定直线的方程,要充分挖掘所求直线已具备的几何(物理)特性,从而转化到斜率或点上去。
例2. 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a , b 的值。
(1) l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1);
(2)l1 ∥ l2且坐标原点到这两条直线的距离相等。
解析:(1)由已知可得的斜率必存在,
∴
若,则
∵,∴直线的斜率必不存在,即b=0
又∵过(-3,-1)
∴(不合题意)。
∴此种情况不存在,即
若,即都存在,
∵,
∴ ①
又∵过点(-3,-1),
∴ ②
由①②联立,解得a=2,b=2。
(2)∵的斜率也存在,
∴直线的斜率也存在,
∴ ③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等且,
∴在y轴上的截距互为相反数。
即 ④
由③④联立解得
∴a、b的值为2和-2或和2。
点评: 当所求直线的方程中存在字母系数,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑斜率不存在的特殊情况,对于(1),若用 l1⊥l2A1A2+B1B2=0可不用分类讨论。
例3. 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,P点坐标为(2,-1),过点P作圆C的切线,切点为A、B。
(1)求直线PA、PB的方程;
(2)求过P点的圆的切线长;
(3)求直线 AB 的方程。
解析:(1)如图所示,设过P点的圆的切线方程为,
即
∵圆心(1,2)到直线的距离为。
即
∴
∴
∴所求的切线方程为或,
即或;
(2)在Rt△PCA中,
∴过P点的圆C的切线长为;
(3)由得
由 得B(0,1)
∴直线AB的方程是。
点评:①过圆外一点作圆的切线必有两条,在求圆的切线方程时,有时会遇到切线斜率不存在的情况,如过圆x2+y2=4外一点(2,3)作圆的切线,切线方程为5x-12y+26=0,此时要注意斜率不存在的切线不要漏掉。
②本例(3)中直线AB的方程是通过求切点A、B的坐标写出来的。事实上,过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)作圆的切线,经过两切点的直线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2。其证明思路有三:
思路一:设切点A(x1,y1),B(x2,y2),P点坐标满足切线PA、PB的方程,从而得出过A、B两点的直线方程。
思路二:直线AB是以PC(C是已知圆的圆心)为直径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。
思路三:直线AB是以P为圆心,以PA为半径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。
它的形式与P点在圆上时,过P点的切线方程形式完全相同,它可以作为一个公式,在解有关的选择题、填空题时直接使用。