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2013届碣石中学高三级第四次月考数学(理科)试卷
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(每题5分,共40分,每题只有一个正确选项)
21(1),i2Nii,{,,,}UR,1.巳知全集,是虚数单位,集合(整数集)和的iMZ,ii关系韦恩(,enn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A( ,个 ,(,个
,(,个 ,(无穷个
2xx,,0fxx()ln(1),,2设不等式的解集为,函数的定义域M
MN为N,则为 ( )
0,10,1,1,00,1 B( C( A(D(,,,,,,,,
3,,ABC中,"sinA,"是"A,"3.在的( ) 23
A(充分不必要条件 B(必要不充分条件C(充要条件 D(既不充分也不必要条件
14(如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为。则该几何体2
的俯视图可以是 ( )
2,x(x,0),y,5. 函数的图象大致是( ) ,x,2,1(x,0),
,,,fxx()3sin2,,6(函数的图像为C,如下结论中正确的是 ( ) ,,3,,
, A(图像C关于直线对称 x,6
,,,,0B(图像C关于点对称 ,,6,,
1
,,5,,fx() C(函数在区间,内是增函数 ,,,1212,,
,yx,3sin2 D(由的图像向右平移个单位长度可以得到图像C。 3
l,m,n7. 设为三条不同的直线,为一个平面,下列命题中不正确的是 ( ) ,
l,,l A.若,则与相交 ,
m,,,n,,,l,m,l,n,l,, B.若则
ll,,n,, C.若 // , // ,,则 mmn
m,,n,,ll D.若 // ,,,则 // mn
22,,,xxM2,,xx28(对于使成立的所有常数中,我们把的最小值叫做的上MM1
12,确界,若,则的上确界为 ( ) abRab,,1,,,且,,2ab
91C (),3 () (), () AB,4D,42二、填空题(每题5分,共30分,其中9--13题为必做题,14、15为选做题,) (9--13题为必做题)
29.抛物线在点(0,1)处的切线方程为 yxx,,,1
10.已知等比数列各项均为正数,前项和为,若,(则公比q= ,,,Sa,2aaa,16nnn215
( S,5
18411.若的展开式中x的系数为 (x,)2x
x,21,1,,,x,12. 已知函数,则实数a= fxffa()[(0)]4,,若,2xaxx,,,1,,,
x,0,,DD13(在平面直角坐标系上,设不等式组所
表
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示的平面区域为,记内的y,0,nn
,ynx,,,(4),
,a整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为. 则, ,经推理anN(),1n
a可得到, ( n
(第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分)(
,14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系下,直线 与圆的公cos(,),2,,2,,4
共点个数是________( B
AB,O15. (几何
证明
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选讲选做题)如图4,是圆上的两点,且
C OAOB,OA,2COABCO,,为的中点,连接并延长交圆于A O
CD,点,则 ( DD
图4 2
三、解答题:本大题共6小题,满分80分(
2216.(12分) 已知函数, y,sinx,23sinxcosx,cosx
(1)求该函数的最小正周期和最小值;
x,0,,,,(2)若,求该函数的单调递增区间。
.
A,B,Ca,b,c,ABC17. (12分)在中,角所对的边为,已知 a,2bsinA,c,3b(1)求的值; B
a,b,ABC(2)若的面积为,求的值 23
18((满分14分)甲和乙参加智力答题活动,活动规则:?答题过程中,若答对则继续答题;若答错则停止答题;?每人最多答3个题;?答对第一题得10分,第二题得20分,第三题得30分,答错得0分。已知甲答对每个题的概率为,乙答对每个题的概率为。
(1)求甲恰好得30分的概率;
(2)设乙的得分为,求的分布列和数学期望;
(3)求甲恰好比乙多30分的概率.
1,19.(本题满分14分)在数列{}中,,并且对任意都有a,n,N,n,2a1n3
1,a,a,a,ab,(n,N)成立,令( nnn,1n,1nan
(?)求数列{}的通项公式; bn
a13n,, (?)设数列{}的前n项和为,证明: TTnnn34
3
22yx13C:,,1(a,b,0)20.(14分)已知椭圆过点,且离心率。 e,(1,)2222ab
(?)求椭圆方程;
l:y,kx,m(k,0)NMN (?)若直线与椭圆交于不同的两点、,且线段的垂直M
1k平分线过定点,求的取值范围。 G(,0)8
1ln,x21((本小题满分14分)已知函数 fx(), x
(1)求函数f(x)的极值;
kx,1(2)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围; fx(),x,1
2n,,2(1)(1)()nnenN,,,,,~(3)求证. ,,
2013届碣石中学高三级第四次月考数学(理科)答题卡 一、选择题(每题5分,共40分)
1 2 3 4 5 6 7 8 题号
答案
二、填空题(每题共5分,共30分)
9. 10. , 11. 12. 13. , 14. 15.
三、解答题(共80分)
4
试室号_____________试室座位号______________班别________________姓名_________________________
-----------------------------------------密---------------------------------------------封--------------------------------------------------线---------------------------------------------------
16(12分)
17(12分)
5
18(14分)
19(14分)
6
20(14分)
7
21(14分)
8
2013届碣石中学高三级第四次月考数学(理科)答案 一 、选择题(每题5分,共40分)
1. B
2 A.
3. B
4.C.
5. D.
6.C
7. B
128( 【
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
及解】由题意知相当于求,,的最大值, D2ab
12a,b2(a,b)5b2a59,,,,,,,,(,),,,2,,又,故选() D2ab2ab22ab22
三、填空题(每题5分,共30分,其中9--13题为必做题,14、15为选做题,) xy,,,10(或y=x+1) 9.
10. 2~ 31.
11. 7
12. 2
x,3,2,1n,2n,3n6,6n6n13( (当时,区域内的整点个数分别为个,共( 选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分(
3514. 1 ,15. 5
三、解答题:本大题共6小题,满分80分(
2216. 已知函数, y,sinx,23sinxcosx,cosx
(1)求该函数的最小正周期和最小值;
x,0,,,,(2)若,求该函数的单调递增区间。
,解:(1) ------3分 y,3sin2x,cos2x,2sin(2x,)6
Ty,,,,,2min 所以 ------6分
,,,,,令2k-2k,kZ,,,,,,,,,2xx,则k-k,kZ ,,,,26263(2)------8分
,,54,,x,[,]-,x[,]k,0,16363令,得到或,
9
,5,x,[0,],x[,],x,[0,],36与取交集, 得到或,
,,5,,,,递增区间是0,和, ,,,,,x,[0,],36,,,,所以,当时,函数的. ----12分
A,B,Ca,b,c,ABC17. 在中,角所对的边为,已知 a,2bsinA,c,3b(1)求的值; B
a,b,ABC(2)若的面积为,求的值 23
1a,2bsinAsinA,2sinBsinA,解:(1),, sinB,2
,,,B,30B,30150c,b或,,所以 ……………………5分
222,b,a,c,2accos30(2)由
222b,3ab,a,0,a,ba,2b解得 或…………? …………8分
1, 又 …………? ac,83S,acsin30,23,,ABC2
…………? c,3b
a,4,或 …………12分 由???a,b,22,b,2,
18((本小题满分14分)
甲和乙参加智力答题活动,活动规则:?答题过程中,若答对则继续答题;若答错则停止答题;?每人最多答3个题;?答对第一题得10分,第二题得20分,第三题得30分,答错得0分。已知甲答对每个题的概率为,乙答对每个题的概率为。
(1)求甲恰好得30分的概率;
(2)设乙的得分为,求的分布列和数学期望;
(3)求甲恰好比乙多30分的概率.
答案 1. (I)甲恰好得30分,说明甲前两题都答对,而第三题答错,其概率为
,-------3分
(II)的取值为0,10, 30,60.--------4分
10
,,
, 的概率分布如下表:
0 10 30 60
---------8分
-------10分
(III)设甲恰好比乙多30分为事件A,甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B 1,
甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B,则A=为互斥事件. 2
.
所以,甲恰好比乙多30分的概率为-----------14分
1,19.(本小题满分14分)在数列{}中,,并且对任意都有a,an,N,n,2n13
1,a,a,a,ab,(n,N)成立,令( nn,1n,1nnan
(?)求数列{}的通项公式; bn
a13n,, (?)设数列{}的前n项和为,证明: TTnnn34
1b,,3n,2 解:(1)当n=1时,,当时, 1a1
11,,1,由得所以a,a,a,a b,b,1nn,1n,1nnn,1------------4分aann,1
所以数列是首项为3,公差为1的等差数列, {b}n
所以数列的通项公式为 b,n,2{b}nn-------------5分
11
(2)
a1111n,,(,)????8分a1111nn(n,2)2nn,2n------------------------------------------------------7分,,(,)????8分nn(n,2)2nn,211111111??T,(1,,,,,,,,2n1113113n,5n11111111232435n,1n,1?,,),[,(,)],??11分?T,(1,,,,,,,,n2232435n,1n,1nn,222n,1n,24(n,3n,2) 21113113n,5n 34(n,1),2,,),[,(,)],??11分,,2nn,222n,1n,24(n,3n,2)44(n,1)(n,2)
-------------------11分34(n,1),2,,44(n,1)(n,2)11,,的值趋近于0, 可知Tn是关于变量n的增函数,当n趋近无穷大时,,,,n,1n,2,,
131当n=1时Tn取最小值,故有,,----------------14分 Tn334
22yx13C:,,1(a,b,0)20.已知椭圆过点,且离心率。 e,(1,)2222ab
(?)求椭圆方程;
l:y,kx,m(k,0)NMN (?)若直线与椭圆交于不同的两点M、,且线段的垂直
1k平分线过定点,求的取值范围。 G(,0)8
21b132243ba,解:(?)离心率,,即(1); e,?,,,12a442
319,则,(1)式代入上式,又椭圆过点(1,),,1222ab4
22a,4b,3解得,,
22xy,,1椭圆方程为。-------4分 43
(?)设,弦MN的中点A MxyNxy(,),(,)(,)xy112200ykxm,,,222由得:,------------6分 (34)84120,,,,,kxmkxm,223412xy,,,
l:y,kx,m(k,0)直线与椭圆交于不同的两点,
222222mk,,43,即………………(1)--------8分 ?,,,,,,644(34)(412)0mkkm
28412mkm,由韦达定理得:, xxxx,,,,,1212223434,,kk
12
2443mkmkm则,-------------10分 xykxmm,,,,,,,,,000222343434,,,kkk
3m
224m34,k直线AG的斜率为:, K,,AG241mk,,,3234mkk,,2348,k
234,k24m由直线AG和直线MN垂直可得:,即m,,,----12分 k,,128k,,,3234mkk
234,k551222kk,,,或代入(1)式,可得,即,则-------14分 ()43,,kk,10108k20
1ln,x21((本小题满分14分)已知函数 fx(), x
(1)求函数f(x)的极值;
kx,1(2)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围; fx(),x,1
2n,,2(1)(1)()nnenN,,,,,~(3)求证. ,,
1ln,xlnx,21.解:(?)因为, x >0,则,…………1分 fx(),fx(),,2xx
,,fx()0,fx()0,01,,xx,1 当时,;当时,. fx()(1,),, 所以在(0,1)上单调递增;在上单调递减,
fx()x,1 所以函数在处取得极大值f(1)=1 ,无极小值。…………3分
k(1)(1ln)xx,,(1)(1ln)xx,,(?)不等式即为 记 fx(),,,k,gx(),,x,1xx
,(1)(1ln)(1)(1ln)xxxxx,,,,,,,xx,ln, 所以…………7分 gx(),,22xx
1,,hxxx()ln,,?,hx()0,x,1 令,则, , hx()1,,x
,?hx()gx()0,1,),,?,,,hxh()(1)10 在上单调递增, ,从而, ,,,min
gx()1,),,gxg()(1)2,,k,2 故在上也单调递增, 所以,所以 . ………9分 ,,,min
2x,122(3)由(2)知:恒成立,即, fx(),,ln11x,,,,,x,1xxx,,11
2xnn,,(1) 令,则 ln(1)1nn,,,,,nn(1),
13
222 所以 , , ,… … ln(23)1,,,ln(12)1,,,ln(34)1,,,23,12,34,
2, …………12分 lnnn,1,1,,,,,,,nn,1
,,111232 叠加得: ,,ln123(1)2,,,,,,,,,,,,,,,,nnn,,,,1223(1),,,nn,,
11 . ,,,,,,,,nnn2(1)22nn,,11
2n,,22222n,(1)(1)()nnenN,,,,,~则,所以 …………14分 123(1),,,,,,,,,nne,,
14