高考数学概率与统计部分知识点梳理

高考复习专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 之：概率与统计 一、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. １．随机事件 的概率 ，其中当 时称为必然事件；当 时称为不可能事件P(A)=0； 注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法 例1如图1所示，有一电路 是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是        ． 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。 解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)= = 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法 例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，              两人同时出象牌，则两人平局．如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？ 分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P（一次出牌小刚胜小明）= 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法 例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率． 分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数            是6的倍数的可能情况。 解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所以（1）两位数是偶数的概率为 ．（2）两位数是6的倍数的概率为 ． 点评：当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)= 。 3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P( )=1－P(A)； 5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B) 。提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与 、 与 及事件 与 也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A B）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（ ）＝1－P( )P( )。 6、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了 次的概率 (是二项展开式 的第k+1项)，其中 为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。 提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。 二、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则 也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量， 是连续函数或单调函数，则 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为： ξ取每一个值 的概率 ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. … … P … …             有性质：① ；  ② . 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 即 可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是： [其中 ]  于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 ～B（n·p），其中n，p为参数，并记 . ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“ ”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为 ，事A不发生记为 ，那么 .根据相互独立事件的概率乘法分式： 于是得到随机变量ξ的概率分布列. 1 2 3 … k … P q qp … …               我们称ξ服从几何分布，并记 ，其中 5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取 件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为 .〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ＜ 时 ，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为 . ⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 个产品编号，则抽取n次共有 个可能结果，等可能： 含 个结果，故 ，即 ～ .[我们先为k个次品选定位置，共 种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， ，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 三、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 … … P … …             则称 为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 的数学期望： ①当 时， ，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 时， ，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当 时， ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ξ 0 1 P q p       ⑵单点分布： 其分布列为： . ⑶两点分布： ，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： 其分布列为 ～ .（P为发生 的概率） ⑸几何分布：   其分布列为 ～ .（P为发生 的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为 时，则称 为ξ的方差. 显然 ，故 为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 越小，稳定性越高，波动越小. 4.方差的性质. ⑴随机变量 的方差 .（a、b均为常数） ξ 0 1 P q p       ⑵单点分布： 其分布列为 ⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： ⑸几何分布：   5. 期望与方差的关系. ⑴如果 和 都存在，则 ⑵设ξ和 是互相独立的两个随机变量，则 ⑶期望与方差的转化：     ⑷ （因为 为一常数） . 四、正态分布.（基本不列入考试范围） 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间 内的概率等于它与x轴.直线 与直线 所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数 叫做ξ的密度函数，由于“ ” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. 2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为： . （ 为常数，且 ），称ξ服从参数为 的正态分布，用 ～ 表示. 的表达式可简记为 ，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若 ～ ，则ξ的期望与方差分别为： . ⑶正态曲线的性质. ①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线 对称. ③当 时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当 ＜ 时，曲线上升；当 ＞ 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑤当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为 ，则称ξ服从标准正态分布. 即 ～ 有 ， 求出，而P（a＜ ≤b）的计算则是 . 注意：当标准正态分布的 的X取0时，有 当 的X取大于0的数时，有 .比如 则 必然小于0，如图.  ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若 ～ 则ξ的分布函数通 常用 表示，且有 . 4.⑴“3 ”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布 .②确定一次试验中的取值 是否落入范围 .③做出判断：如果 ，接受统计假设. 如果 ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3 ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布 则 ξ落在 内的概率为99.7％ 亦即落在 之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.