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数学上册知识点
第一章有理数
1.1 正数和负数
大于0的数叫做正数.
在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数.
一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.
0既不是正数,也不是负数.
“负”与“正”相对.增长-1,就是减少1;既没有增加又没有减少的情况下增长率是0. 增长1就是增加1.
归纳如果一个问题中出现相反意义的量,我们可以用正数和负数分别表示它们.
把0以外的数分为正数和负数,它们表示具有相反意义的量.
通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度,用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.
通常用正数表示收入款额,用负数表示支出款额.
0是正数与负数的分界. 0℃是一个确定的温度,海拔0m表示海平面的平均高度.0的意义已不仅是表示“没有”.
1.2 有理数
1.2.1 有理数
正整数、0、负整数统称为整数;
正分数、负分数统称为分数.
整数和分数统称为有理数.
所有正整数组成正整数集合,所有负整数组成负整数集合.
1.2.2 数轴
在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴.
它满足以下要求:
(1) 在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;
(2) 通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点
向左(或下)为负方向;
(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,….
0是正数和负数的分界点;原点是数轴的“基准点”.
分数或小数也可以用数轴上的点表示.
归纳一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的▁边,与原点的距离是▁个单位长度;表示数-a的点在原点的▁边,与原点的距离是▁个单位长度.
1.2.3 相反数
归纳一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a 的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a,我们说这两
关于原点对称.
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
一般地, a和-a互为相反数.特别地,0的相反数是0.这里,a表示任意一个数,可以是正数、负数,也可以是0. 例如:
当a=1时,-a=-1, 1的相反数是-1;同时,-1的相反数是1.
在正数前面添上“-”号,就得到这个正数的相反数.在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数.
1.2.4 绝对值
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|. 这里的数a可以是正数、负数和0.
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝值是0.即
(1)如果a>0, 那么| a | = a;
(2)如果a = 0, 那么| a | = 0;
(3)如果a<0, 那么| a | = -a.
数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.
一般地,
(1) 正数大于0, 0大于负数,正数大于负数;
(2) 两个负数,绝对值大的反而小.
异号两数比较大小,要考虑它们的正负;同号两数比较大小,要
考虑它们的绝对值.
1.3 有理数的
加减法
十以内的加减法题目100道100以内加减法练习题100以内加减法混合题十以内加减法100道题10以内加减法题目100道
1.3.1 有理数的加法
引入负数后,除已有的正数与正数相加、正数与0相加外,还有负数与负数相加、负数与正数相加、负数与0相加等.
有理数加法运算中,既要考虑符号,又要考虑绝对值.(先定符号,再算绝对值.)
有理数加法法则:
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数同0相加,仍得这个数.
有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.
加法交换律:a + b = b + a.
有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
加法结合律:(a + b)+ c = a +(b + c ).
利用加法交换律、结合律,可以使运算简化.认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
1.3.2 有理数的减法
有理数的减法可以转化为加法来进行.
有理数减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数.
有理数减法法则也可以表示成
a -
b = a +(- b ).
归纳
引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算.
a +
b -
c = a + b +(-c).
(-20)+(+3)+(+5)+(+7) 可以省略算式中的括号和加号写成-20+3+5-7.
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
正数乘正数,积为正数;正数乘负数,积是负数;负数乘正数,积也是负数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积.
负数乘负数,积为正数,乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积. 有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
任何数与0相乘,都得0.
有理数相乘,可以先确定积的符号,再确定积的绝对值.
要得到一个数的相反数,只要将它乘-1.
乘积是1的两个数互为倒数.
多个有理数相乘,可以把它们按顺序依次相乘.
归纳
几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数.
几个数相乘,如果其中有因数为0,那么积等于0.
像前面那样规定有理数乘法法则后,就可以使交换律、结合律与分配律在有理数乘法中仍然成立.
a x
b 也可以写为a·b 或ab.当用字母表示乘数时,“x”号可以写成“·”或省略.
有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等.
乘法交换律:ab=ba.
有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.
乘法结合律:(ab)c = a(bc).
有理数乘法中,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
分配律:a(b+c)=ab + ac.
运算律在运算中有重要作用,它是解决许多数学问题的基础.
1.4.2 有理数的除法
有理数除法法则:
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
a÷b=a·1/b (b≠0).
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0. (有理数除法法则的另一种说法)分数可以理解为分子除以分母.
因为有理数的除法可以化为乘法,所以可以利用乘法的运算性质简化运算.乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果.
有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则与
小学
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所学的混合运算一样,按照“先乘除,后加减”的顺序进行.
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘方
一般地,n个相同的因数a相乘,即a·a·…·a,记作a ,读作“a的n次方”.
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在a 中,a叫做底数,n叫做指数,当a 看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”.
一个数可以看作这个数本身的一次方.
因为a 就是n个a相乘,所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.
根据有理数的乘法法则可以得出:
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.
显然,正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
1.5.2 科学记数法
一般地,10的n次幂等于10…0(在1的后面有n个0),所以可以利用10的乘方表示一些大数,
把一个大于10的数表示成a×10 的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是正整数),使用的是科学记数法.
1.5.3 近似数
一个数只是接近实际人数,但与实际人数还有差别,它是一个近似数.
在许多情况下,很难取得准确数,或者不必使用准确数,而可以使用近似数.
近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示.