如何制作高性能弹弓的问题

如何制作高性能弹弓的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): B 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话): J4236 所属学校(请填写完整的全名): 空军工程大学 参赛队员 (打印并签名) :1. 张 凯 2. 黄 彤 3. 潘 帅 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 日期: 2013 年 8 月 28 日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用): 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号): 全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号): 如何制作高性能弹弓的问题 摘 要 本文依据弹性力学的相关知识以及能量守恒定律，建立能量守恒模型，证明出理想状态下出射速度为定值，然后对弹弓皮筋回弹过程能量变化过程进行模拟，经过多次修正,最终将模型的速度值稳定在实际范围内。并依据此模型对各种鸡尾酒皮筋的初速度进行预测，最终得到速度最快的一对组合。 对于问题一:本文考虑通过能量守恒关系建立等式。对于不考虑弹丸质量的理想状态，本文依据能量守恒定律建立等量关系:皮筋弹性势能完全转化为自身的动能。在考虑这一方面的时候，因为不同位置的加速距离不同，则其初速度将会不一样，本文用微元的思想，通过积分来求皮筋的动能，最后得出的速度 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 是定值;对于实际情况下的模拟，本文从从最初的理想状态一步步将弹丸质量、空气阻力考虑进模型中，对其进行多次修正，最后通过依据实际数据与修正后的数据对皮筋本身的能量损耗进行拟合，最终确定皮筋自身消耗量与皮筋体积的二次拟合关系，并将其作为第三次修正的因素考虑进模型中，最后依据修正后的模型算出所有型号的速度，保持在55——75m/s之间。其中，关于空气阻力修正能量守恒模型，主要是依据牛顿定律算出空气阻力占总能量的比重，在将此比重列进能量守恒定律等式中。 对于问题二:为避免对皮筋收缩过程的主观臆断而带来的误差，本文从能量的角度进行模型建立。首先，对粗皮筋进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，将细皮筋以及弹丸视为质点，可以求出粗皮筋给质点的速度，然后算出粗皮筋对弹丸做的功;在对细皮筋进行分析，将皮兜与弹丸视为质点，可以求出细皮筋给质点的速度，然后算出细皮筋对弹丸做的功;相加后可以求出弹丸得到的能量，从而算出组合的初速度。依据各种约束条件建立优化模型,算出最优配比。 关键词:弹弓 能量守恒 微分模型 鸡尾酒 1 一、问题重述 弹弓的由来可以追溯到中国古代，从民间玩具一直发展至今，不仅作为一种体育竞技活动为广大爱好者喜爱，更是已经成为了一种产业在全世界范围内得到推广。 目前弹弓主要由不锈钢的弓架、乳胶管的皮筋(一般4股或8股)以及包裹弹丸的皮兜组成。在不拉伸的情况下，皮筋的长度一般在12cm左右。 弹丸的初速主要由皮筋拉满之后收缩得到的，弹丸的初速不可能大于皮筋的收缩速度，也就是弹丸质量忽略不计时其初速与皮筋拉力无关而与皮筋的收缩速度相关，况且实际上还要扣除弹丸自身的重量引起的回弹初速上限减低的问题(也就是说使用弹丸后相当于给皮筋加了负载)，所以弹丸的初速只能无限接近皮筋的回弹速度，也就是说每种皮筋所使用的弹丸质量越小，其初速越接近于该皮筋所能达到的上限。 目前各大橡胶厂所生产的管状皮筋的极限拉伸比一般在6:1左右，也就是说长度为12cm的皮筋拉伸到极限之后长度大概72cm左右。如果超过极限位置继续拉则可能把皮筋拉断，并且超过极限位置之后皮筋处于非线性区域，此时没有什么弹性。 目前市场上的皮筋拉满之后击发，弹丸的初速在55-75m/s之间。 当然，由于测速所用弹丸质量较大，所以速度不是太高。如果用质量更小的弹丸应该可以得到更高的初速(如使用直径6mm的钢珠)，请回答: 1)、请建立模型解释弹丸的初速问题，即为什么在忽略弹丸质量的时候，用不同型号的皮筋击发弹丸时初速相差不大，维持在一个比较接近的水平。并解释目前弹弓弹丸初速在55-75m/s之间这一事实。 2)、请建立模型解释为什么鸡尾酒式皮筋组可以显著提高弹丸的初速，并给出鸡尾酒式皮筋组应该怎么组合其效果更佳。即组成鸡尾酒皮筋组的两段皮筋的规格应该怎么搭配更好，两段粗细差别越大越好么,有没有一个两个型号上的最优组合,并且以常见的皮筋总长度12CM为例，两段的长度各占多少为好,有最优解么, 二、问题分析 1、问题一:基于牛顿定律微分模型的能量守恒模型。 关于在不考虑弹丸质量的情况下证明皮筋的初速度保持一致以及在实际情况中(考虑各种相关因素)的速率范围，本文将在能量守恒方面进行分析与模型建立。 本文依据能量守恒的原理，将皮筋的弹力完全转化为皮筋本身的动力。考虑到不同位置的速度不同，所以关于皮筋动能的计算将采用微元的方法进行积分得出。最后推导出端点的出射速度的关系式，分析其与哪些因素有关，并求出其稳定范围。 在考虑弹丸质量的情况下，首先考虑修正为带弹丸的能量守恒，然后考虑用牛顿定律列出微分方程对空气阻力的影响进行分析，的出取耗能的值，在回代入能量守恒模型 2 之中对其进一步修正。 2、问题二:基于能量传递的微分模型 为避免对皮筋收缩过程的主观臆断而带来的误差，本文将从能量的角度进行模型建立。首先，对粗皮筋进行分析，将细皮筋以及弹丸视为质点，可以求出粗皮筋给质点的速度，然后算出粗皮筋对弹丸做的功;在对细皮筋进行分析，将皮兜与弹丸视为质点，可以求出细皮筋给质点的速度，然后算出细皮筋对弹丸做的功;相加后可以求出弹丸得到的能量，从而算出组合的初速度。依据各种约束条件建立优化模型,算出最优配比。 三、符号说明 k 劲度系数 F 拉力 E 皮筋势能 Ep 皮筋动能 k E’ 小球动能 E’’ 空气阻力耗能 E’’’ 皮筋本身耗能 n 皮筋股数 皮筋伸长量 初速度 max 空气阻力 M1 小球质量 M2 皮兜质量 M3 皮筋质量 S 皮筋截面积 L 皮筋长度 空气摩擦耗能比重 a 加速度 V 皮筋体积 四、条件假设 1. 不考虑皮筋连接点的劲度系数变化。 2. 不考虑温度等因素的影响。 3. 假设拉伸过程中k值保持不变。 4. 假设皮筋本身性质稳定。 五、模型建立与求解 1. 问题一:基于牛顿定理与能量守恒定律的微分模型。 1)、 不考虑弹丸质量情况下对皮筋初速的理论计算: 在模型建立之前，首先对皮筋本身的性质进行分析: 3 根据题目中对皮筋的弹性性能描述上，本问题将皮筋在弹性限度内的受力与伸长量视为线性关系，即皮筋的拉伸比(即劲度系数)视为不变。第一问中，由于皮筋的拉伸长度保持在6倍以内，不会超过弹性极限，所以第一文中关于k值视为不变，依据题目中的极限拉力表，可以对相应型号的皮筋劲度系数(k)进行计算: 其中，g为重力加速度(9.8N/kg)，则可得到相应的单股劲度系数的值，如下表: 劲度系数(k)表 皮筋型号 1股拉力大小 1股的劲度系数 1063 1.42 23.1933 2040 2.65 43.2833 1842 3.18 51.94 3050 3.53 57.6567 1845 3.75 61.25 1745 3.83 62.5567 2550 4.14 67.62 2050 4.63 75.6233 3060 5.96 97.3467 相应的由于皮筋之间一并联的形式进行连接，则相应可以推出n股皮筋的整体K值为: 依据题设的条件，在本问题的研究中不考虑弹丸质量，即只是考虑皮筋本身的加速过程。针对这个问题，本文从能量守恒方面进行模型建立。 由于不考虑弹丸的质量，初始状态即最大拉伸状态，能量以皮筋弹性势能的形式储存;最终状态即皮筋的弹性势能全部转化为皮筋本身的动能。列出能量守恒方程为: 有胡克定律可得其中的弹性势能: 4 本文在考虑势能的计算时，由于拉伸状态下皮筋上不同距离上的皮筋质量微元加速距离是不同的，即在最后获得的速度是不同的，所以在计算最终动能的时候本文用微元的思想对皮筋不同距离上的微元速度进行分析: 在收缩过程中，不同位置的微元加速距离不同，假设拉伸之前与弓面的距离为x，则在拉伸程度最大的时刻，质量微元dm的收缩长度为5x，根据能量守恒定律可得: 因此与是成线性关系的，即与成线性关系，即x与成线性关系，则可得其关系式为: 为L=0.12m(即端点)处质量微元的初速度。又有，其中，n为皮筋的股数，s为相应型号皮筋的横截面积，为皮筋的密度(由于乳胶的密度不一，但整体在左右，本文即取)。 则橡胶管最终的动能即为: 结合上文的(1)、(2)、(3)可得能量守恒等式为: 将式带入上式，经过变换可得最大速度: 对于上式中的，有: 5 则可将上式中的比值关系代入中，的初速度的关系式: 上式中可以看到，对于皮筋的初速度的大小与皮筋的股数以及种类均无关，只与乳胶的密度以及皮筋张力有关，而乳胶的密度与皮筋张力是定值(张力的数值保持为 20.281kg/mm不变)。所以初速度是定值，经过计算为。 而实际情况中会出现或大或小的误差，但总体上稳定在193.7左右，以题目中的各股拉力计算其实测值，得到结果如下: 型号 1股初速度 2股初速度 4股初速度 8股初速度 1630 193.6561 193.6561 193.8265 193.7413 2040 193.892 193.892 193.8005 193.8462 1842 193.8405 193.8405 193.7643 193.7643 3050 193.7234 193.7234 193.7234 193.7577 1845 193.6755 193.8046 193.8046 193.7723 1745 193.7822 193.7822 193.8454 193.8138 2550 193.8033 193.8033 193.7448 193.7448 2050 193.7057 193.8103 193.8103 193.8103 3060 193.7828 193.7828 193.7828 193.7624 2)、 考虑影响因素的理论计算值: 在考虑影响因素建立模型的过程中，本文从能量守恒与牛顿定律两个方面进行分析并建立模型。在不能忽略弹丸质量的情况下，不仅考虑弹丸的质量对初速的影响，同时将空气阻力以及皮筋本身回弹过程中消耗的能量也考虑进去，考虑到要将各种因素综合在一个模型里面，我们首先针对不同的影响因素，分别建立模型进行模拟:用牛顿定律的微分模型对空气阻力进行模拟，计算出空气阻力对不同型号不同股数皮筋的影响程度，算出对应的初速度;同时将皮筋收缩本身消耗的能量进行分析，再用能量守恒模型对弹丸的初速进行模拟，并对其模拟效果进行分析检验。 一是对能量守恒定律的模型第一次修正。 关于能量守恒的影响因素，本文主要考虑在加上钢珠之后，皮筋的势能有一部分转化为皮筋本身以及皮兜的动能，并不能全部转化为弹丸的动能，从而降低了弹丸的初速度，使理想状态下相同的初速度减少并控制在指定范围内。 6 模型的建立是基于上文中能量守恒理想模型的的分析过程，但考虑到要将钢球与皮兜的质量加入模型，本文对上述模型进行修正。 首先对于能量守恒定律的基础式，改为: 其中为钢球与皮兜总的动能，钢球(m)与皮兜的质量(m)在前文已经给出，12 所以有: 关于的计算不再重复，详细情况参考上文。最后的到的修正方程为: 依据方程中的等量关系可以推出端点速度: 上式中对相关单位已经进行统一化与 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化。由此即可算出相应型号相应股数对应的小球最大出射速度: 第一次修正结果 型号 2股初速度 4股初速度 8股初速度 1630 57.32001 77.7977 102.0599 2040 75.50609 99.45615 125.1657 1842 81.48244 106.1879 131.6931 3050 85.01679 110.0964 135.3903 1845 87.15849 112.4157 137.4968 1745 87.84526 113.1857 138.2076 2550 90.58314 116.018 140.7658 2050 94.61864 120.2462 144.5012 3060 103.8112 129.4114 152.1812 观察发现初速度拟合的误差很大，并不够准确，接下来将在此基础上进一步考虑空气阻力对能量的消耗程度。 二是基于牛顿定律第二次修正: 在分析空气阻力对皮筋回弹过程的影响方面，本文建立微分模型对皮筋回弹过程的运动学关系进行模拟，从而估计出弹丸的初速度大小,再依据此模型将空气阻力消耗能量 7 的比重算出来。 首先对牛顿模型计算空气阻力影响下的出射速度方法进行解释: 首先对模型的力学原理进行分析:在任一时刻，皮囊受皮筋拉力与空气阻力共同作用。其中皮筋拉力满足胡克定理: 其中K值依据皮筋型号不同和股数的不同有所变化，一股皮筋对应的劲度系数为看、，则N股皮筋的劲度系数为K=nk。本文假设拉伸最大位置为原点位置，则在任意位置有: 查阅文献知，空气阻力的计算公式为: 其中，A为皮兜正对面积，查阅文献知，一般为的规格，本文取为 2A=0.001875cm;是风阻系数与形状有关，本文取常温下平板的风阻系数为1;为空 3气密度，本文取常温下的1.2258kg/m。 然后由牛顿定律可知: 其中质量M为9mm钢珠质量(m)加皮兜(m)与皮筋质量(m)(为方便计算，123本文在这里假设皮筋的质量不再是均匀分布的，而是集中在皮兜一端)。其中各个质量为: X为皮筋原长，n为皮筋的股数，s为对应皮筋的切面积。将上式(10)——(14)联0 立，并将速度与加速度用微分形式表示，得到以下积分形式: 8 并且知道初始状态时速度与位移均为0，即: [1]用Matlab程序(见附)可以进行计算从而画出速度的图像，可以得到速度 的最大值，即弹丸的初速度。 下面是以型号3050的双股皮筋做出的速度——时间图像: 3050号2股v——t图像 可以算出其最大值为:66.43801m/s，即为该弹弓的出射速度。其余型号相应的速度 如下表: 型号 2股出射速度 4股出射速度 8股出射速度 1630 48.53636 62.07172 75.39621 2040 60.60854 74.15101 84.96028 1842 64.35262 77.3066 87.42681 3050 66.43801 79.02038 88.75932 1845 67.67385 80.01593 89.49757 1745 68.05894 80.34281 89.75115 2550 69.57415 81.47885 90.59671 2050 71.71711 83.13865 91.82613 3060 76.22266 86.57846 94.15124 然后综合考虑两个模型的结果，将空气阻力消耗的能量量化后考虑进能量的损失 中，对能量守恒模型进行第二次修正: 在上文的基础上进一步提出空气阻力对能量的消耗，即将能量守恒等式进一步修正 9 为: 其中即为皮筋收缩的过程中空气阻力对能量的消耗量。下面对的计算过程进行解释: 关于空气阻力能量消耗的计算主要依据牛顿定律的微分模型进行计算，主要过程是依据该模型将不考虑空气阻力影响的对应速度也算出来，然后将其减少的动能计算出来: 其中，是不考虑空气阻力影响的初速度(依据微分模型)，是考虑空气阻力后的初速度(依据微分模型)。然后算出相应的能量损失率: 算出理想速度与其对应的值，并作图: 观察发现能量损失率稳定在0.144~0.164之间，本文取平均值ω=0.1525，作为空气阻力影响下的能量损失率。 则修正方程可以改为: 10 然后计算过程同上文第一次修正，算出相应的修正后结果: 第二次修正结果 型号 2股初速度 4股初速度 8股初速度 1630 52.76866623 71.62038 93.95613 2040 69.51072417 91.55909 115.2272 1842 75.01254136 97.75637 121.2363 3050 78.26625373 101.3545 124.64 1845 80.23789834 103.4897 126.5793 1745 80.87014086 104.1985 127.2336 2550 83.3906218 106.8059 129.5887 2050 87.1056918 110.6984 133.0275 3060 95.56836297 119.1359 140.0977 三是考虑皮筋收缩过程中耗能，对模型进行第三次修正: 关于自身能耗的考虑，本文从微观上考虑认为皮筋收缩是分子间距缩短的表现，在此过程中只与分子数量有关，转化为宏观表现即为能量的消耗量()与分子的体积相关。即将消耗的能量与体积进行模拟，消耗的能量依据二次模拟后的数据与题设中所给的速度测量值计算得出，模拟发现，两个变量之间的线性模拟效果并不好，修正后的速度在皮筋最粗的时候会很大，而实际情况是在最粗的时候消耗量比较的，速度反而下 [2]降，所以本文将两项参数进行二次模拟并做回归分析(Matlab程序见附)，如图: 可以得到模拟的关系式: 11 对其进行回归分析通过检验(如下为残差图): stats = [ 0.97745, 65.01, 0.003387, 13.512]，结果较为可信。 将原模型进一步修正为: 在此基础上, 其中V=nsL可以相应的计算出来，修正后得到的初速度为: 第三次修正结果 型号 4股初速度 8股初速度 1630 53.15861 62.14569452 2040 56.26127 82.16996229 1842 64.3445 81.30363748 3050 68.21326 78.21626645 1845 70.26257 75.21691886 1745 70.9015 74.0511473 2550 72.8913 67.63209166 2050 75.23357 62.30791631 3060 76.0327 57.45922310 表中数据分析发现拟合效果非常好，即所求的初速度集中在55——75m/s之间。 2. 问题二:依据能量传递建立模型求出最优配比: 1)、首先对涉及的初速度计算方法进行分析: 首先，对于鸡尾酒皮筋的加速原理进行分析:对于一段皮筋其劲度系数k的决定式 为，鸡尾酒皮筋由两段皮筋组成，每一段的长度相对于一种皮筋的原长来讲皆变 12 短，则其劲度系数较普通弹弓来讲皆会变大，使的皮筋收缩过程中的力增加，加大速度的初始值。下面，运用能量守恒定律的原理对皮筋的速度增加进行验证: 由问题一中的最终能量守恒模型可知: 首先将粗细皮筋组合之后的劲度系数求出来，不妨设粗细皮筋不进行组合时各自的劲度系数分别为K与K,由可知劲度系数与长度成反比，假设粗皮筋的长度为L，121则细皮筋的长度为(0.12-L)相应的劲度系数变为: 1 首先分析粗皮筋能量转化的情况: 在分析粗皮筋收缩情况时，将细皮筋与皮兜、弹丸等效为一个质点，然后式(2.1)中的等量关系，可以推出相应的能量守恒方程: 其中M是细皮筋质量， 2 V是粗皮筋的体积，对其进行整理可以得到粗皮筋的加速初速度，相应的计算出1 粗皮筋对小球做的功: 然后分析细皮筋的能量转化情况: 在分析细皮筋的能量转化情况时，将皮兜与弹丸等效为一个质点，然后式(2.1)中的等量关系，可以推出相应的能量守恒方程: 其中L=0.12-L，，V212是细皮筋的体积，对其进行整理可以得到细皮筋的加速初速度，相应的计算出细皮筋对小球做的功: 13 将皮筋组合做的总共全部转化为弹丸的动能，可以求出弹丸的初速度: 以4股的2050与3060皮筋为例，皮筋组合1:1为例，进行计算: 已知:,首先计算相应的劲度系数: 然后分别代入公式(2.3)与公式(2.5)计算出相应的速度: 进而依据公式(2.4)、(2.6)与(2.7)计算出组合皮筋的初速度: 2)、建立优化模型，求出皮筋长度比值的最优解: 由上文中的等量关系可以的到相应的参数关系: 粗细皮筋总长为0.12m:L+L=0.12 12 劲度系数成比例: 粗细皮筋伸长量为原长6倍:x=5L，x=5L 1122 粗皮筋在前，细皮筋在后:S>S 12 考虑到不能使细皮筋超出拉伸极限太多，本文加一项约束为:x<1.2x 12则可建立优化模型如下: St: 14 然后对其进行优化，的出最优配比。 六、模型评价与改进 1、模型的优点 A. 第一问的模型进行了三步修正，考虑了包括风阻在内的三方面能量消耗，得到 的结果比较准确，拟合效果比较好。 B. 问题二的模型异能量的角度来考虑，避免了对皮筋收缩过程的主观臆测，对实 际情况的误差较小。 2、模型的缺点 A. 对于问题一的模型，本文建立模型是一步步修正的过程，其中在第三步修正时 的数据较少，拟合的结果不够准确，增大了模型误差。 B. 对于问题二的目标优化模型，主要是依靠问题一的模型进行模型求解，得到的 优化模型叫为复杂,数据的处理上还存在较大的差距。 15 附 录 附一: clear; %定义全局变量 global k m i j %变量赋值 k = xlsread('皮筋1.xls', 3, 'A2:D10'); m = xlsread('皮筋1.xls', 3, 'H2:K10'); %求解区间 tspan=[0 0.1]; %初值 y0=[0;0]; %求解每一个型号弹弓在空气阻力影响下的速度 for i=1:9 for j=1:4 %四节龙格库塔函数求解微分方程 [t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0); %找出速度最大点，并赋值变量v z=diff(x(:,2)); n=1; l=length(x(:,2)); while(z(n)>0&&n