第四章 固体电子论 参考答案
1. 导出二维自由电子气的能态密度。
解：
二维情形，自由电子的能量是：
，
在
到
区间：
那么：
其中：
2. 若二维电子气的面密度为ns，
证明
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它的化学势为：
解：由前一题已经求得能态密度：
电子气体的化学势
由下式决定：
令
，并注意到：
那么可以求出
：
证毕。
3. He3是费米子，液体He3在绝对零度附近的密度为0.081 g／cm3。计算它的费米能EF和费米温度TF。
解：He3的数密度：
其中m是单个He3粒子的质量。
可得：
代入数据，可以算得：
EF ＝6.8x10-16 erg = 4.3x10-4 eV.
则：
＝4.97 K.
4.已知银的密度为
，当温度从绝对零度升到室温（300K）时，银金属中电子的费米能变化多少？
解：银的原子量为108，密度为
，如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有6.022x1023个原子，则单位体积内银的自由电子数为
在T=0K时，费米能量为
代如相关数据得
在
时，费米能量
所以，当温度从绝对零度升到室温（300K）时, 费米能变化为
代如相关数据得
可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。
5. 已知锂的密度为
，德拜温度为370K，试求
（1）室温（300K）下电子的摩尔比热；
（2）在什么温度下，锂的电子比热等于其晶格比热？
解：（1）金属中每个电子在常温下贡献的比热
（1）
式中
为绝对零度下的费米能：
（2）
锂的密度
，原子量6.94，每立方厘米锂包含的摩尔数为0.534/6.94，1摩尔物质中包含6.022x1023个原子，每个锂贡献一个电子，则每立方厘米中的电子数
已知
将数据代入（2）得
在室温（300K）下，
，由（1）式可以求得电子的摩尔比热
代入相关数据得
（2）电子比热只在低温下才是重要的。在低温下，由德拜理论知道，晶格比热
依题设，
把（1）式代入，即得
代入相关数据得
T=4.42（K）
6. 已知长为L的一维方阱中有N个电子，电子的能级为
.
证明，T=0K时电子的平均能量
式中
为绝对零度下的费米能。
解：
电子在能级上的填充要受泡利原理的限制。从n=1的基态起，每个能级只能填充自旋相反的2个电子，N个电子将填满N/2个能级。这个最后填充的能级是绝对零度下的费米能级，因此，
（1）
电子的平均能量总等于总能量除以电子数。
写成
则平均能量
因N//2远大于1，我们可以用一积分代替上面的求和，并将（1）代入，即得
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