极坐标下求加速度[资料]
极坐标系下速度与加速度的推导过程:
一、极坐标系 ( plane polar coordinates ) 1 (极坐标系
在参考系上取点 O ，引有刻度的射线 OX 称为极轴(有方向的)，建成极坐标系。
矢径: 由参考点 O 引向质点位置 A 的线段长度
由 r 表示矢径。 如图示: r=
幅角: 质点的位置矢量与极轴所夹的角 θ (也称:极角)
规定: 自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正，反之为负。
( r ， θ)确定平面上质点的位置，称为极坐标。
质点的运 动学方程: 、
质点的轨迹:
2 (极坐标系中矢量的正交分解
如图示:质点在 A 点，沿位置矢量方向称为径向
径向单位矢量: 沿质点所在处位置矢量的方向。
横向单位矢量: 与径向方向垂直且指向 增加的方向。
任何矢量均可在 和 方向上作正交分解。
注意 :径向和横向随地点而异。
二、径向速度与横向速度
讨论质点平面运动速度在极坐标系中的正交分解式，如图示:
( 1 ) 用微元法推导速度
设: t t+ 时间内，图中质点自 A ( r， t)经历一微小的位移 ，到达
由速度的定义:
( 1 ) 位移 对应于质点矢量的改变—— 径向位移 ; 位移 对应于质点相对于极点幅角的改变—— 横向位移 。
时， 指向趋于 方向。
， 时， 指向趋于 方向。
(2)
故 : 速度的径向分量: ，速度的径横向分量 : 即: 径向速度等于矢径对时间的变化率
横向速度等于矢径与角速度的乘积。
( 2 ) 矢量运算法推导速度
( 5 )
对于径向速度是矢径的变化而引起的速度的大小。 下面讨论 :
如图所示 是单位径向方向，模的大小为 1 。
( )
另外 的推导也可如下进行:
右端展开是 :
即:
所以 : 。 三 、加速度矢量 用“矢量法”推导“加速度” 已知:
加速度另外一种表示;
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