目标 基础 能力

目标     基础   能力 杭州市长河高级中学      吴金龙 一、历届复习回顾 历届高三数学复习时间紧、任务重。如何突出重点，有的放矢高效率地完成复习工作，大面积提高数学教学质量是摆在我们全体高三数学教师面前的一项无法回避的任务，以下是我结合多年的高三数学复习体验，针对函数部分教学的一些感悟和认识，望能收到抛砖引玉之功效，不到之处恳请同行予以的斧正。 函数是 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学中最重要的部分，函数思想贯穿于高中数学的始终，在社会实践中被广泛应用。函数教学融会了配 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 、换元法、待定系数法、反证法、数形结合、分类讨论、等价转换等重要的数学思想和方法。高考考查的热点有：映射、函数概念的应用、反函数的求法及其性质的实际应用；函数形性态的分析讨论（单调性，周期性，奇偶性），结合应用函数性质确定参数取值范围；在函数与方程、不等式、导数等知识交汇处上的综合问题；函数的应用问题。 高考命题在本部分的风格是：全面考查、实出重点、注重能力。试题 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的特点是：新颖、实际、思维力度大、运算量减少。试题改革的方向：由知识立意向能力立意转化，以知识为背景，实际能力的考查和思维的训练。 例：已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3） （Ⅰ） 若方程f(x)+6a=0有两个根，求f(x)的解析式 （Ⅱ）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围（全国卷Ⅰ.文19） 从考试的形式和内容看：数学试题“ 活 ”的成份越来越多，其可谓日新月异。函数、数列作为传统的重点，越考越鲜活；导数、向量、概率统计是新生代，其工具作用已相当明显；导数使得对函数性质的研究别开生面；并由此形成高考试题的一道靓丽的风景线。 例：设函数f(x)在（-∞,+ ∞）上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]，只有f(1)=f(3)=0 Ⅰ 试判断函数y=f(x)的奇偶性 Ⅱ 试求方程f(x)=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。（广东卷.19 ） 在2005年的高考数学试卷中，函数部分的知识点考查面较广，相当的分值较多；文理卷均有一道大题，在选择与填空题中也有较明显的体现。因此，在高考复习中师生应着重理清一条线（函数、方程、数列、不等式），夯实基础，拓展能力。 04年函数部分所占分值比例为26%，05年函数部分所占分值比例为28%。 二、相关考题的剖析 例1．（2005年浙江卷）已知函数f(x)= 求f[f( )]的值 剖析：由题意可知：∵f( )=| -1|-2= - ∴f[f( )]=f(- )= 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ：明确分段函数的概念及其意义， 合理求函数值是解决本题的关键所在。 例2. （2005年浙江卷）已知k>-4,求函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值。 剖析：由原式可知：y=2cos2x+kcosx-k-1=2(cosx+ )2- -k-1 ∵k<-4, ∴ <-1即 - >1, ∴当cosx=1时，函数取得最小值，即y|min=2+k-k-1=1 说明：明确本题是求关于cosx的二次函数在闭区间[-1，1]上的最小值是解题的关键。求二次函数的最小值一般步骤是：统一变量，配方，构造闭区间，取值。本题中统一变量为cosx后配平方。尤其重要的是必须明确二次函数的对称轴与闭区间的相对位置。如本题中对称轴- （大于1）在闭区间[-1，1]的右侧。 例3．（2005浙江卷）已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且有f(x)=x2+2x (1) 求函数g(x )的解析式 (2) 解不等式g(x) f(x)-|x-1| (3) 若h(x)=g(x)- f(x)+1在[-1，1]是递增函数，求实数 的取值范围 剖析：（1）设函数y=f(x)图像上任一点 关于原点的对称点为P（x,y）,则可得 即有   又∵点 在函数y=f(x)的图像上，即 ∴-y=(-x)2+2(-x) 故g(x)= -x2+2x (2) 由g(x) f(x)-|x-1| 可设：2x2-|x-1| 0 ,可以化为 或 因此原不等式的解集为 (3)∵ h(x)= -(1+ )x2+2(1- )x+1,当 =-1时,ln(x)=4x+1在[-1,1]上是递增函数， ∴ =-1符合题意，当 ≠-1时，h(x)图象的对称轴为 。于是由 得 <-1;由 得-1< ≤0 综上所述，所求实数 的取值范围是 ≤0。 说明：对函数图像成中心对称与轴对称的理解与应用是解决本题的入口，掌握二次函数的基本性质及应用是解决该题的关键。同时，要重视相关数学思想的渗透与应用。 例4. (2004年福建卷)已知 在区间[-1,1]是增函数，(1)求实数a的值所组成的集合A (2)设关于x的方程f(x)= 的两根为x1,x2,试问：是否在存在实数m,使得不等式 m2+tm+1≥| x1-x2|对任意a A及t [-1,1]恒成立？若存在求出m的取值范围;若不存在，请说明理由。 剖析：(1)A={a|-1≤a≤1},过程略。 (2)由 = 得：x2-ax-2=0,由于 = a2+8>0 , x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根， ∴     ∴| x1-x2|= ∵-1≤a≤1  ∴ | x1-x2|= ≤3 假设不等式m2+tm+1≥| x1-x2|对任意a A及t [-1,1]恒成立，当且仅当m2+tm-2≥0对任意t [-1,1]恒成立，即m2+tm-2≥0对任意t [-1,1]恒成立。 设g(t)=mt+(m2-2),则有 解得：m≥2或m≤-2, ∴ 存在实数m,使不等式m2+tm+1≥| x1-x2| 对任意a A及t [-1,1]恒成立，其取值范围为{m≥2或m≤-2} 说明：不等式恒成立含义的理解是解决本题的入口，把问题转化为函数问题是解决该题的关键。同时应注意相关数学思想的渗透。 例5(2000年春季高考压轴题)已知函数f(x)= 其中f1(x)=-2(x- )2+1, f2(x)=--2x+2 （Ⅰ）设y= f2(x),(x [ ,1])的反函数为y=g(x),a1=1,a2=g(a1),…，an=g(an-1),求数列{an}的通项公式，并求 ; （Ⅱ） 若x0 [ ,1] ，x1=f(x0)，f2(x1)= x0,求x0 剖析：（Ⅰ）因为 y= f2(x)  (x [ ,1])的反函数为y=1- , x [0,1] 故an＝- an-1＋1，设an＋ ＝- （an-1＋ ）即an＝- an-1- 令- ＝1，可设 ＝ 于是数列｛an- ｝是以 为首项，- 为公比的等比数列。 故：an- ＝ ·（- ）n-1,即an＝ [1-( )n] ∴ = Ⅱ 由已知x0 [0, ], x1= f1(x0)=1- ( x0- )2  ,由f1(x)的值域得x1 [ ,1]　所以f2(x1)＝2-2[1-2(x0- )2]= 4(x0- )2 由f2(x1)＝x0整理可得，4 x02-5 x0+1=0,解得x0＝1，x0＝ ，∴x0 [0, ）,故x0＝ 说明：数列是特殊的函数，由函数的解析式f(x)构造出an＋1＝f(an)的递推关系，是函数与数列的相交融的最基本的形式。解决此类问题最常用的方法是对递推关系作改造，从而把问题化归为等差数列或等比数列来解。 三：解题指津 （一） 利用二次函数性质解二次方程问题。 例6：已知方程x2+px+q=0有两个相异实根，若k≠0,证明方程x2+px+q+k(2x+p)=0也有两个相异实根（p,q,k都是实数）且仅有一根在前面方程的两个根之间。 指津：根据二次方程判别式的值之大小去确定根的个数。而要判别二次方程在某个区间上有且仅有一根，只要使二次方程所转化的二次函数在区间端点的两值之积小于零即可。 简解：根据题意可设：△＝p2-4q＞0,对于方程x2+（p+2k）x+q+kp=0 ∵ =(p+2k)2-4(q+4k)= p2-4q+4k2>0 ∴方程x2+px+q+k(2x+p)=0也有两个相异实根， 设 ∵k∈R且k≠0,∴k2>0,又 , 由此可得到 故可知方程 仅有一根在前面方程的两根之间。 评注：二次方程、二次函数、二次不等式的相互转化在函数部分的解题中至关重要，而利用二次函数图象与根的性质去解题又能收到事半功倍之效。 （二）利用函数单调性、函数与方程、分类讨论方法解题。 例7：已知函数 (1) 证明 的图象关于点 的中心对称。 (2) 若 （a-4时，函数 的定义域分割为两个区间且都是单调递增区间： ，可知当a,b∈ 或a,b∈ 时，若b>a> 有 ，即a,b是方程 的两个不相等和实根，也就是方程 在 上有两个不相等的实根，记 ，则由 解得m>5. 若a 显然不符合题意。 综上所述，所求m的取值范围是：-45。 评注：本例考查了证明函数图象对称性的基本方法及形如 型分式函数的性质，运用分类讨论、函数与方程等数学思想和方法是解题的关键，从不同的思维层面上考察学生的数学能力。 （三）利用函数的特殊性值，特殊点及奇偶性解题 例8：设函数 是定义在实数集R上的一个不恒等于零的连续函数，对于任意不相等的两个实数x,y，函数都满足 。（1）求f(0)和f(1)的值 （2）判断 的奇偶性，并加以证明。 指津：用特殊值赋值是求抽象函数值的常用方法，由函数奇偶性的定义去判断函数的奇偶性是通解通法。深入分析已知条件是解决问题之根本所在。 简解（1）取y=0,x≠0, 由条件可得： 由于 是连续函数，所以 ，于是在（*）中令 可得： ∴ =0 又由于 不恒等于0，所以存在x0∈R,使得 ，因此（*）式又有： （2）在所给表达式中，以-x代替y得： 又 =0于是 =   ∴ 是一个奇函数。 评注：对于抽象函数的相关问题，通常锁定目标再进行特殊值赋值，或者通过分析它的背景函数去寻找突破口。 （四）利用数形结合思想解题 例9：已知函数 在区间[-1，1]上是递增函数，且有最大值为2，函数 的图象上任一切线都不会与双曲线 的两支相交，且最大值为 。 （1）求证：         （2）求 的解析式      （3）求 的最小值 指津：本题是有关函数的单调性，极值与最值的问题，应合理运用有关导数的知识，利用数形结合思想求解。 简解（1）由题意可得a>0,且3a+2b=2,又由题意可得 即 （2）       即 从而3a=2 。 故有 且当 时 >0,当 时， <0于是 ∴ 可得d=0 ∴ (3)∵ 而 ∴当 时， 取得最小值 。 评注：本例是有关函数与方程，不等式，导数等知识的综合问题，涉及函数的单调性、极值与最值、导数的应用和绝对值不等式等相关知识点，考查数形结合思想和灵活运用数学知识解决问题的能力。 （五）利用数列与函数相结合解题。 例10：已知 在（-1，1）上有定义， ，且满足 有 ，对数列{xn}满足 （1）证明： 在（-1，1）上为奇函数。    （2）求 的表达式 （3）是否存在自然数m，使得对于任意的 ，恒有： 成立？若存在，求出m的最小值。 指津：从抽象函数的赋值入手 简解：（1）令 令 得 ，故 是奇函数 （2）令 可得： 又f(x1)=f( )=1 故可知数列{f(xn)}是以f(x1)=1为首项，公比为2的等比数列， ∴f(xn)=2n-1        (3)记 假设存在m使不等式成立，则有： ，解得：m≥16 故存在m使不等式成立，且m的最小值是16。 评注：不等式、方程恒成立的问题转化为函数的最值。 （六）以函数为背景解决有关不等式的问题。 例11.已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数， （1）对于任意的x ,都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围。 （2）对任意的x1 ，x2 都有f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范围。 指津：要解决问题（1），由函数f(x)，g(x)表达式的形式，利用参变量分离法，转化为求某个函数的最值。对问题（2），可转化为f(x1)max≤g(x2)min,从而得到关于k的不等式。另由于g(x)为x的三次函数，故可用求导方法求此函数的最值。 简解（1）由题意得：8x2+16x-k≤2x3+5x2+4x 即k≥-2x3+3x2+12x在x 上恒成立，记F（x）=-2x3+3x2+12x 则F‘（x）=-6x2+6x+12=-6(x-2)(x+1) 令F’（x）=0 解得：x=2或x=-1,∵F(-3)=45,F(-1)=-7,F(2)=20,F(3)=9 ∴ F (x)max= F(-3)=45  ∴k≥45 (2)由于f(x1)= 8 x12+16 x1-k在x1 上的最大值为F（3）=120-k 又 g(x2)= 2 x23+5 x22+4 x2  ∴g‘（x2）=6 x22+10 x2+4=2(x2+1)(3 x2+2) 令g‘（x2）=0 可得：x2=-1或x2= - 又x2 而g(-1)=7，g(- )= ，g(-3)=-21, g(3)=111 ∴g(x2)min =g(-3)=-21 即可得120-k≤-21 ∴k≥141 评注：本例为函数与不等式的综合问题，以函数为载体，利用不等式的相关知识说明解决问题，这是历年高考考查的重点。 例12：求证：若抛物线y= x2+px+q 上有一点M（x0,y0）位于 x轴的下方，则抛物线与x轴必有两个不同的交点，记交点为A（x1,0），B（x2,0），则x0在x1，x2之间。 指津：要证有两个不同的交点，即证明相应的二次方程判别式大于0，要证x0在x1 与x2之间，只需证（x0- x1）（x0- x2）<0 简证：由M（x0,y0）在抛物线上且位于 x轴的下方知 ∵ 这表明二次方程x2+px+q=0的判别式大于0，∴方程x2+px+q=0必有两个不相等的实根，记为x1 ，x2  且 x1< x2 ∴抛物线y= x2+px+q与x轴有两个交点，记为A（x1,0），B（x2,0） 又韦达定理可得 ∵x02-( x1 +x2)+ x1x2<0 即（x0- x1）（x0- x2）<0 这表明 x0在x1 与x2之间。 评注：二次函数、二次方程、二次不等式是高中数学中极为重要的一条主线，本题的直观性明显，解决问题的思想深刻。 四：能力测试 一、 选择题 1.函数 值域是（      ） A [ ]    B [0，1]  C[0， ]    D 2.函数 的单调递减区间为（      ） A (- ,2)          B (- ,2) (2,+ )    C(2,+ )    D (0,2) ∪ (2,+ ) 3.若01    B   C   D 4.已知函数 ，若f(a)=b,则f(-a)= （      ） A  b        B  -b        C       D - 5 若函数 在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（      ） A       B      C        D 6 设函数y=f(x)的定义域为R，且有f(x-1)=f(1-x),则f(x)的图像为（      ） A 关于直线x=0对称            B关于直线x=1对称 C关于点（0，0）成中心对称          D 关于点（1，0）成中心对称 7．设函数 ,则使M=N成立的实对（a,b）有（      ） A 0个        B 1个        C  2个        D 无穷多个 8：设f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0且g(-3)=0,则f(x)·g(x)的解集是（      ） A  （-3，0）∪（3，+ ）              B （-3，0）∪（0，3） C  （- ，-3）∪（3，+ ）          D （- ，-3）∪（0，3） 二、 填空题 9．已知偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x),f(1)=-1,则f(5)+f(11)=           10.设M=   则M，N的大小关系是    11．设函数f(x)=   设方程x+1=(2x-1)f(x)的解集为            12．已知00时， （1）求x<0时的解析式 （2）解不等式 15.已知函数f(x2-1)= (1) 判断f(x)的奇偶性 (2) 解关于x的方程 16．已知函数 （1） 求f(x)-g(x)的定义域 （2） 若方程f(x)=g(x)有且只有一个实数根，求实数k的取值范围。 17．设函数f(x)= (1) 若f(x)在（0，1]上是递增函数，求a的取值范围。 (2) 求f(x)在（0，1）上的最大值。 18．已知函数 （a,b为实数）， （1） 若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0，+ ），求F（x）的表达式 （2） 在（1）的条件下，当x [-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围。 （3） 设mn<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，判断F（m）+F(n)的符号。 四、 答案 单元测试参考答案 一、 选择题  1、B  2、C  3、C  4、B  5、A  6、A  7、A  8、D 二、 填空题 9、-2  10、M>N  11、 12、30，则 （2）当x>0时，不等式为 ，解得00，由 令 ，方程在定义域范围内有一解 ，-10,则n<0,又m+n>0 故有： 五、 结束语 高考数学复习头绪多，压力大，作为我们教师应依据教学大纲和高考命题原则，不断地改革高三数学课堂教学方法，又帮助我们学生排除各种障碍，大面积提高学习成绩，总体的策略是：“适当集中，反复循环，力所能及，着重启发，因材施教，培养能力。” 祝全体同行身体健康，顺利完成我们本届高三数学复习工作，谢谢大家。 2005年10月27日于临安