数学说题(从一道中考题说起)--周秀娟

从一道中考题说起 重庆市渝高中学  周秀娟 中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。从2010年至2014年，重庆市中考都考查了在动态问题下的存在性问题，A卷其中有三年考查了等腰三角形存在性问题，今天我就2014年重庆市数学中考A卷第26题第3问进行说题。 一、原题再现 26．（12分）(2014年重庆市)已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD= ，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF． （1）求AE和BE的长； （2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值． （3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由． 二.审题分析 本题是运动型综合题，涉及的知识点有：旋转变换、矩形、勾股定理、等腰三角形存在性等知识考点．从条件上看，第（3）小题有Rt△ABF旋转过程中，直线A′F′与直线AD、直线BD的交点位置变化，讨论等腰三角形存在性的各种情况。通过观察旋转变换的过程中，图形发生的变化，构造出等腰三角形的条件，利用勾股定理性质的运用，融进矩形，对学生分析问题的能力要求较高，不失一道好的压轴题。由于此旋转图形是直角三角形，因此解决问题的突破口和切入点就在于此。画出旋转过程中的图形变化情况，并识别旋转过程中的不变量是解决此问题的难点，学生难于将分散的条件集中到有效的图形变化上进行解决，总有无从下手的感觉。抓住旋转过程中的不变量与变量，依题意分类讨论，用好勾股定理的性质和等腰三角形的性质简化计算是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数达到0.12。 三.解题分析 同一个问题，从不同的角度探究与分析，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。在此题中，一般会从两个思路方向来解决此问题。 思路一：从动态的角度看，△ABF旋转过程中会出现的不同的情况，逐步分析图形在动态变化过程中的变化，画出变化过程中的各种图形，抓住变化过程中的不变量，解决问题。 解题过程： （3）存在．理由如下： 在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形： ①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q， ∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q， ∴A′Q=A′B=5， ∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9． 在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= = = ． ∴DQ=BQ﹣BD= ﹣ ； ②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P， ∵∠1=∠2，∴∠1=∠P， ∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上． ∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q， ∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ． 在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2， 即：32+（4﹣BQ）2=BQ2， 解得：BQ= ， ∴DQ=BD﹣BQ= ﹣ = ； ③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4． ∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4， ∴∠4=90°﹣ ∠2． ∵∠1=∠2，∴∠4=90°﹣ ∠1． ∴∠A′QB=∠4=90°﹣ ∠1， ∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣ ∠1， ∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=5， ∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1． 在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= = = ， ∴DQ=BD﹣BQ= ﹣ ； ④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3． ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3， ∴∠1=∠4， ∴BQ=BA′=5， ∴DQ=BD﹣BQ= ﹣5= ． 综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形； DQ的长度分别为 ﹣ 、 、 ﹣ 或 ． 思路二： 从静态的角度看，讨论等腰三角形的存在性分三种情况，但在旋转过程中图形是变化的，这对学生的综合分析能力要求较高。 这是我今年刚毕业的初三的孩子做的习作，知道我是用来说题，他很认真地思考，并工整地书写出来拍照给我，孩子就是从静态的角度分析讨论等腰三角形的存在性，但孩子在思考的过程中丢失了三角形旋转到矩形外还存在的一种情况，也就是PD=DQ时，点Q落在BD上的情况，由此说明，这对孩子们的发散性思维和创造力要求极高。 四.总结提升 孩子在解题过程中，充分体现了数学的分类讨论思想，在利用勾股定理列方程时采用了方程思想，同时也体现了转化的数学思想。 那如何在解决等腰三角形存在性问题时避免出现学生习作中所出现的问题呢？我在这里给出等腰三角形存在性问题的解题规律，由小题见大题，让学生在解决存在性问题时能发现平时训练的影子。 1、若一动点——则一线两圆 所谓一线两圆，就是指已知两点的垂直平分线，和以已知两点分别为圆心，两点间距离为半径的两圆。垂直平分线和两圆在所需要满足的条件上的交点即为所求。 1．如图所示，在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=90°, AD=AB=6, BC=14,点M是线段BC上一定，且MC=8, 动点P从C点出发沿BADC的路线运动，运动到点 B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三 角形的点P有_________ 个 2、若两（三）个动点——则两两相等 等腰三角形存在性的三种情况，每两条边两两相等，利用勾股定理，线段相等等一系列等量关系列出方程，解答出未知线段的长。在函数与几何综合题中，还可以借用函数解析式列等式，求出所需要结果。 寻找解题规律，是解题的关键，由小题的训练有助于学生巩固所学知识，提高思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于拓展思维，从而在解决压轴题这样的大题时才不至于束手无策，无从下手。 五、变式拓展 除等腰三角形存在性问题外，2012年重庆中考26题，2014年重庆中考数学B卷25题都考查了直角三角形存在性问题，因此，改变题目背景，将等腰三角形存在性问题变为直角三角形存在性问题，又该如何解决呢？ 2012年重庆中考数学第26题 2014年重庆中考数学B卷第25题 25．（12分）（2014?重庆）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于 A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛 物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长； （3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在 一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标． 加强对学生存在性问题的训练，无论是等腰三角形存在性问题，还是直角三角形存在性问题，还是其它的存在性问题，都需要找到其解决问题的最佳途径 。 作为一名数学教师，在平时的教学过程中离不开解题，但更重要的是要做好解题研究，熟悉各种基本常规题型和各种解题策略方法，教师通过解题，才能融合各种资源，才能在分析试题时精心 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 好为学生解决难题的脚手架，让学生体验成功的乐趣。