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第6章 信号与系统控制的频域分析法.ppt

第6章 信号与系统控制的频域分析法

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2019-06-22 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第6章 信号与系统控制的频域分析法ppt》,可适用于综合领域

第章信号与系统控制的频域分析法频域分析法及其特点连续信号与系统控制的频域分析离散信号与系统控制的频域分析频域分析法及其特点 什么是频域分析法 频域分析法的特点 什么是频域分析法频域分析法( 傅立叶JFourier, ~ )是一种变换域分析方法是三大工程分析方法中最重要、最常用的方法。所谓频域分析即在频率域(简称频域)内分析、研究信号与系统控制的问题包括“信号的频域(频谱)分析”和“系统控制的频域分析”两方面。“信号的频域(频谱)分析”利用信号的频率特性将周期信号分解为一系列不同频率的正弦信号(序列)或虚指数信号(序列)的叠加将非周期信号分解为相应信号(序列)的频谱函数的积分。这种分解具有明显的物理意义在通信、控制等工程实际中得到了广泛应用。“系统控制的频域分析”是一种图解法可以渐近画出系统的频率特性曲线具有简单、形象、快速的特点不仅可以利用系统的开环频率特性(Bode图)去判断系统的闭环性能而且能够方便地分析系统参量对系统暂态响应的影响确定改善系统性能的方法与途径。系统的频域特性具有明确的物理意义可以用实验方法测定可以通过实验帮助解决数学建模问题。 频域分析法的特点)明确的物理意义信号的频谱分析揭示了信号的基本组成和能量的主要分布系统控制的频域分析则明确了系统的基本滤波性能。)图解与渐近逼近信号的“离散”或“连续”频谱非常直观、明析系统控制的Bode图则可以快速、渐近画出且容易修正、逼近因而具有简单、形象、基本准确的特点。)近似与间接研究根据信号频谱的主要能量分布可以实现信号的离散取样与复现根据系统控制的开环Bode图可研究系统的闭环性能并绘制 Nichols图、得到系统的闭环特性曲线。)可通过实验观测信号的频谱可以通过频谱分析仪观察、测试系统或环节的频率特性则可以通过扫频仪进行观察和测试。)局限于LTI系统频域分析法仅限于LTI系统的分析与研究对于满足LTI条件的许多系统都可以应用频域分析法进行限于零状态响应的研究但不能进行零输入响应与完全响应的研究。连续信号与系统控制的频域分析信号的正交分解周期信号的傅立叶级数周期信号的频谱非周期信号的傅立叶变换傅立叶变换的性质周期信号的傅里叶变换抽样定理连续系统的频域分析  连续系统的频率特性与试验测定 Nyquist稳定判据与对数频率稳定判据系统的三频段分析与闭环特性 系统频域指标与时域指标的关系 信号的正交分解信号的分解与矢量的分解非常相似本节将从矢量的分解入手通过类比的方法将连续信号分解为正交函数即:用“完备正交函数集”中各正交函数的线性组合来表示相应的连续信号。 周期信号的傅立叶级数)三角形式的傅立叶级数对于任何一个周期为的周期信号都可以用式()所示的三角函数集中各函数的线性组合来表示即 ()式()中称为基波角频率 和  则为加权系数。由式()可得加权系数: ()()时即  的直流分量为:当式()可写为:式()表明:任一周期信号谐波分量之和来表示。其中为直流分量为量的振幅为振幅、相位与系数和所示分别为:图、和()可用一直流分量和一系列次谐波分次谐波分量的相位。的三角关系可以用图的关系ImReanjbnAn2) 函数的对称性与傅立叶系数的关系⑴偶对称⑵奇对称⑶奇谐对称⑷偶谐对称信号波形关于纵轴对称有信号波形关于原点对称有信号沿t轴平移半个周期后与原波形镜像即信号沿t轴平移半个周期后与原波形满足在偶函数的傅立叶级数展开式中没有正弦项只需求a与an即可。级数展开式只有正弦项没有直流与余弦项只需求bn即可。其傅立叶关于时间轴,其傅立叶级数展开式中只有奇次项而没有直流与偶次谐波项。完全重叠其傅立叶级数展开式中没有奇次谐波只有直流及偶次正弦项与偶次余弦项。) 指数形式的傅立叶级数⑴指数形式的傅立叶级数()⑵指数形式与三角形式傅立叶级数的关系)几点说明周期信号的频谱)周期信号频谱的特点 )周期信号的功率与有效值周期信号是一种功率信号周期信号的平均功率是有限的而其能量则是无限的。有帕塞瓦尔等式帕塞瓦尔等式(-)表明周期信号的功率等于直流和各次谐波分量功率之和。考虑Ω电阻上的功率P与电压或电流有效值U、I的关系为容易得到:与 。即周期信号的有效值为各谐波分量有效值的平方和的平方根。 非周期信号的傅立叶变换傅立叶变换的性质周期信号的傅里叶变换)周期信号与非周期信号频域分析的统一由周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换的讨论得出了周期信号的频谱为离散的振幅谱而非周期信号的频谱是连续的密度谱的结论。) 周期信号的傅里叶变换抽样定理G(jω)G(jω)信号的实际抽样(周期脉冲抽样)由式(-)可知样值信号的频谱函数是信号频谱的周期性重复且重复周期为幅度为的倍①在实际工作中抽样序列只能采用周期性的矩形脉冲串来近似。可导出(-)图频域抽样原理连续系统的频域分析)频域分析法系统的频域分析法则以虚指数信号作为基本信号对LTI系统进行分析。系统的频域分析法如图所示。利用时域分析中LTI系统的零状态响应可通过外作用f(t)与系统单位冲激响应g(t)的卷积来求取(-)Gg图系统的频域分析法f(t)LTI系统y(t)f根据傅里叶变换的时域卷积性质求式(-)的傅里叶变换(-)式(-)中G(jω)为该系统单位冲激响应g(t)的傅里叶变换通常称G(jω)为系统传输函数而且。对式(-)求傅里叶反变换容易得到系统的零状态响应)基本信号激励下的零状态响应)基本信号激励下的零状态响应乘上LTI系统的系统函数(与时间无关)就得到LTI系统在基本信号激励下的零状态正是LTI系统单位冲激响应的傅里叶变换。(-)式(-)表明:基本信号响应。式(-)则是频域法的基础。)一般信号f(t)激励下的零状态响应系统的无失真传输及其条件)失真的概念如果信号通过系统传输后输出波形发生了畸变失去了系统传输的原信号波形的形状就称之为失真如果信号通过系统传输后原信号波形的形状保持不变只产生时间的延迟或幅度的增减则称为不失真如图所示。由于信号可分解为无穷多个基本信号的线性组合则LTI可视为无穷多个基本信号产生的零状态响应的线性叠加可导出系统的由频域分析法求解系统零状态响应的步骤如图所示。(-)具体求解过程可参考例-~例-可以把系统的传输失真分为线性失真与非线性失真两大类。①线性失真:信号通过线性系统所产生的失真称为线性失真。②非线性失真:信号通过非线性系统所产生的失真称为非线性失真。③失真的作用:在实际应用中有时人们需要有意识地利用系统的这种非线性失真实现波形的变换、混频、检波等。图系统的无失真传输()无失真传输的条件系统不失真传输的频域条件为()系统不失真传输的幅频与相频条件为()a幅频特性b相频特性图系统不失真传输的幅频和相频特性)理想低通滤波器及其特性在系统不失真传输信号的情况下有时只让所需要的频率成分通过而对不需要的频率成分予以抑制。具有这种频率选择功能的系统称为滤波器。滤波器有低通、高通、带通以及低阻、高阻、带阻之分。所谓理想滤波器是指不允许通过的频率成分将的被抑制掉一点也不能通过而允许通过的频率成分则让其的通过。()理想低通滤波器具有图所示幅频特性和相频特性的滤波器被称为理想低通滤波器。图理想低通滤波器的幅频和线性相位特性()理想低通滤波器的特性①理想低通滤波器非全通滤波器②理想低通滤波器无法实现()③理想低通滤波器的近似实现理想低通滤波器的系统函数为()理想低通的单位冲激响应为:理想低通的通带为或称该滤波器的带宽为。单位冲激与理想低通的单位冲激响应曲线如图所示。 竟在之前就有了是完全可能的。图理想低通滤波器的单位冲激响应曲线连续系统的频率特性与实验测定)连续系统的频率特性 ()频率特性的概念可以定义:线性系统在正弦输入作用下稳态响应的特性即系统的频率特性包括幅频和相频特性两方面。系统的频率特性表征了系统(或环节)在正弦输入作用下的稳态响应与输入信号角频率的关系可记为()式()既包含了系统输出、输入的幅值比又包含了系统输出、输入的相位差称为系统的幅相频率特性表达式简称幅相特性表达式。图系统的频率特性曲线A��)�(�w�A�A��A��)�(�w�j��j��j��j��w��w��w�w�例求图所示RC电路的频率特性。解:由题有 及 消去中间变量i、令T = R C 并求拉氏变换可得该电路的传递函数设输入为正弦电压其拉氏变换为可求得由拉氏反变换可得该电路的稳态响应当t →∞时有图一阶RC电路用幅相特性表达式表示则有一般还可以用其实部与虚部之和来表示,即:()式()中X (ω)称为系统的实频特性,Y (ω)则称为系统的虚频特性。()系统频率特性与传递函数的关系只要令传递函数G (s) 中的复变量s为纯虚变量jω,即可得到系统的频率特性:()当输入时有则相应输出为:()可得系统输出:系统稳态响应为  ()对于系统的频率特性有以下点需要说明:①以上结论是在线性系统(环节)稳定的条件下得出的但从理论上讲动态过程中的稳态分量总是可以分离出来的而且其规律性并不依赖于系统的稳定性因此可以将频率特性的概念推广到不稳定系统(环节)。②由于频率特性的表达式包含了系统或元部件的全部动态结构和参数因此尽管频率特性是一种稳态响应特性但动态过程的规律性仍将寓于其中同微分方程及传递函数一样频率特性也是系统的一种动态数学模型能够反映系统(环节)的动态及静态特性。③上述传递函数的求取是在已知系统或元部件的微分方程或传递函数的基础上进行的。反之对于难以用解析方法建立微分方程的系统或元部件则可按频率特性的物理意义通过实验测取从而确定其对应的传递函数与微分方程。幅频特性()相频特性()有 ()()频率特性的求法及图示方法①频率特性的求取方法根据系统的频率响应求取根据系统的传递函数直接s = jω 求取通过实验方法测得。②频率特性的图示方法幅相频率特性曲线也称为极坐标图或Nyquist图,对数频率特性曲线又称为伯德图对数幅相频率特性曲线又称为尼柯尔斯图,在极坐标上表示的G (jω) 的幅值与幅角即当ω: →∞变化时向量G(jω)的矢端轨迹特性曲线两幅图两幅图的横坐标均以ω 的包括对数幅频特性对数(lgω)刻度当ω: →∞变化时随ω 变化的曲线曲线与对数相频分别表示幅值与相角幅频特性曲线以dB为单位按照 lg |G (jω)| 绘制相频特性曲线则以度或弧度为单位按照(ω)绘制。纵坐标均匀刻度幅图合成为一幅图是在以为纵轴的对数幅相G (jω)平面中以ω为参变量绘制的G(jω)曲线。实际上是将Bode图的两(ω)为线性刻度的横轴、以 lg |G (jω)|线性刻度)典型环节的频率特性及其极坐标图(Nyquis t曲线)()比例环节比例环节的传递函数为G (s ) = K其频率特性为幅频特性为| G ( jω) | =K相频特性为 由此可见:比例环节的幅频特性和相频特性都是与角频率ω无关的常量。图比例环节的极坐标图()惯性环节传递函数为幅频特性为()相频特性为()图惯性环节的极坐标图()积分环节传递函数频率特性幅频特性()相频特性()图 积分环节的极坐标图()振荡环节传递函数幅相频率特性幅频特性()相频特性 ()图振荡环节的极坐标图Re�=�w��=�w�w�O�Im��r�M�r�w�w�=�n�w����=����=����=�n�w�n�w�G(j����)�()微分环节传递函数:纯微分G (s) = s一阶微分G (s) = τs 二阶微分G (s) =τs τs 图各种微分环节的极坐标图()延滞环节传递函数频率特性()∣G(jω)∣=(常数)而。图延滞环节的极坐标图()一阶不稳定环节传递函数频率特性()幅频特性相频特性图一阶不稳定环节的极坐标图)高阶系统极坐标图的一般规律高阶系统通常由若干典型环节串联组成其开环传递函数为其中()()若开环传递函数概略绘制极坐标图的一般规律可以归纳为以下三点:()首先确定极坐标图的起点(ω=)与终点(ω=∞):起点由与确定 终点(一般为原点)由与共同确定曲线趋近于原点的区域。其中v为积分环节的个数 p为开环右极点的个数时应从补充半径大的虚线圆弧到起始点。()利用时间常数大的典型环节在ω 比较小的时候其先产生影响的变化趋势(零点对应逆时针的变化趋势极点对应顺时针的变化趋势)同时利用nm时整体幅度随ω增大而减小的特点可绘出Nyquist曲线的大致形状使起点与终点平滑连接。 )若能根据G(jω)表达式求出Nyquist曲线与实轴和虚轴的交点(具有ImG (jω)=与ReG(jω)=的特点)则概略Nyquis t曲线会更准确。例概略绘制  的Nyquist曲线。解:由题v=、p=且起点应从正实轴补充半径无穷大的虚线圆弧到起点 又n = ,m = 终点趋于原点的区域为第三象限、且靠近负实轴。考虑除放大与积分环节外还有个惯性环节使得从趋近于  图例的极坐标图)典型环节的对数坐标(Bode)图()Bode图及其特点①对数幅频特性可以较快地用渐近线近似表示:渐近线交接处的角频率称为转折角频率此处的渐近误差最大只要对转折角频率处的渐近误差进行修正就可使渐近曲线比较精确。②对数相频特性具有奇对称特点:只要确定了在起点(ω = )、折频点(ω =ω)和终点(ω→∞)的大致位置就可以利用对数相频特性的奇对称特点用平滑曲线连接或用曲线模板绘制较快地完成对数相频特性曲线。逐点求出值后用平滑曲线连接的方法虽然比较准确但是计算量太大很不方便而且容易产生计算错误实际上利用曲线分析稳定性时需要考虑稳定裕度这使得的准确计算没有太多的实际意义。()典型环节的Bode图①比例环节频率特性G( jω)=K幅频特性L(ω)= lgK相频特性即:对数幅频特性与对数相频特性均与角频率无关。图比例环节的Bode图lgK�dB��=��L(��)=lgK�dB�②积分与微分环节频率特性G(jω)=幅频特性L(ω)= lgω相频特性图积分、微分环节的Bode图w�)�(�w�L����������O���w�)�(�w�j�o��o��o���������dB��③惯性环节与一阶微分环节频率特性G ( jω) =对数幅频特性 为转折角频率)()对数相频特性()图惯性与一阶微分的Bode图T�w�)�(�w�j��B�d��)�(�L�w�o���������O���o��o���T�w�o��o�������������④振荡与二阶微分环节频率特性其中为振荡环节与二阶微分环节的转折角频率。对数幅频特性()对数相频特性()图振荡环节的Bode图⑤延滞环节频率特性其中幅频特性相频特性图延滞环节的Bode图⑥一阶不稳定环节频率特性对数幅频特性(为转折角频率)对数相频特性)开环系统的Bode图若系统的开环由n个环节串联组成则系统的开环频率特性为:式中取对数后有()而且() 表示各典型环节的幅频特性L i(ω)和  分别表示各典型环节的对数幅频特性和相频特性。)简捷绘制对数幅频特性和相频特性的具体步骤①分解:将频率特性G (jω) 分解为若干个基本因子的乘积。②排序:求出开环各典型环节的转折频率并由小到大按顺序在频率轴上准确标出。③绘制幅频渐近线:a首先确定开环对数幅频特性的第一段。因为系统开环对数幅频特性的第一段是由确定的所以第一段或其延长线必定会经过ω = 与  lg K  两条直线的交点其斜率为v()dBdec(v为开环积分环节的个数)。b随后沿频率增大的方向每遇到一个转折频率就在原有斜率的基础上就引入相应环节产生的斜率变化改变一次斜率(惯性环节的斜率变化量为dBdec一阶微分的斜率变化量为dBdec振荡环节的斜率变化量为dBdec……)。c系统开环对数幅频特性的最后一段即最终斜率应该为 (nm)•()dBdec 其中n为开环传递函数G (s ) 的极点个数m为G (s ) 的零点个数。④修正:主要对转折频率处的相应渐近线按渐近特性的误差曲线进行修正即可得到比较精确的对数幅频特性曲线。⑤绘制对数相频特性曲线:可以按照“定两头、变中间、奇对称”的方法进行。a定两头:按照 的规律确定相频特性曲线的大致起点(注意ω = 在 lgω 轴的“∞”远处) v≠时应从 补充虚线到按照的规律确定相频特性曲线的最终相移线。b变中间:按照各典型环节在折频处的相移值兼顾起点相移以及相邻环节相移特性的影响大致确定在各个折频处的相移位置。c奇对称:用平滑曲线连接起点、各折频点与最终相移时折频处要注意保留奇对称的 痕迹使平滑曲线与精确曲线比较接近。()简捷绘制Bode图的实例例若某系统的开环试简捷绘制系统的开环Bode图。解:由题K = 、T = 、T = 故有折频 ω=T =、ω=T =据此可把ω与ω依次标在频率轴上如图所示。由 K = 有  lg K = dB又v=使第一段斜率为且在 L (ω) =  dB的高度。由于ω与ω均为惯性环节的折频故应在折频处原有斜率的基础上引入–的斜率变化。图例的Bode图()最小相位系统与非最小相位系统如果一个系统或环节的传递函数的极点和零点全部在 s 平面的左半部则称为最小相位传递函数。如果传递函数中具有s右半平面的极点和零点或者有延滞环节则称为非最小相位传递函数。()由Bode图确定系统的开环传递函数在系统的频域分析中不仅要能根据系统的开环传递函数画出Bode图为系统分析提供开环频率特性曲线同时也要能根据Bode图写出系统的开环传递函数使实验曲线得以提升为系统的数学模型。前者由典型环节确定开环频率特性曲线的转折频率、斜率变化与相频的变化等后者则由开环频率特性(实验)曲线的形状确定相应典型环节的类型与参数等。①图a中或②图bc中或③图d或图e或图f或图几种与确定K有关的常见Bode图�K��)�(�w�L�c�w�w�a��)�(�w�L�K�c�=�w�w�c��)�(�w�L�c�w�w�d��)�(�w�L�c�w�w�f�lgK����������w�K��w��w��)�(�w�L�K�c�=�w�w�b��)�(�w�L�c�w�w�e�����K��w��w�dB�dB�dB��������������n�������n��(K�dB�dB�dB�)对数幅相图(Nichols图)对数幅相图即尼柯尔斯(Nichols)图是描述系统频率特性的另一种方法:以角频率ω为参变量、以相角为横坐标(单位为度)、以对数幅频L(ω)为纵坐标(单位为dB)将Bode图的对数幅频特性与相频特性两条曲线合并为一条曲线。绘制出这种图时通常是先绘出Bode图然后以ω 为参变量取若干点在Bode图上查出相应的分贝数与度数并列表再由表中数据绘制对数幅相图。)连续系统频率特性的试验测定当连续系统难于用解析法建立其传递函数或频率特性时可以采用试验方法建立(即系统辨识)系统辩识的方法有多种下面主要介绍频域辨识法。频域辨识法通常有两种作法:一种是根据频率特性的定义用正弦输入信号去求得频率特性另一种是根据频率特性和时间响应的关系对被测系统施加单位脉冲、三角形波或其他形式输入信号然后应用傅氏变换求得频率特性。()用正弦信号测试频率特性的原理()传递函数的确定①由低频段渐近对数幅频特性曲线的斜率确定开环积分环节的个数②系统开环增益K的确定③根据曲线在交接频率处的斜率变化确定相应的典型环节④根据最小相位系统对数幅频的斜率与相频特性之间的单值对应关系可检验系统中是否有滞后环节存在。图相关分析法测试频率特性原理图Nyquist稳定判据与对数频率稳定判据)Nyquist稳定判据的数学基础设有复变函数()其中s为复变量用S平面上的表示复变函数F(s)则用F(s)平面上的表示。若F(s)在S平面上是除有限奇点外任一点s的解析函数(单值连续的正则函数)则对于S平面上的任一点在F(s)平面上必有一个映射点与之对应。因此若在S平面上任意选定一条封闭曲线Ls使其不通过F(s)的任一奇点(即任何零点和奇点)则在F(s)平面上必有一条封闭映射曲线LF与之对应如图所示。F(s)的相角可表为()若封闭曲线LS(内部)只包围了F(s)的一个零点Z而其他零、极点均位于LS的外面则当s沿LS顺时针运动一周时向量(s Z)的相角将变化度对应 F(s)将沿LF顺时针绕F(s)平面的原点转一周而其它各向量的相角变化为零。若LS包围的不是零点而是P个极点则当s沿LS顺时针运动一周时对应 F(s)将在F(s)平面上沿LF按逆时针包围坐标原点P周。图S平面与F(s)平面的映射关系������������������)�s�(��)�s�(��)�s�(��w�j�s�L���s������������F�L�jV�)�(��s�F����)�(��s�F�)�(��s�F��)�s�(�F��u���������S�幅角定理:设S平面上的封闭曲线包围了F (s)的z个零点和p个极点并且此曲线不经过F(s)的任何零点和极点则当复变量s沿封闭曲线按顺时针方向移动一周时在F(s)平面上的映射曲线将绕原点顺时针转过N周而且  N = z  p 。若N  >  表示顺时针转N周若N <  则表示逆时针转N周。)Nyquist稳定判据()辅助函数F (s) 与系统开、闭环极点的关系设辅助函数F (s) 若开环传递函数为()Nyquist轨线为了判断F(s) 有无零点位于S右半平面可以选择一条按顺时针方向包围整个S右半平面的封闭曲线通常称为Nyquist轨线。()LF曲线与LGH曲线的关系LF曲线是辅助函数F(s)的映射曲线而LGH则是开环传递函数G(s)H(s)的映射曲线。设复变函数F(s)在S的右半平面有个z零点和p个极点。根据幅角定理当s在S平面沿Nyquist轨线环绕一周时在F(s)平面上的映射曲线见式()将按顺时针绕坐标原点旋转 N = z  p 周。若闭环系统是稳定的必定有z=见式()则LF按顺时针围绕坐标原点旋转了N=p周也就是说按逆时针围绕坐标原点旋转了p周。由于F(s)=G(s)H(s)故有G(s)H(s)= –F(s)。此式说明F(s)的映射曲线LF围绕坐标原点的旋转情况相当于G(s)H(s)的映射曲线LGH围绕(,j)点的旋转情况。()Nyquist稳定判据及其简化①Nyquist稳定判据:闭环控制系统稳定的充分必要条件是当ω从-∞到∞变化时系统的开环频率特性G(jω)H(jω)曲线按逆时针方向包围(,j)点p周。其中p是位于S右半平面的开环极点个数。对于开环稳定的系统有p=则闭环系统稳定的充要条件为系统的开环频率特性G(jω)H(jω)曲线不包围(,j)点。②Nyquist稳定判据的简化:考虑ω:∞→及→∞变化时开环G(jω)H(jω)曲线将是以实轴为对称的图形。简化后的Nyquist稳定判据可以表述为:闭环控制系统稳定的充分必要条件是当ω从到∞变化时系统的开环频率特性G(jω)H(jω)曲线绕(,j)点的转角增量为pπp是位于S右半平面的开环极点个数。对于开环稳定的系统有p=则闭环系统稳定的充要条件为系统的开环频率特性G(jω)H(jω)曲线绕(,j)点的转角增量为。()虚轴上有开环极点时Nyquist稳定判据的补充如果开环传递函数G(s)H(s)在虚轴上有极点则不能直接应用图所示的Nyquist轨线因为幅角定理要求Nyquist轨线不能经过F(s)的奇点。为了使Nyquist稳定判据在这种情况下也能应用可以稍微对Nyquist轨线进行一点修改(补充)使Nyquist轨线沿着半径为无穷小(r→)的半圆弧绕过虚轴上的极点。即当[S]平面中的s沿无穷小半圆弧逆时针从ω= 变化到ω= 时其θ角将沿着逆时针方向从而GH平面上的映射曲线则将沿着无穷大半径按顺时针方向从转到(补充到) 如果采用简化Nyquist曲线则为:s沿无穷小半圆弧逆时针从ω= 变化到ω= 时其θ角将沿逆时针方向从变化到时GH平面上的Nyquist简化曲线将沿着无穷大半径按顺时针方向从转到(补充到)。()应用举例例已知系统的开环系统传递函数为试用Nyquist稳定判据判定系统的闭环稳定性。解此开环系统的频率特性为当ω从-∞→∞变化时的Nyquist曲线可画出如图a所示。显然当ω=时当ω=∞时由于p=故G (s)H (s)在S右半平面没有极点图a中没包围(,j)点即此系统满足Nyquist判据闭环稳定。这说明对于K、T、T为任意正值时该系统总是闭环稳定的。图 例的乃氏图及其简化�������Im�����K�Re��=�w���=�w���=�w��w�(,j)����������GH�����Im����K�Re��=�w�=�w��(,j)�w������GH�a��b��)Nyquist稳定判据在Bode图上的应用()Nyquist图与Bode图的对应关系图Nyquist图与Bode图的对应关系①Nyquist图上的单位圆与Bode图上的dB线相对应单位圆外部对应于L (ω ) >  单位圆内部则对应于L (ω ) <  ②Nyquist图上的负实轴对应于Bode图上的线 ③Nyquist图与单位圆交点的频率即对数幅频特性曲线与横轴(dB线)交点的频率称为截止频率或幅值穿越频率等记为ωC④Nyquist图与负实轴的交点的频率即对数相频特性曲线与线交点的频率称为相位交界频率或相位穿越频率⑤在Nyquist图中如果开环G ( jω )H ( jω )曲线在(j )点左边穿过负实轴即为“穿越”若沿ω增加方向曲线自上而下穿过(j )点左边的负实轴则为正穿越(相位增加)反之沿ω增加方向曲线自下而上穿过(j )点左边的负实轴则称为负穿越(相位更负)如果沿ω增加方向G ( jω )H ( jω ) 曲线自(j )点左边的负实轴开始向下或向上变化则分别称为半次正穿越和半次负穿越 ⑥在Bode图上对应L (ω ) >  dB的频段内沿ω 增加的方向对数相频特性曲线自下而上穿越过线称为正穿越反之曲线自上而下穿越过线为负穿越同样若沿ω增加方向对数相频曲线自线开始向上或向下则分别称为半次正穿越和半次负穿越⑦在Nyquist图上正穿越一次对应于G ( jω )H ( jω ) 曲线逆时针包围(j )点一周而负穿越一次则对应于G ( jω )H ( jω )  曲线顺时针包围(j )点一周也就是说G ( jω )H ( jω ) 曲线对(-j)点包围的次数等于正、负穿越次数之差。()对数频率稳定判据Bode图上的对数频率稳定判据可以表述为:闭环系统稳定的充要条件是当ω 从 → ∞ 变化时在所有L (ω ) >  dB的频段内相频特性穿越线的次数为pp是S右半平面的开环极点个数。记为正穿越次数  负穿越次数 = p  。)系统的相对稳定性利用Nyquist判据不仅可以根据系统的开环频率特性来判别闭环系统稳定性而且还可以定量地反映闭环系统的相对稳定性即稳定的程度。相对稳定性可通过开环频率特性曲线对(j )点的靠近程度定量表示包括相位裕度 γ和幅值裕度Kg。()相位裕度(或相角裕度)γ在频率特性曲线上 时所对应的角频率ωC称为截止频率。截止频率ωC使系统达到临界状态尚需附加的滞后相角量称为相位裕度γ定义为()()幅值裕度(或增益裕度)Kg若系统开环频率特性(相频)曲线与线的交界频率为ωg则把开环频率特性在ωg处的幅值的倒数定义为幅值裕度即()从工程实践角度考虑为了使系统具有满意的稳定裕量即相对稳定性通常要求:γ=~KgdB>dB或Kg>图相角裕度与幅值裕度的表示()例题例已知单位反馈系统的开环传递函为试求系统的相位裕度和幅值裕度分析K增大对稳定性的影响。解:先画系统Bode图如图所示=K其中ωc=图例系统的Bode图w�w���w���)�(�w�j�)�(�w�L����������������g��g�g�w�����������dB���c�����������c���������K������������<�>�K�g��可得由有得即由图可知:K值增大仅使原来的幅频特性垂直上移而相频特性一点都没改变但幅频特性的垂直上移将使ωc↑→ωc导致γ<造成闭环系统不稳定。 系统Bode图的三频段分析与闭环特性)低频段低频段通常是指渐近对数幅频特性曲线在第一个转折频率以前的区段此区段的特性完全由积分环节和开环增益决定而积分环节的数目和开环增益的大小则决定了闭环系统的稳态精度。)中频段中频段是指开环对数幅频曲线在截止频率ωc(分贝值)附近的区段。中频段的特性反映了闭环系统动态响应的平稳性和快速性。)高频段高频段是指对数幅值曲线在中频段以后的区段。由于高频段远离ωc而且具有负的分贝值因此高频段主要反映系统的抗高频干扰能力。)系统的闭环频率特性()闭环频率特性及其特征量()等M圆图和等N圆图()尼柯尔斯图(对数幅相图)图高阶I型系统开环对数渐进幅频特性曲线的合理分布图系统的闭环频率特性rs�dB������������G�lg������������w�dB���T�c�w����c�w�c�w�)���(��c�w��>��w�)�(�w�M�����b�w�r�w�r�M�����图Nichols图线w�()�������������������������������������������������������������������������������dB�L����MdB�=����=�a�������������������������()��()��()��()��()��������������������������������()������系统频域指标与时域指标之间的关系衡量控制系统性能好坏的性能指标通常可分为频域指标和时域指标两大类。时域指标包括稳态和暂态指标两种稳态指标主要有稳态误差ess、无差度v和开环增益K暂态指标主要包括上升时间tr、峰值时间tp、超调量Mp、调节时间ts和振荡次数N等。频域指标则分为开环和闭环指标两种开环指标有相位裕度γ、幅值裕度Kg和截止频率ωc闭环指标主要包括谐振峰值Mr、谐振频率ωr和带宽频率ωb。)一、二阶系统频域指标与时域指标的关系  ()一阶系统阶跃响应时域指标为()二阶系统)高阶系统性能指标间的关系离散信号与系统控制的频域分析 周期信号的离散时间傅里叶级数(DTFS)非周期信号的离散时间傅里叶变换(DTFT)周期序列的离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换(DFT) 快速傅里叶变换(FFT)简介离散系统的频域分析 周期信号的离散时间傅里叶级数(DTFS)这时可对式()进行如下处理:由、、且、可得非周期信号的离散时间傅里叶变换(DTFT)周期序列的离散时间傅里叶变换对于离散时间周期信号有()  离散时间傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换(DFT)我们已经学习了四种信号的傅里叶变换()连续时间周期信号的傅里叶级数其傅里叶系数在频域上是离散的、非周期的()连续时间非周期信号的傅里叶变换其频谱在频域上是连续的、非周期的()离散时间非周期信号的傅里叶变换其频谱在频域是连续的、周期的()离散时间周期信号的离散傅里叶级数系数在频域上是离散的、周期的。实际上离散时间周期序列只有一个周期内的有限个序列值是有意义的而且周期序列的离散傅里叶级数表示式也是有限长序列因此对于离散时间周期序列无论是在时域或频域都能够适应数字计算机的计算要求。 快速傅里叶变换(FFT)简介DFT是离散信号分析与处理中的一种重要变换。计算一个N点的DFT无论是求正变换还是求反变换一般都需要进行次复数乘法运算和N*(N)次复数加法运算由于DFT的计算工作量太大使得DFT的应用严重受阻直到年出现了FFT快速算法以后DFT的实际应用才遍及了各个科学技术领域。当N=时相应的蝶形运算如图所示。图N= 时的一次蝶形运算流程F()�f()�F()�F()�W�W��F()�F()�F()�F()�F()�F()��F()�F()�F()�F()�F()�F()�F()��W��W��N��DFT�N��DFT�f()�f()�f()�f()�f()�f()�f()�  离散系统的频域分析连续信号的傅里叶变换不仅可以用来分析信号的频谱而且还可以利用它来求解系统的响应对系统的各种特性进行频域分析类似地离散信号的傅里叶变换也能为离散信号与系统的分析带来了极大的方便。

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第6章 信号与系统控制的频域分析法

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