复合辛普森公式
实验5 复合辛普森公式
李涛 201226100108 计自1201
一、实验目的
48-42101，cosxdx，使误差不超过(注意所给积分特点，, 用复合辛普森公式计算积分,0
做出相应的处理后再计算)
二、实验步骤
1.算法原理
复合辛普森原理:
将区间划分为n等分，在每个子区间上采用辛普森公式，若记,,x,x[a,b]kk，1
1则得 x,x，h,k，12k2
n,1bI,f(x)dx,f(x)dx, ,,ak,0
n,1h,[f(x)，4f(x)，f(x)]，R(f)., ,kkkn，126k,0
记
n,1hS,[f(x)，4f(x)，f(x)], ,nkk，12k6k,0
n,1n,1h,[f(a)，4f(x)，2f(x)，f(b)],, ,,k，12k6k,0k,1称为复合辛普森求积公式，其余项为
n,1hh4(4)R(f),I,S,,()f(,),,,(x,x)., ,nnkkkk，11802k,0
4于是当时，与复合梯形公式相似有 f(x),C[a,b]
b,ah4(4) , R(f),I,S,,()f(,),,,(a,b)nn1802
4易知误差阶为，收敛性是显然的，实际上，只要则可得到收敛性，即 hf(x),C[a,b]
b, limS,f(x)dxn,an,,
此外，由于中求积公系数均为正数，故知辛普森公式计算稳定。 Sn
2.算法步骤
复合辛普森:
首先将区间划分为n等分，在每个子区间上采用辛普森公式，若记,,x,x[a,b]kk，1
1则得 x,x，h,k，12k2
n,1n,1n,1hhS,[f(x)，4f(x)，f(x)],[f(a)，4f(x)，2f(x)，f(b)] ,,,nkk，12kk，12k66k,0k,0k,1
算法过程:
这里将辛普森公式写为Sn()函数，然后在Solve()函数里依次计算S1,S2,S4,S6.......当相
邻的精度小于eps时退出循环，则S2n保存结果。
三.程序代码
#include
#include
#define eps 1e-6
using namespace std;
double f(double x){
return sqrt(1+cos(x)*cos(x)); }//被积函数
double Sn(double a,double b,double n){
double h=(a+b)/(2*n);
double sum=0;
for(int k=1;k<=n;k++){
sum+=2*f(a+(2*k-1)*h);
sum+=f(a+2*k*h);
}
sum=(sum*2+f(a)-f(b))*h/3;
return sum;
}//辛普森公式
double Solve(double a,double b){
int i=1;
double S1n=Sn(a,b,i);
double S2n=Sn(a,b,2*i);
while(fabs(S1n-S2n)>eps){
cout<<"n = "<
分析
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, 当eps设为10^-4时计算结果为58.4708 [错的] , 当eps设为10^-5时计算结果为58.4706 [错的] , 当eps设为10^-6时计算结果为58.4705 [考虑假收敛后结果] 此外根据第三次计算结果可以发现当n=42时已经满足10^-4的精度要求，所以第一次和第二次计算都不能达到精度要求。
五、心得体会
通过本次试验，我理解复合辛普森公式的方法原理，并且能利用复合辛普森公式计算积分，在数值分析的理论知识上又有了较大的收获，在进行编程的过程中，我已经基本熟练了数值算法的程序过程，能独立的在有限的时间内完成，这对以后的学习会有很大的帮助。
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