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考研结构力学必看精华总结第14章 结构动力计算续论.ppt

考研结构力学必看精华总结第14章 结构动力计算续论

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2019-06-22 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《考研结构力学必看精华总结第14章 结构动力计算续论ppt》,可适用于综合领域

第章结构动力计算绪论§多自由度体系的自由振动§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵§多自由度体系的强迫振动§无限自由度体系的自由振动§无限自由度体系的自由振动的常微分方程求解器解法§近似法求频率§矩阵位移法求刚架的自振频率§用求解器求解自振频率和振型§小结§多自由度体系的自由振动刚度法振动方程为§多自由度体系自由振动设振动方程解的形式为将上式代入振动方程得若得到非零解则展开形式为(a)§多自由度体系自由振动解行列式得到n个体系的自振频率令由此可求出第i振型(b)式(b)是一组齐次方程只能确定主振型的形状但不能位移地确定它的振幅。§多自由度体系自由振动振型的标准化■规定某个元素的值如第一个元素等于或者最大的一个元素等于■规定主振型满足下式§多自由度体系自由振动例试求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的变形忽略不计层间刚度系数和质量如图所示。解()求自振频率§多自由度体系自由振动刚度矩阵和质量矩阵分别为频率方程为§多自由度体系自由振动展开得用试算法求得方程的三个根为因此三个自振频率为进一步求得§多自由度体系自由振动()求振型令Y=解得§多自由度体系自由振动令Y=解得§多自由度体系自由振动令Y=解得将代入振型方程得§多自由度体系自由振动§多自由度体系自由振动柔度法刚度法振动方程为故频率方程为§多自由度体系自由振动展开为相应的振型方程为§多自由度体系自由振动例-试用柔度法重做例-。解()求自振频率由各层的刚度系数得到各层柔度系数为§多自由度体系自由振动§多自由度体系自由振动柔度矩阵为频率方程为§多自由度体系自由振动展开得解得因此三个自振频率为()求主振型§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵主振型的正交性任选体系的两个振型体系的质量矩阵为§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵另一种证明方法令振型方程中的i分别等于k、l得将(a)式两边分别左乘Y(l)T、(b)式两边分别左乘Y(k)T得考虑KT=KMT=M将(d)式两边转置得§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵式(c)式(d)得第一个正交关系将第一个正交关系代入(c)得对刚度也正交对于k=l定义第k振型的广义质量第k振型的广义刚度§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵以Y(k)T前乘下式得即由此得由广义刚度和质量求自振频率§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵主振型正交关系的应用■判断主振型的形状特点第二振型分为两个区各居结构的两侧只有这样才能满足正交条件第三振型分为三区交替位于结构的不同侧。这样才能符合与第一、第二主振型都彼此正交的条件。§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵■确定位移展开公式中的系数任意一个位移向量都可按主振型展开用Y(j)TM前乘上式两边由正交性得由此求得系数为§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵例-验算例-中所求得的主振型的正交性求出每个主振型相应的广义质量和广义刚度并求频率解由例-得知刚度矩阵和质量矩阵分别为三个主振型分别为§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵()验证对质量矩阵的正交性同理§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵()验证对刚度矩阵的正交性同理§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵()求广义质量同理§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵()求广义刚度同理§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵()求频率§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵主振型矩阵主振型向量组成的方阵转置矩阵为§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵故§多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵同理由振型的正交性可知非对角线上的元素等于零主对角线上的元素为各振型的广义质量。所以§多自由度体系的强迫振动n个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动振动方程为简谐荷载若§多自由度体系的强迫振动在平稳阶段各质点也作简谐振动即代入振动方程整理后得令若D≠则§多自由度体系的强迫振动讨论故,当荷载频率与其中任意一个自振频率相等时,都可能出现共振现象因此对n个自由度体系存在n个共振区。§多自由度体系的强迫振动多自由度体系在一般荷载下的强迫振动振动方程将位移向量按振型分解代入振动方程并前乘YT令FP=YTFP(t)广义荷载向量振动方程变为§多自由度体系的强迫振动由于M*、K*都是对角阵方程已经解偶即同理令则振型分解法由杜哈梅积分得初始条件为§多自由度体系的强迫振动代入初始条件得§多自由度体系的强迫振动例已知结构的频率和振型试求图示结构在突加荷载FP作用下的位移和弯矩。解()主振型矩阵()建立坐标变化关系§多自由度体系的强迫振动()求广义质量()求广义荷载§多自由度体系的强迫振动()求正则坐标§多自由度体系的强迫振动()求质点位移§多自由度体系的强迫振动质点的位移时程曲线实线:虚线:§多自由度体系的强迫振动()求弯矩振动过程中质点所受的荷载与惯性力之和为截面的弯矩为§多自由度体系的强迫振动截面弯矩时程曲线实线:虚线:只考虑第一振型§多自由度体系的强迫振动()讨论■由于第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值因此不能简单地把两分量的最大值相加。■第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响要小的多。■阶次愈高的振型分量的影响愈小通常可以计算前~个低阶振型的影响就可以得到满意的结果。§无限自由度体系的自由振动■按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用范围和精确程度。■将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算是不完整的。■对某种类型的结构直接按无限自由度体系计算也有方便之处。■在无限自由度体系的动力计算中时间和位置坐标都是独立变量。振动方程是偏微分方程。§无限自由度体系的自由振动等截面梁弯曲时的静力平衡方程为在自由振动时唯一的荷载就是惯性力即因此等截面梁弯曲时的自由振动方程为§无限自由度体系的自由振动用分离变量法求解令代入振动方程并整理得左边是x的函数右边是t的函数。因此两边都与x、t无关。故得两个常微分方程§无限自由度体系的自由振动两个方程的解分别为则振动方程的解为CC由边界条件确定§无限自由度体系的自由振动例试求等截面简支梁的自振频率和主振型。右边:振幅曲线简化为解:边界条件引入振幅曲线左边:得:令系数行列式=得故§无限自由度体系的自由振动这样就得到了无限多个自振频率和对应的振型曲线无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法等截面两弯曲时的自由振动偏微分方程为n=:表示下段结果n=:表示上段结果。令代入振动方程得边界条件顶部(x=):弯矩=、剪力=§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法中部(x=H):水平位移、转角、弯矩、剪力都连续底部(x=H):水平位移=、转角=§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法将特征值问题转化为标准的非线性ODE问题首先利用区域映射技巧作坐标变换于是有§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法这个变化将两段区间影射为标准的单位区间微分方程变为边界条件变为顶部(x=ξ=):自由中部(x=Hξ=):连续底部(x=Hξ=):固定微分方程已变成常微分方程组特征值问题§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法利用平凡的ODE技巧和等价的ODE技巧将其转化为标准的非线性ODE问题建议平凡的ODE即取振型归一化条件为分段考虑并利用坐标变换有利用等价ODE技巧将该积分转化为标准的ODE问题这样就形成了一个标准的非线性常微分方程组可直接利用标准的ODE求解器的非线性功能求解。§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法利用COLSYS求解的计算步骤如下:设要求解前N个特征值()设初始解()对第k(k=…M≥N振型求正交化的初始解其中§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法()用COLSYS求解如下的一个一阶线性ODE问题然后求出()回到第()步作第k步求解。§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法例图示变截面柱计算数据如下:(下)段:(上)段:其中s为一比例系数。计算s=,,三种情况。解:前个自振频率在下表中给出相应的振型如图所示。§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法例的自振频率is§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法§无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法计算结果表明:()当上下段的质量比和刚度比变小(即s变小)时基本频率变大但高阶频率不一定如此。()在三种情况中s=时的振型在顶部位移很大(注意上下部的位移比)通常这种现象称为鞭梢效应当s更小时鞭梢效应将更严重。§近似法求自振频率能量法求第一频率瑞利(Rayleigh)法一个无阻尼的弹性体系自由振动时在任一时刻的总能量(应变能与动能之和)保持不变。理论基础:能量守恒原理例具有分布质量的等截面梁自由振动时位移可表示为梁的弯曲应变能为§近似法求自振频率位移表示式对时间微分得速度表达式为最大值为最大值为梁的动能为§近似法求自振频率位移和应变能为零体系的总能量为Tmax速度和动能为零体系的总能量为Vεmax由能量守恒原理可得由此得到计算频率的公式§近似法求自振频率若梁上还有集中质量mi计算公式为如果Y(x)是第i振型则得到的就是第i频率的精确解■取某个静荷载下的位移曲线作为Y(x)。这时应变能可用荷载作的功来代替即§近似法求自振频率频率计算公式为:■取结构自重的变形曲线作为Y(x)。§近似法求自振频率例试求等截面简支梁的第一频率解()将抛物线作为Y(x)。§近似法求自振频率()将均布荷载作用下的位移曲线作为Y(x)。§近似法求自振频率()将正弦曲线作为Y(x)。§近似法求自振频率()讨论。正弦曲线是第一主振型的精确解因此由它求得的是第一频率的精确解。根据均布荷载作用下的挠度曲线求得的结果具有很高的精度。§近似法求自振频率例试求图所示楔形悬臂梁的自振频率。设梁的截面宽度b=截面高度为直线变化:解单位长度质量截面惯性矩§近似法求自振频率设位移形状函数为代入频率计算公式得精确解为误差为§近似法求自振频率能量法求最初几个频率瑞利里兹(RayleighRitz)法理论基础:哈密顿(WRHamilton)原理在所有可能的运动状态中,精确解使得哈密顿泛函Y(x)是满足边界条件的任意可能位移函数§近似法求自振频率瑞利里兹(RayleighRitz)法的具体步骤:()将体系的自由度折减为n个自由度,位移函数表示为a:待定系数。()将位移函数代入哈密顿泛函得令§近似法求自振频率得应用驻值条件得写成矩阵形式令系数行列式为零即可求得最初几个自振频率的近似值。§近似法求自振频率例试求等截面悬臂梁的最初几个频率。设可能位移为解其中()第一次近似得驻值条件为令得§近似法求自振频率()第二次近似解得令则第一、二频率的近似值(误差为)(误差为)这里第一频率的精度已大为提高。§近似法求自振频率集中质量法例试用集中质量法去等截面简支梁的自振频率。解§近似法求自振频率§近似法求自振频率例试求框架的最低频率。解读者可自行验证对称振型的频率大于反对称振型的频率§矩阵位移法求刚架的自振频率单元的泛函将刚架分成有限个单元任一单元的哈密顿泛函为刚架的泛函根据刚架泛函为驻值的条件求Δ的非零解得到刚架频率可用单元的结点位移Δ表示单元的结点位移幅值为§矩阵位移法求刚架的自振频率杆件的位移幅值函数可表示为形状函数列阵§矩阵位移法求刚架的自振频率其中单元的刚度矩阵单元的质量矩阵§矩阵位移法求刚架的自振频率刚架的泛函对单元泛函叠加得将EP改用刚架的结点位移幅值Δ来表示。§矩阵位移法求刚架的自振频率驻值条件和频率方程应用驻值条件得频率方程为§矩阵位移法求刚架的自振频率频率方程为精确解为误差为例试求梁的自振频率。解()对称振型取半边结构作为一个单元只有一个待定的结点位移。§矩阵位移法求刚架的自振频率将半边结构分为两个单元待定的结点位移幅值为驻值条件为§矩阵位移法求刚架的自振频率令系数行列式为零求得三个频率及其误差如下:§矩阵位移法求刚架的自振频率()反对称振型取半边结构分成两个单元得另外三个频率§矩阵位移法求刚架的自振频率例试用矩阵位移法从做例解总刚度矩阵及总质量矩阵待定的结点位移幅值为§矩阵位移法求刚架的自振频率驻值条件为对称振动时得求得反对称振动时得其中§矩阵位移法求刚架的自振频率频率方程为求得按从大到小的顺序重新排列§用求解器求解自振频率与振型■对一般平面结构可以给出振型和频率■对于无限自由度体系可以给出全部精确解■解出的振型可以用静态、动态两种方式显示。§小结■讨论了多自由度体系的振动问题深化了主振型、主振型的正交性、主振型矩阵的概念■对于一般荷载介绍了主振型叠加法将多自由度体系的振动问题转化为单自由度体系的计算问题是这个方法的核心■近似计算方法中能量法是计算自振频率的一种有效的近似方法。

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