[讲稿]三角函数 周期 高中数学
(1)如果所求周期函数可化为y=Asin()、y=Acos()、,x,,,x,,,,tg()形成(其中A、、为常数,且A0、,0、R),,x,,,,,,,,
,,,22则可知道它们的周期分别是:、、。,,,
例4:求函数y=1-sinx+cosx的周期 3
13例5:求:y=2(sinx-cos3x)-1 22
,3x)的周期 例6:求y=tan(1+5
(2)如果f(x)是二次或高次的形式的周期函数,可以把它化成sinx、cosx、tanx的形式,再确定它的周期。,,,
例7:求f(x)=sinx?cosx的周期
2例8:求f(x)=sinx的周期
223例10:函数y=3sinx-2sinx?cosx+5cosx的周期。
例1、求下列函数的周期。
1,(1) (2) (3)f(x),,2cos(,x,)f(x),cos2xf(x),|sinx|24
,2k例2、若函数的最小正周期为,求正数的值。f(x),2sin(kx,),35
例3、若函数的定义域为R,且对一切实数,都有,xf(x)f(,x),f(x)
且,试证明为周期函数,并求出它的一个周期。f(2,x),f(2,x)f(x)
,I,5sin(100 t,)I例4、电流强度随时间变化的关系式是,。,t,[0,,,)t3
I(1)求电流强度的周期;
11t,0I(2)当,,(单位:)时,求电流强度。 s600150
,巩固练习 ,巩固练习
3y,sin(,,x)1、函数是( ) 2
A、周期为,的奇函数 B、周期为,的偶函数
2,2,C、周期为的奇函数 D、周期为的偶函数
2,2、如图是周期为的函数在上的图象,请画出该函数在上的图象。f(x)[0,2,][2,,4,] y
2, , x O
,课堂小结 ,课堂小结
函数的周期性的定义,最小正周期的定义,简单三角函数的周期的求法。
,课后训练 ,课后训练
班级:高一( )班 姓名__________
一、基础
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1、下列命题中,正确的是 ( )
A、是周期函数 B、是周期函数f(x),sinx,xg(x),3
2,C、是周期函数 D、的最小正周期为h(x),xcosxu(x),sin2x
,2、函数的最小正周期是 ( )f(x),cos(2 x,),6
,1A、 B、 C、 D、1,22
33、函数是定义在上的周期为的奇函数,且,则________。Rf(x)f(1),2f(5),
,,4、已知函数的最小正周期为,则________。y,2sin( x,),,,33
,k,5、函数y,2sin(kx,)的周期为T,,则正整数________。T,(1,3)3
p6、若存在常数f(px),f(px,),使得函数满足,,p,0f(x)(x,R)2
则的一个正周期为________。 f(x)
二、提高题 7、求下列函数的周期:
x1,y,cosxy,3sin(,)(1) (2) 224
11,,y,2sin(x,),cos(x,),7(3) (4)y,|sin2x|2326
8、已知,求证:是周期函数,并求出它的一个周期。f(x,a),,f(x) (a,0)f(x)
三、能力题
9、证明:若函数满足常数,则a,R)y,f(x),x,Rf(x),f(x,a),f(x,a) (f(x),
6a是周期函数,且是它的一个周期。
k,f(x),5sin(x,)10、已知函数, 33
3,kk1(1)若周期为,求的值; (2)若周期不大于,求自然数的最小值。
三角函数最值问题的几种常见解法
三角函数是重要的数学运算工具,三角函数最值问题是三角函数中的基本内容,也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点,它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径,同求解其他函数最值一样,一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等),另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法:
一 配方法
若函数
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达式中只含有正弦函数或余弦函数,切它们次数是2时,一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
2例1 函数的最小值为( ). y,,sinx,3cosx,3
1A( 2 B . 0 C . , D . 6 4
222[分析]本题可通过
公式
小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载
sinx,1,cosx将函数表达式化为,y,cosx,3cosx,2
2因含有cosx的二次式,可换元,令cosx=t,则配方,得,1,t,1,y,t,3t,2,
231,,, 当t=1时,即cosx=1时,,选B.y,0?,1,t,1,?y,t,,,,min24,,
例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值
[分 析] :观察三角函数名和角,其中一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和倍角,所以先化简,使三角函数的名和角达到统一。
二 引入辅助角法
132,,y,cosx,sinx,cosx,1x,R例3已知函数当函数y取得最大值时,求自变22
量x的集合。
解:
,,fx,2sinx(sinx,cosx)例5 (2003年高考题)已知函数,求函数f(x)的最小正周期和
最大值。
三角函数最值与值域专题 三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一:利用这一有界性求最值。 sinx,1cosx,1,
sinx,1y,例1:求函数的值域。 2,sinx
sinx,121y,y,解:由变形为,知,则有,(1)sin21yxy,,,y,,1sinx,2,sinxy,1
221y,21y,222|sin|||1x,,,,,,y0,,,,,,||1(21)(1)yyy,13y,1
2,则此函数的值域是 y,,[,0]
3,7例2,若函数的最大值是1,最小值是,求a,b yaxb,,cos
aababab,,,,,,,,,,,0,1,743,
aababab,,,,,,,,,,,,0,1,74,3
1cos,x练习:1,求函数的值域 y,(,,+),,,,3][1:3cos,x
1[,1,]的定义域为[a,b],值域为,则b-a的最大值和最小值之和为b2,函数y,sinx2
,,482,4,A( B( C( D(33
22类型二:型。此类型通常可以可化为求y,asinx,bcosxyaxbxabx,,,,,sincos(),其最值(或值域)。
,yxxx,,,3sin4cos,(0,)例1:求函数的最值。 2
34,,,,,,,,,yxxx3sin4cos5sin(),cos,sin55解:
,,,,,xy(,),(3,5],,,2
,,x,Ry,sin(x,),sin(x,)2,求函数()的最值。 63
,,,,,y,sin(x,),cos(x,),2sin[(x,),],2sin(x,)解法:,?函数的最666412
2,2大值为,最小值为。
1156练习:1,函数y=3sin(x+20?) +5sin(x+80?)的最大值是: ( c ) A、B、C、7 D、822 ,,,,2,已知函数,,直线x,t(t?)与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、f(x),sin2xg(x),cos(2x,)0,,,62,,
3N两点,则|MN|的最大值是 (
22类型三:型。此类型可化为在区y,asinx,bsinx,c(a,0)y,at,bt,c(a,0)
间上的最值问题。 [,1,1]
2x,R例1:求函数()的最值 y,cosx,3sinx,1
3922解: 1sin3sin1(sin)y,,x,x,,,x,,24
95,23?函数的最大值为,最小值为 44
22练习:函数的值是d f(x),sinx,2cosx在区间[,,,,]上的最大值为1,则,3
,,,A(0 B(C(D(—
322
2类型四:型。 y,asinx,bsinx,cosx,c(a,0)
7,,22f(x),53cosx,3sinx,4sinxcosx(,x,)例:求函数的最值,并求取得424
最值时x的值。
1,cos2x1,cos2xf(x),53,3,2sin2x解: 22
,23cos3x,2sin2x,33
,,4cos(2x,),33 6
23217,,,,,,2,x,,x,,,,cos(2,,),?x, ?,?424364262
7,33,22x,?的最小值为,此时,无最大值。fx()fx()24
321y练习:已知:求的最大值及此时x的集合(yxxxxR,,,,,,,sincos12sin2
(
1,y=asinx+bcosx型的函数
特点是含有正余弦函数,并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转
b22tan,,ab,化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可,y=sin(x+φ),其中 a
,2 例1已知函数f(x)=2cosxsin(x+),sinx+sinxcosx 33
(1)求函数f(x)的最小正周期,
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值,
,,7-11,,(3)若当x?,,,时,f(x)的反函数为f(x),求f(1)的值.1212
,23解,(1)f(x)=2cosxsin(x+),sinx+sinxcosx 3
,,23=2cosx(sinxcos+cosxsin),sinx+sinxcosx 33
,3=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+) 3
?f(x)的最小正周期T=π
,,,5(2)当2x+=2kπ,,即x=kπ, (k?Z)时,f(x)取得最小值,2.1232
7,,,(3)令2sin(2x+)=1,又x?,,, ,223
,,,,,35?2x+?,,,,?2x+=,则 26333
,,-1,x=,故f(1)= . 44
22 2(y=asinx+bsinxcosx+cosx型的函数。
特点是含有sinx, cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解。
22 例2(求y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值,并求出y取最小值时的x的集合。
22222解:y=sinx+2sinxcosx+3cosx=(sinx+cosx)+sin2x+2cosx=1+sin2x+1+cos2x
,2 =2+sin(2x+) 4
,32 当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π, k?Z}.48
2 3(y=asinx+bcosx+c型的函数
22 特点是含有sinx, cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sinx+cosx=1,使函数式
只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解。
,532例3 是否存在实数a,使得函数y=sinx+a〃cosx+a,在闭区间,0,,上的最大值822
是1,若存在,求出对应的a值,若不存在,试说明理由.
25351aa22.:1coscos(cos).解yxaxaxa,,,,,,,,,,,822482
,当时0,0cos1.,,,,xx2
a53若时即则当时,,,,,,,1,2,cos1,1axyaamax282
20,,,a2(),舍去 13
2aaa51若即则当时01,02,cos,1,,,,,,,,,axyamax22482
3,,,,,aa或舍去40().2
a5112若即则当时,,,0,0,cos0,axy,,,,,,aa1()舍去max2825
3综合上述知,存在符合题设 a,2