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步步高数学二轮复习第1讲三角函数的图象与性质.ppt

步步高数学二轮复习第1讲三角函数的图象与性质

精品课件库
2019-06-15 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《步步高数学二轮复习第1讲三角函数的图象与性质ppt》,可适用于综合领域

专题二 三角函数、解三角形、平面向量第讲 三角函数的图象与性质【高考真题感悟】(·北京)已知函数f(x)=cosxsineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))-()求f(x)的最小正周期()求f(x)在区间eqblcrc(avsalco(-f(π,)f(π,)))上的最大值和最小值.解 ()因为f(x)=cosxsineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))-=cosxeqblc(rc)(avsalco(f(r(),)sinx+f(,)cosx))-=eqr()sinx+cosx-=eqr()sinx+cosx=sineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))所以f(x)的最小正周期为π()因为-eqf(π,)≤x≤eqf(π,)所以-eqf(π,)≤x+eqf(π,)≤eqf(π,)于是当x+eqf(π,)=eqf(π,)即x=eqf(π,)时f(x)取得最大值当x+eqf(π,)=-eqf(π,)即x=-eqf(π,)时f(x)取得最小值-考题分析 本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式化简求解三角函数的解析式并求三角函数在给定区间上的值域.考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求解能力.易错提醒 ()对三角恒等变换公式掌握不牢化简方向不明确.()求f(x)在给定区间上的值域易忽视对函数单调性的讨论.主干知识梳理.任意角的三角函数()设α是一个任意角它的终边与单位圆交于点P(xy)那么sinα=ycosα=xtanα=eqf(y,x)()各象限角的三角函数值的符号:一全正二正弦三正切四余弦..诱导公式公式一sin(kπ+α)=sinαcos(kπ+α)=cosαtan(kπ+α)=tanα(k∈Z)公式二sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα公式三sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式四sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα公式五sin(eqf(π,)-α)=cosαcos(eqf(π,)-α)=sinα公式六sin(eqf(π,)+α)=cosαcos(eqf(π,)+α)=-sinα同角三角函数基本关系式sinα+cosα=tanα=eqf(sinα,cosα)(cosα≠)..正弦、余弦、正切函数的性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x≠eqf(π,)+kπk∈Z}值域-,-,R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期πππ单调性在-eqf(π,)+kπeqf(π,)+kπ(k∈Z)上单调递增在eqf(π,)+kπeqf(π,)+kπ(k∈Z)上单调递减在-π+kπkπ(k∈Z)上单调递增在kππ+kπ(k∈Z)上单调递减在(-eqf(π,)+kπeqf(π,)+kπ)(k∈Z)上单调递增最值当x=eqf(π,)+kπk∈Z时y取得最大值当x=-eqf(π,)+kπk∈Z时y取得最小值-当x=kπk∈Z时y取得最大值当x=π+kπk∈Z时y取得最小值-无最值对称性对称中心:(kπ)(k∈Z)对称轴:x=eqf(π,)+kπ(k∈Z)对称中心:(eqf(π,)+kπ)(k∈Z)对称轴:x=kπ(k∈Z)对称中心:(eqf(kπ,))(k∈Z).函数y=Asin(ωx+φ)的图象()“五点法”作图设z=ωx+φ令z=eqf(π,)πeqf(π,)π求出x的值与相应的y的值描点、连线可得.()图象变换y=sinxeqo(→,sup(向左(φ>)或向右(φ<)),sdo(平移|φ|个单位))y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)eqo(→,sup(纵坐标变为原来的A(A>)倍),sdo(横坐标不变))y=Asin(ωx+φ).横坐标变为原来的(ω>)倍纵坐标不变热点分类突破题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例 已知点P(-,)是角α终边上的一点.求:eqf(sinblc(rc)(avsalco(α+f(π,)))·sinblc(rc)(avsalco(f(π,)-α))·tan(π-α)tan(π-α),cosblc(rc)(avsalco(f(π,)-α))·cosblc(rc)(avsalco(f(π,)+α)))的值.解 ∵P(-,)是角α终边上的一点∴tanα=-eqf(,)∴原式=eqf((-cosα)·(-cosα)·tanα(-tanα),sinα·(-sinα))=tanα=-eqf(,)探究提高在应用诱导公式时需要先将角变形有一定技巧如化eqf(,)π+α为π+(eqf(π,)+α)或π-eqblc(rc)(avsalco(f(π,)-α))变式训练已知点P(sineqf(π,)coseqf(π,))落在角θ的终边上且θ∈,π)则θ的值为.解析 tanθ=eqf(cosf(,)π,sinf(,)π)=eqf(-cosf(π,),sinf(π,))=-又sineqf(π,)>coseqf(π,)<∴θ为第四象限角且θ∈,π)∴θ=eqf(π,)eqf(π,)题型二 三角函数图象变换及函数y=Asin(ωx+φ)的解析式例函数y=Asin(ωx+φ)(A>ω>|φ|<eqf(π,))的一段图象(如图所示)求其解析式.思维启迪先由图象求出函数的周期从而求得ω的值再由关键点求φ最后将(eqr())代入求A的值.解 设函数的周期为T则eqf(,)T=eqf(π,)-eqf(π,)=eqf(,)π∴T=π∴ω=eqf(π,T)=又∵×eqf(π,)+φ=kπ+eqf(π,)(k∈Z)∴φ=kπ+eqf(π,)(k∈Z)又∵|φ|<eqf(π,)∴φ=eqf(π,)∴函数解析式为y=Asin(x+eqf(π,)).又图象过点(eqr())∴Asineqf(π,)=eqr()∴eqf(r(),)A=eqr()∴A=∴所求函数的解析式为y=sin(x+eqf(π,)).探究提高()已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>ω>)的图象求解析式时常采用待定系数法由图中的最高点、最低点或特殊点求A由函数的周期确定ω由图象上的关键点确定φ()求函数的周期时注意以下规律:相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为eqf(,)个周期.变式训练()(·天津改编)右图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间-eqf(π,)eqf(π,)上的图象.为了得到这个函数的图象只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变.解析 由图象可知A=T=eqf(π,)-(-eqf(π,))=π∴ω=eqf(π,T)=∵图象过点(eqf(π,))∴sin(eqf(π,)+φ)=∴eqf(π,)+φ=π+kπk∈Z∴φ=eqf(π,)+kπk∈Z∴y=sin(x+eqf(π,)+kπ)=sin(x+eqf(π,)).故将函数y=sinx先向左平移eqf(π,)个单位长度后再把所得各点的横坐标缩短到原来的eqf(,)倍纵坐标不变可得原函数的图象.答案 eqf(π,) eqf(,)()(·江苏)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(Aωφ为常数A>ω>)的部分图象如图所示则f()的值是.解析 由题图知A=eqr()eqf(T,)=eqf(π,)-eqf(π,)=eqf(π,)∴T=πω=eqf(π,π)=∴×eqf(π,)+φ=kπ+π∴φ=kπ+eqf(π,)令k=得φ=eqf(π,)∴函数解析式为f(x)=eqr()sineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))∴f()=eqr()sineqf(π,)=eqf(r(),)eqf(r(),)题型三 三角函数图象与性质的综合应用例 已知函数f(x)=acosx+bsinxcosx-eqf(r(),)且f()=eqf(r(),)feqblc(rc)(avsalco(f(π,)))=eqf(,)()求f(x)的最小正周期()求f(x)的单调递减区间()函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称?解 ()由f()=eqf(r(),)得a-eqf(r(),)=eqf(r(),)故a=eqf(r(),)由feqblc(rc)(avsalco(f(π,)))=eqf(,)得eqf(r(),)+eqf(b,)-eqf(r(),)=eqf(,)所以b=可得f(x)=eqr()cosx+sinxcosx-eqf(r(),)=eqf(r(),)cosx+eqf(,)sinx=sineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))所以函数f(x)的最小正周期T=eqf(π,)=π()由eqf(π,)+kπ≤x+eqf(π,)≤eqf(π,)+kπk∈Z得eqf(π,)+kπ≤x≤eqf(π,)+kπk∈Z所以f(x)的单调递减区间是eqblcrc(avsalco(f(π,)+kπf(π,)+kπ))(k∈Z).()因为f(x)=sineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))所以由奇函数y=sinx的图象向左平移eqf(π,)个单位即得到y=f(x)的图象故函数f(x)的图象向右平移eqf(π,)+eqf(k,)π(k∈Z)个单位或向左平移eqf(π,)+eqf(k,)π(k∈Z)个单位后对应的函数即成为奇函数图象关于原点对称.探究提高()求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性往往是在定义域内先化简三角函数式尽量化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式然后再求解.()对于形如y=asinωx+bcosωx型的三角函数要通过引入辅助角化为y=eqr(a+b)sin(ωx+φ)(cosφ=eqf(a,r(a+b))sinφ=eqf(b,r(a+b)))的形式来求.变式训练已知函数f(x)=eqr()sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(<φ<πω>)为偶函数且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为eqf(π,)()求feqblc(rc)(avsalco(f(π,)))的值()将函数y=f(x)的图象向右平移eqf(π,)个单位后再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得到函数y=g(x)的图象求g(x)的单调递减区间.解 ()f(x)=eqr()sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=eqblcrc(avsalco(f(r(),)sin(ωx+φ)-f(,)cos(ωx+φ)))=sineqblc(rc)(avsalco(ωx+φ-f(π,)))因为f(x)为偶函数所以对x∈Rf(-x)=f(x)恒成立因此sineqblc(rc)(avsalco(-ωx+φ-f(π,)))=sineqblc(rc)(avsalco(ωx+φ-f(π,)))即-sinωxcoseqblc(rc)(avsalco(φ-f(π,)))+cosωxsineqblc(rc)(avsalco(φ-f(π,)))=sinωxcoseqblc(rc)(avsalco(φ-f(π,)))+cosωxsineqblc(rc)(avsalco(φ-f(π,)))整理得sinωxcoseqblc(rc)(avsalco(φ-f(π,)))=因为ω>且x∈R所以coseqblc(rc)(avsalco(φ-f(π,)))=又因为<φ<π故φ-eqf(π,)=eqf(π,)所以f(x)=sineqblc(rc)(avsalco(ωx+f(π,)))=cosωx由题意得eqf(π,ω)=·eqf(π,)所以ω=故f(x)=cosx因此feqblc(rc)(avsalco(f(π,)))=coseqf(π,)=eqr()()将f(x)的图象向右平移eqf(π,)个单位后得到y=feqblc(rc)(avsalco(x-f(π,)))的图象再将所得图象横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得到y=feqblc(rc)(avsalco(f(x,)-f(π,)))的图象.所以g(x)=feqblc(rc)(avsalco(f(x,)-f(π,)))=coseqblcrc(avsalco(blc(rc)(avsalco(f(x,)-f(π,)))))=coseqblc(rc)(avsalco(f(x,)-f(π,)))当kπ≤eqf(x,)-eqf(π,)≤kπ+π(k∈Z)即kπ+eqf(π,)≤x≤kπ+eqf(π,)(k∈Z)时g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为eqblcrc(avsalco(kπ+f(π,)kπ+f(π,)))(k∈Z).规律方法总结.求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ))的单调区间()将ω化为正.()将ωx+φ看成一个整体由三角函数的单调性求解..已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>ω>)的图象求解析式()A=eqf(ymax-ymin,)B=eqf(ymax+ymin,)()由函数的周期T求ωω=eqf(π,T)()利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点..求三角函数式最值的方法()将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式进而结合三角函数的性质求解.()将三角函数式化为关于sinxcosx的二次函数的形式进而借助二次函数的性质求解.名师押题我来做.关于函数f(x)=sinx-cosx有下列命题:①y=f(x)的周期为π②x=eqf(π,)是y=f(x)的一条对称轴③eqblc(rc)(avsalco(f(π,)))是y=f(x)的一个对称中心④将y=f(x)的图象向左平移eqf(π,)个单位可得到y=eqr()sinx的图象其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都写上).押题依据 本小题以多项选择的形式考查了三角函数的性质、三角函数式的化简.重点突出形式新颖难度适中是高考的热点故押此题.押题级别 ★★★★★解析 由f(x)=sinx-cosx=eqr()sineqblc(rc)(avsalco(x-f(π,)))得T=eqf(π,)=π故①对feqblc(rc)(avsalco(f(π,)))=eqr()sineqf(π,)≠±eqr()故②错feqblc(rc)(avsalco(f(π,)))=eqr()sin=故③对y=f(x)的图象向左平移eqf(π,)个单位得y=eqr()sineqblcrc(avsalco(blc(rc)(avsalco(x+f(π,)))-f(π,)))=eqr()sineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))故④错.故填①③答案 ①③.求函数y=sineqblc(rc)(avsalco(f(π,)+x))+coseqblc(rc)(avsalco(x-f(π,)))的周期、单调区间及最大、最小值.押题依据 将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再求其周期、单调区间、最值等一直是高考的热点考向也是三角函数的重要内容.本题考查内容重点突出难度适中故押此题.押题级别 ★★★★解 ∵eqblc(rc)(avsalco(f(π,)+x))+eqblc(rc)(avsalco(f(π,)-x))=eqf(π,)∴coseqblc(rc)(avsalco(x-f(π,)))=coseqblc(rc)(avsalco(f(π,)-x))=coseqblcrc(avsalco(f(π,)-blc(rc)(avsalco(f(π,)+x))))=sineqblc(rc)(avsalco(f(π,)+x))∴y=sineqblc(rc)(avsalco(x+f(π,)))周期T=eqf(π,)=eqf(π,)返回当-eqf(π,)+kπ≤x+eqf(π,)≤eqf(π,)+kπ(k∈Z)时函数递增∴函数的递增区间为eqblcrc(avsalco(-f(π,)+f(kπ,)f(π,)+f(kπ,)))(k∈Z).当eqf(π,)+kπ≤x+eqf(π,)≤eqf(π,)+kπ(k∈Z)时函数递减∴函数的递减区间为eqblcrc(avsalco(f(π,)+f(kπ,)f(π,)+f(kπ,)))(k∈Z).当x=eqf(π,)+eqf(kπ,)(k∈Z)时ymax=当x=-eqf(π,)+eqf(kπ,)(k∈Z)时ymin=-

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