牵连运动中的功能关系例析
例析牵连运动中的功能关系
计佳欣
力学问题中经常出现牵连运动——两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿
绳或杆方向上的速度分量却相同。这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜
采用牛顿运动定律求解，大多通过功能关系分析（标量运算）来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢
量运算）往往是求解这类问题的关键。下面就几例牵连运动问题浅析其中的功能关系。
【例题1】如右图1所示，跨过微小定滑轮的轻绳，一端悬挂一质量为 2m的重物，另一端系在一质量为m的小滑块上，小滑块套在竖直固定的直 A d
m 杆上，定滑轮与直杆相距d＝0.3m。现将小滑块从与定滑轮等高的A处由静 止释放，若不计一切摩擦和空气阻力作用，试求：当小滑块沿直杆下滑到d
2d ＝0.3m的B处时的速度大小。（重力加速度g＝10m/s）
,h ※简析：设小滑块沿直杆下滑到B处时的速度大小为v，此时重物竖直 上升的速度大小为V。显然，这两个瞬时速度之间存在着确定的牵连关系： 2m B （图1） 小滑块速度v被正交分解后，其沿轻绳方向的分量v应与重物速度V大小相 1
等（如右图2所示），即：v,vcos,,V………………………? 1
考虑到轻绳拉力分别对小滑块做负功、对重物做正功，不能对两个物体
V 分别建立机械能守恒方程，但系统仍满足建立机械能守恒定律，即：
1122……………………………? mgd,2mgh，mv，，2mV22B
d ,又? ……………………………………………? h,,dv v 21sin,
v （图2） ?取d＝0.3m、＝45?代入???联立可解得：m/s v,9,62,
【例题2】如右图3所示，在水平固定的光滑细直杆上穿着A、B两个刚性小球，并用两根长度均为L、不可
伸长的轻绳分别将A、B两小球与另一小球C连接。已知三个小球质量均相同且都可看作质点，现将两根轻绳拉
直呈水平状，并同时自由释放三个小球，试求：在A、B两小球相碰前的 A B 某一时刻，A、B两小球的速度大小v与C小球下落高度h之间的关系式。
C ※简析：如右图4所示，设在A、B相碰前的某一时刻轻绳与竖直
（图3） 方向间的夹角为，此刻小球C的速度为V。不失一般性，取其中A小 ,
球和C小球作牵连运动关系分析：……………………? vsin,,Vcos,B A v ,考虑到A、B两小球的运动对等性和两根轻绳的拉力做功情况，对 三个小球组成的系统建立机械能守恒方程： h 1122L mgh,2，mv，mV……………………………………………? 22 ,22,LhC 又? ………………………………………………? tan,,h ,32ghV v,?由???联立可求得v与h之间的关系式： 22L，h
（图4）
——第 1 页 共 3 页——
【例题3】如右图5所示，竖直平面内固定一直角杆，杆的水平部分粗糙， A O F 竖直部分光滑，两杆上分别套有质量m＝2kg、m＝1kg的小球A和B，其中 AB
小球A与水平杆之间的动摩擦因数＝0.2，A、B间用不可伸长的细线相连接， ,
图示位置处OA＝1.5m、OB＝2m。现用水平力F沿杆向右拉动小球A，并使小
球B以v＝1m/s的速度匀速上升，试求：在小球B经过图示位置上升h＝0.5m B
B 342的过程中，水平力F做了多少功？（tan37?＝、tan53?＝、g＝10m/s） 43（图5）
※简析：由题意可知，要使小球B沿竖直杆匀速上升，作用于小球A的水平力F不可能为恒力，故不能用W＝Fs来计算F对小球A做功，又因为小球A与水平杆之间有摩擦，系统
也不满足机械能守恒定律，应对系统适用动能定理或一般意义的功能关系求 A vAO ,解。 v B很显然，当小球B经过图示位置时，细线与竖直杆之间的夹角应满足 ,
,OA1.53（即＝37?，右图6所示），此刻两小球之间的速度 tan,,,,,OB24
B v14B（图6） 牵连关系为：vsin,,vcos,，即：（m/s）； v,,,ABA3tan,3A' 4O v' A, 当小球B经过图示位置上升h＝0.5m时，细线与竖直杆之间的夹角v ,应 B
,OA24, 满足,（即＝53?，右图7所示），此刻两小球之间的 tan,,,,,OB1.53
B' v13B,速度牵连关系为：vsin,,vcos,,，即：（m/s）； v,,,ABA4tan,4
3（图7）
1122于是，可以对小球A、B组成的系统在此过程中适用动能定理：,，W,mgh,,mgs,mv,mvFBAAAAA22并注意到式中W,6.78,（m），取各已知量代入可解得水平力F做功：（J）。 s,OA,OA,2,1.5,0.5F
1122,或者也可考察水平力F做功效果，建立一般意义的功能关系式：，W,mgh，,mgs，(mv,mv)FBAAAAA22求得：W,6.78（J）。 FB L2 O
【例题4】如右图8所示，一根跨过固定水平光滑细杆O的轻绳，两端各系有质量 均为m的小球A和B（均可视为质点），OA段长度为L，OB段长度为L（L＞L）， 1212L 1小球A被静置于地面，小球B被拉到与细杆O在同一高度处且轻绳刚好被拉直。现无 初速地释放小球B，当小球B摆动到最低点时，恰好与小球A在同一水平位置发生碰撞 A 并粘合在一起，此后两球开始绕O点做圆周运动。若已知发生碰撞前，小球A的速度大 小为v（图8） 、方向竖直向上，两球碰撞时间极短，轻绳不可伸长且始终处于绷紧状态，重力 A
2加速度g取10m/s，试求：?碰撞前小球B的瞬时速度大小； ?两小球碰撞粘合后瞬间，轻绳张力大小。
L,L12※简析：?由题意可知，两小球碰撞点距离地面高度应为，取地面为零重力势能参考面，对两小球2
L,L112212组成的系统，从释放小球B到发生碰撞前的过程，建立机械能守恒方程：mgL,2mg，mv，mv，1AB222
——第 2 页 共 3 页——
O 2解得：碰撞前小球B的瞬时速度大小（方向斜向左下方）………………? v,2gL,vB2A
?如右图9所示，发生碰撞前瞬间，两小球受轻绳约束在竖直方向上存在着速度大小的
2222牵连关系：，变形得……………………………………? v,v,v,vv,v,vBBAByBBxAx
vA两小球碰撞粘合时，满足水平方向动量守恒定律：mv,2mV……………………………? Bx共
2V共v 两小球碰撞粘合后瞬间，轻绳张力大小T应满足向心力方程：A …………? 2,2,2TmgmB Bxr
L，L12又? 到两小球粘合后做圆周运动的半径：………………………………………? r,2vv BBy2m(gL,v)2A（图9） ? 由?????联立可解得： T,mg，L，L12
从以上几例的简析可以看出，求解一般情形的牵连运动，首先应分析得出两个物体在牵连方向上速度大小相
等关系，再把这种速度牵连关系适用到相应的功能关系考察中去，力求做到牵连速度矢量分析和系统功能关系标
量运算的有效结合，并最终完成相关解答。
——第 3 页 共 3 页——
本文档为【牵连运动中的功能关系例析】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483