隐函数存在定理

隐函数存在定理 222y,uw1 设，， 及 ，证明 f(x,y,z),F(u,v,w)x,vwz,uv xf，yf，zf,uF，vF，wF xyzuvw 2,x,vwx,x(u,v,w),,,2 方程组 y,y(u,v,w) 确定了函数组 ，先求这个函数组对各变元的偏导y,uw,, ,,2z,z(u,v,w)z,uv,, 数，为此，对方程组求微分得 ,wvdx,dv，dw,2x2x2xdx,wdv，vdw,,,wu,， 即 2ydy,wdu，udw,dy,du，dw,2y2y,,2zdz,vdu，udv,,vudz,du，dv,2z2z, ,x,x,x,,,,wv ,,,, 0 ,u,v,w,,2x2x,,,,,y,y,y故 ,,wu , 0 ,,,,,u,v,w2y2y,,,,,z,z,z,,,,vu 0,,,,,u,v,w,,2z2z,,将函数组代入方程f(x,y,z),F(u,v,w)，得关于变元的方程 u,v,w f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)),F(u,v,w)， 在这方程两边分别对求偏导，得 u,v,w ,x,y,z f，f，f,F xyzu,u,u,u ,x,y,zf，f，f,F xyzv,v,v,v ,x,y,zf，f，f,F xyzw,w,w,w 将上面三式分别乘以后再相加，得 u,v,w uwuvvwuvvwuw f，f，f，f ，f，fyzxyxz2y2z2x2y2x2z ,uF，vF，wF uvw 222将y,uwx,vw，，z,uv代入即得 xf，yf，zf,uF，vF，wF。 xyzuvw 1 222,z,z,z22 若有连续二阶偏导数，满足方程，证明：若把z,f(x,y),()22,x,y,x,y 222,y,y,y2,()中看成的函数，则它满足同样形状的方程 。 z,f(x,y)yx,z22,x,z,x,z 由确定是的函数，则有，方程两边分别对求偏z,f(x,y)z,f(x,y(x,z))yx,zx,z 导，得 ,f,f,y （1） 0,，,x,y,x ,f,y 1, （2） ,y,z (1) 式再分别对求偏导，得 x,z 2222,f,f,y,f,y,f,y2 (3) 0,，2，()，222,x,y,x,x,y,x,y,x 222,f,y,f,y,y,f,y （4） 0,，，2,x,y,z,x,z,y,x,z,y (2)式再对z求偏导，得 22,f,y,f,y2 （5） 0,()，22,z,y,y,z 由（3）（5）式 222222,f,f,y,f,y,f,y,f,y,f,y22 ()[2()],，，22222,z,y,x,y,x,x,y,x,y,z,y,x 22222,y,y,f,f,y,f,y,f,y22 ()[2()],，，2222,y,y,x,y,x,x,x,z,z,y 22222,y,y,f,f,y,f,y,f,y222 (由（5）式) ()()[2()],,，2222,y,z,x,y,x,x,x,z,y,y 22222,y,y,f,f,y,y,f,y,f,y,y2 ()[2],,，2222,y,x,z,x,y,z,x,z,x,z,y,y 由（4）式 222,f,y,f,y,y,f,y22 (),(，)2,x,y,z,x,z,y,x,z,y 2222,f,y,f,y,y,f,y,y,f,y22 ()()2,，，22,y,x,z,x,z,x,z,y,x,z,y,y 2 2222,f,y,f,y,y,f,y,y,f,y2 ()[2],，，22,y,x,z,x,z,x,z,y,x,z,y,y 222,z,z,z2因为，则 ,()22,x,y,x,y 22222,y,y,f,f,y,y,f,y,f,y,y2 ()[2],，2222,y,x,z,x,y,z,x,z,x,z,y,y 2222,f,y,f,y,y,f,y,y,f,y2 ()[2],，，22,y,x,z,x,z,x,z,y,x,z,y,y 结合（4）式得 2222222,y,y,f,f,y,f,y,y,f,y,f,y,y,f,y22() ()2[],，，，2222,y,x,z,y,x,z,x,z,x,y,z,x,z,y,x,z,y,y 2,f,y2 ,() ,y,x,z 222,y,y,y2即 ,()。 22,x,z,x,z u,f(x,y,z,t), ,,u,u 3 设 ug(y,z,t),0，问什么条件下是的函数啊？求。 x,y,,,x,y,h(z,t),0, g(y,z,t),0,(g,h), 当,0g,h对各变元有连续的偏导数，且时，方程组可确定函,,(z,t)h(z,t),0,z,z(y),数组uu,f(x,y,z,t)u,f(x,y,z(y),t(y))，代入即得是的函数 。 x,y,t,t(y), u,f(x,y,z,t), ,对方程组 g(y,z,t),0求微分，得 , ,h(z,t),0, du,fdx，fdy，fdz，fdt (1),xyzt, gdy，gdz，gdt,0 (2),yzt,hdz，hdt,0 (3),zt ,(g,h)记，若，由（2）（3）式 J,0J,,(z,t) , gdyg,ghdy1ytyt ,,dzJJ 0 ht 3 g ,gdyghdy1zyyz ,,dtJJ h 0 z 代入（1）得 ,ghdyghdyytyz du,fdx，fdy，f， ftxyzJJ gfh,fh,(h,f)ytzzt ,fdx，[f，]dy ,fdx，[f，g]dyxyxyyJ,(z,t)J g,uy,(h,f),u故 ， ,f,f，yxJ,(z,t),y,x 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。 222x，y，z,1,x，y，z,01 求函数f,xyz 在条件下的极值。 222 令L,xyz，,(x，y，z,1)，,(x，y，z) L,yz，2,x，,,0 x L,xz，2,y，,,0 y L,xy，2,z，,,0 z 222得 2,x，,x,2,y，,y,2,z，,z （1） 222又 x，y，z,1 （2） x，y，z,0 （3） 2222由（1）得 2,(x,y),,(y,x)2,(y,z),,(z,y) ， 当时得 x,y,z 2,(x，y),,,2,(y，z),,,， 故得x,z，代入（2）（3）式得 1,21,,12122(,,)PP(,,)2x，y,1 解得稳定点，。 12666666 4 2x，y,0 ,2,1,1,1,1,2由对称性得(,,)(,,)PP，也是稳定点。 3,45,6666666 下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。 1、通过判别最值来求极值 注意约束集为单位圆，是有界闭集，故在其上必有最大（小）值，且最值必在稳定f 点达到。比较稳定点的函数值： 22, fP,fP,fP,f(P),f(P),f(P),()()()， 1352466666 1,1最大者为极大值，最小者为极小值。 3636 2、用无条件极值的充分性判别 222 令 F,x，y，z,1， G,x，y，z ,(F,G)2y 2z则 ,,2(y,z)，故在P,P点的某邻域，方程组,0,(y,z)121 1,(y,z) 222x，y，z,1,x，y，z,0可唯一地确定可微函数组y(x),z(x)。 方程组两边对,,x求导，得 2x，2yy，2zz,0 ,,1，y，z,0 22再求导，得 ,,,,,,1，y，yy，z，zz,0 ,,,,y，z,0 将,,,,P,Py(P),y(P),0z(P),z(P),,1点代入，解得 ， 121212 ,2626,,,,,,,,yP,zP,yP,zP,， ()()()()122133又 ,,,f(x),yz，xyz，xyz ,,,,,,,,,,,,,,f(x),yz，yz，yz，xyz，xyz，yz，xyz，xyz ,,,,,,,,,2yz，2yz，2xyz，xyz，xyz 424424 ,,,,f(P),，，,0f(P),,,,,0， 126363663636故P,PP,PPP是极小值点，是极大值点。由的对称性知，是极小值点，是极x,y,z352612 5 大值点。 2, 极小值f(P),f(P),f(P),， 13566 2 极大值fP,fP,fP,()()()。 246663、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时，所有变量是独立的，但应满dx,dy,dz 足约束条件的微分在P的关系式： i [|] 2xdx，2ydy，2zdz,0Pi dx，dy，dz,0 因为 dL,yzdx，xzdy，xydz，2,(xdx，ydy，zdz)，,(dx，dy，dz) 2222dL,2,(dx，dy，dz)，2xdydz，2ydxdz，2zdxdy 在P点 dx,2dy，dz,0 即 dy,0 1 dx，dy，dz,0 dx，dz,0 121又,，,，,,0,P满足稳定点方程 得 ,13266 14,,，,,0 66 11222222故 dL(P),(dx，dz,4dxdz),(dx，dz，4dx),0 166所以P,PP,P,PP是极小值点。由的对称性知，也是极小值点。同理可证，是x,y,z352461 极大值点。 2,极小值f(P),f(P),f(P),， 13566 2 极大值fP,fP,fP,()()()。 24666 2 将长度为的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分l 法，才能使这三个图形的面积之和最小。 设分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 x,y,z 3222 s,x，y，z, 4 6 满足约束 ， 2,x，4y，3z,lx,0,y,0,z,0 3222令 L(x,y,z),,x，y，z，,(2,,x，4y，3z,l) 4 L,2,x，2,,,0 解得 x,,,x L,2y，4,0, y,,2,y 3L,z，3,,0z,,23, z2 l,,, 2,x，4y，3z,l 2,，8，63 2l,(，4，33)2 s(,,,,2,,,23,),,(，4，33,),2(2,，8，63)约束集为有界闭集，故在其上必有最小值。在边界上，即解下列三个条件极值问题： 33222222,s,x，y, s,x，zs,y，z12344 4y，3z,l2,x，4y,l2,x，3z,l 稳定点分别是 y,,2, x,,,x,,, Pz,,23,z,,23,PP y,,2, 312 ,l,ll, ,,,, ,,2,，88，632,，63 函数值分别是 222l(4，33)l,(，33)l,(，4) , , sPs(P),(),sP(),112233222(2,，8)(8，63)(2,，63) 又 222llllll s,(0,,0),s(,0,0),s,， 。 (0,0,)32,4,416123比较上述7个函数值得，最小值为 2l,(，4，33)2 。 s(,,,,2,,,23,),,(，4，33,),2(2,，8，63) 下面再用无条件极值的充分性判别。 约束条件2,x，4y，3z,lz,z(x,y)可确定。方程两边分别对求导，得 x,y 7 ,2z,0 2,，3z,0， ， z,,xxxx3 4 4，3z,0z,0， ， z,,yyyy3 ,,s3 ,2x,z,2,x，zz,， x,x23 22,,,s2,,z,，,, 222x,x333 s,32 ， yzzyz,2，,2,yy,23 2,s28 ,,z,，22y2,y333 2,,,s4 ,,z, y,x,y333 2222,,,s,s,s28422 ,,(),(2，)(2，),()22,x,y,x,y333333 ,4 ,[(33，,)(33，4),4,] 2(33) ,4 ,[27，33(4，,)],0 2(33) 故稳定点是极小值点。从而是最小值点。 3222 从几何上看，当,x，y，z,cs,c是一常数时，是一椭球面，而约束条件给4 出一个平面在第一挂限的部分，如图示。当cs逐渐增大，首次与平面接触一点时，达到最 小值。当cs继续增大时，的最大值必在平面与坐标轴的交点上达到。 8