平面向量专题训练一

平面向量专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 训练一 一、选择题 1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(    )． A． 与 共线                        B． 与 共线 C． 与 相等                        D． 与 相等 2．下列命题正确的是(    )． A．向量 与 是两平行向量 B．若a，b都是单位向量，则a＝b C．若 ＝ ，则A，B，C，D四点构成平行四边形 D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足 ＝α? ＋β? ，其中 α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为(    )． A．3x＋2y－11＝0                          B．(x－1)2＋(y－1)2＝5 C．2x－y＝0                                  D．x＋2y－5＝0 4．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(    )． A．                 B．                 C．                 D． 5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则 ＝(    )． A．λ( ＋ )，λ∈(0，1)                B．λ( ＋ )，λ∈(0， ) C．λ( － )，λ∈(0，1)                D．λ( － )，λ∈(0， ) 6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则 ＝(    )． A． ＋                             B． － C． ＋                               D． ＋ 7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(    )． A．2                B．4                C．6                D．12 8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 · ＝ · ＝ · ，则点O是△ABC的(    )． A．三个内角的角平分线的交点                B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点                        D．三条高的交点 9．在四边形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(    )． A．平行四边形        B．矩形                C．梯形                D．菱形 10．如图，梯形ABCD中，| |＝| |， ∥ ∥ 则相等向量是(    )． A． 与         B． 与 C． 与         D． 与 二、填空题 11．已知向量 ＝(k，12)， ＝(4，5)， ＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝          ． 12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与 相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝        ． 13．已知平面上三点A，B，C满足| |＝3，| |＝4，| |＝5，则 · ＋ · ＋ · 的值等于          ． 14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于            ． 15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若 ＋ ＋ ＝0，则O是△ABC的          ． 16．设平面内有四边形ABCD和点O， ＝a， ＝b， ＝c, ＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是        ． 三、解答题 17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足 ＝ ＋λ (λ∈R)，试求 λ为何值时，点P在第三象限内？ 18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求 ． 19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)． 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝( ，－1)，则|2a－b|的最大值． 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、选择题 1．B 解析：如图， 与 ， 与 不平行， 与 共线反向． 2．A 解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若 ＝ ，可能A，B，C，D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对． 3．D 解析：提示：设 ＝(x，y)， ＝(3，1)， ＝(－1，3)，α? ＝(3α，α)，β? ＝(－β，3β)，又α ＋β? ＝(3α－β，α＋3β)， ∴ (x，y)＝(3α－β，α＋3β)，∴ ，又α＋β＝1，由此得到答案为D． 4．B 解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b， ∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0， ∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cosθ．解得cos θ＝ ． ∴ a与b的夹角是 ． 5．A 解析：由平行四边形法则， ＋ ＝ ，又 ＋ ＝ ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)． 6．D 解析：如图，∵ ＝ ， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ． (第6题) 7．C 解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72． 而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|， ∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6． 8．D 解析：由 · ＝ · ＝ · ，得 · ＝ · , 即 ·( － )＝0， 故 · ＝0， ⊥ ，同理可证 ⊥ ， ∴ O是△ABC的三条高的交点． 9．C 解析：∵ ＝ ＋ ＋ ＝－8a－2b＝2 ，∴ ∥ 且| |≠| |． ∴ 四边形ABCD为梯形． 10．D 解析： 与 ， 与 ， 与 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－ ． 解析：A，B，C三点共线等价于 ， 共线， ＝ － ＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)， ＝ － ＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)， 又 A，B，C三点共线， ∴ 5(4－k)＝－7(－k－4)，∴ k＝－ ． 12．－1． 解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)， ∴ ＝(2，0)，又a＝ ， ∴ 解得 ∴ x＝－1． 13．－25． 解析：思路1：∵ ＝3， ＝4， ＝5， ∴ △ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即 ⊥ ，∴ · ＝0， ∴ · ＋ · ＋ · ＝ · ＋ · ＝ ·( ＋ ) ＝－( )2 ＝－ ＝－25． 思路2：∵ ＝3， ＝4， ＝5，∴∠ABC＝90°， ∴ cos∠CAB＝ ＝ ，cos∠BCA＝ ＝ ． 根据数积定义，结合图(右图)知 · ＝0， · ＝ · cos∠ACE＝4×5×(－ )＝－16， · ＝ · cos∠BAD＝3×5×(－ )＝－9． ∴ · ＋ · ＋ · ＝0―16―9＝－25． 14． ． 解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)． ∵ (a＋mb)⊥(a－b)， ∴ (a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0 m＝ ． 15．答案：重心． 解析：如图，以 ， 为邻边作□AOCF交AC于点E，则 ＝ ＋ ，又 ＋ ＝－ ， ∴ ＝2 ＝－ ．O是△ABC的重心． 16．答案：平行四边形． 解析：∵ a＋c＝b＋d，∴ a－b＝d－c，∴ ＝ ． ∴ 四边形ABCD为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1． 解析：设点P的坐标为(x，y)，则 ＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)． ＋λ ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］ ＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)． ∵ ＝ ＋λ ， ∴ (x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴     即 要使点P在第三象限内，只需   解得 λ＜－1． 18． ＝( ，2)． 解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， ＝(－4，－3)， ＝(－3，－5)． 又 D是BC的中点， ∴ ＝ ( ＋ )＝ (－4－3，－3－5) ＝ (－7，－8)＝(－ ，－4)． 又 M，N分别是AB，AC的中点， ∴ F是AD的中点， ∴ ＝－ ＝－ ＝－ (－ ，－4)＝( ，2)． 19．证明：设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋ b， ＝b－ a． ∴ · ＝(a＋ b)·(b－ a)＝ b2－ a2＋ a·b． 又 ⊥ ，且 ＝ ，∴ a2＝b2，a·b＝0． ∴ · ＝0，∴ ⊥ ． 本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．  20．分析：思路1：2a－b＝(2cos θ－ ，2sin θ＋1)， ∴ |2a－b|2＝(2cos θ－ )2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－4 cos θ． 又4sin θ－4 cos θ＝8(sin θcos －cos θsin )＝8sin(θ－ )，最大值为8， ∴ |2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4． 思路2：将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2a－b| 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示2a，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．