函数、极限、连续(公共)
一、考试内容
函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立;
数列极限与函数极限的定义及其性质、 函数的左极限和右极限、 无穷小量和无穷大量的概念及其关系、 无穷小量的性质及无穷小量的比较、 极限的四则运算、 极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则、 两个重要极限; 函数连续的概念、 函数间断点的类型、 初等函数的连续性 、闭区间上连续函数的性质。
(一)函数
1、函数(Function)的定义 设D 是一个非空实数集合,若?对应关系f ,对于x D ?∈,按照f ,
对应唯一确定的R y ∈,称f 是定义在D 上的函数, 习惯上也称y 是x 的函数,记为)(x f y =.
notes :10
. 两个常用的数学符号: :? “任意”或“任意一个”,它是英文单词Arbitrary “表示任意的”打头字母A 的倒写;
:? “存在,它是英文单词 Existence “表示存在” 打头字母E 的倒写. 2、基本初等函数为以下五类函数
(1) 幂函数 μx y =,μ是常数.
图Ⅰ—1
(2) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠,),),(+∞-∞∈x .
图Ⅰ—2
(3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠,),(0,)x ∈+∞.
对数(Logarithm )是由英国人纳皮尔创立的, 是相对于真数的比率数.
图Ⅰ—3
(4) 三角函数
1.何谓正?何谓余?
正就是正角。余就是余角,就是90度减去正角.
2.何谓弦?何谓切?何谓割?
弦就是弦线,切就是切线,割就是割线.
圆上两点相连叫做"弦";圆外与圆相切的线叫"切线";圆外割入圆内的线叫"割线".
其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的.
正弦函数 x y sin =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y .
图Ⅰ—4
余弦函数 x y cos =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y .
正切函数 x y tan =,2π
π+≠k x ,k Z ∈,),(+∞-∞∈y .
图Ⅰ—6
余切函数 x y cot =,πk x ≠,k Z ∈,),(+∞-∞∈y .
图Ⅰ—7
(5) 反三角函数
反正弦函数 x y arcsin =, ]1,1[-∈x ,]2,2[ππ-∈y .
图Ⅰ—8
反余弦函数 x y arccos =,]1,1[-∈x ,],0[π∈y .
图Ⅰ—9 反正切函数
x y arctan =,),(+∞-∞∈x ,)2,2(ππ-∈y .
图Ⅰ—10 反余切函数
x y cot arc =,),(+∞-∞∈x ,),0(π∈y .
图Ⅰ—11
3、初等函数:由基本初等函数,经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数,称为初等函数.高等数学的主要讨论对象是初等函数.
(1)幂指函数:()()ln ()()v x v x u x y u x e ==.
4、分段函数:分段函数是没有严格定义的,任意函数都可以是分段函数.
一般而言,把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的,这样的函数称为分段函数. 即便如此,有些分段函数也可称为初等函数.
(1)符号函数:1,0sgn 0,0,sgn ,sgn 1,0x y x x x x x x x x x >??=====??-??, (),{()()}1min{(),()}[()()()()](),{()()}2f x x x f x g x f x g x f x g x f x g x g x x x f x g x ?∈≤?==+--?∈>??
. 对数一、三而言,在概率论中有极值分布max{,},min{,}X Y X Y .
x
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