基于压缩传感的纯相位物体相位恢复（可编辑）

基于压缩传感的纯相位物体相位恢复（可编辑） 物 理 学 报 ActaPhys. Sin. Vol.62,No.102013 104203 * 基于压缩传感的纯相位物体相位恢复杨振亚 郑楚君 华南师范大学物理与电信工程学院, 广州 510006 2012 年10 月26 日收到;2012 年12 月7 日收到修改稿 传 统 的 相 位 恢 复 算 法 通 过 双 强 度 或 者 单 强 度 测 量 的 数 据 进 行 迭 代 运 算 以 恢 复 丢 失 的 相 位 信 息, 它 要 求 采 样 数 据 必 须 满 足 香 农 采 样 定 理. 当 成 像 的 分 辨 率 较 高 时, 大 量 的 测 量 数 据 势 必 会 对 数 据 采 样 设 备 提 出 更 多 的 要 求. 因 此, 为 减 少 采 样 负 担, 本 文 提 出 了 一 种 基 于 压 缩 传 感 的 相 位 恢 复 算 法, 通 过 在 傅 里 叶 面 的 少 量 单 强 度 测 量 数 据, 应 用 改 进 的 混 合 输 入 输 出 算 法 来 恢 复 纯 相 位 物 体 的 相 位 分 布. 在 采 样 数 据 远 小 于 采 样 定 理 所 需 的 条 件 时, 该 算 法 仍 能 精 确 地恢复相位分布具有分块均匀特征的纯相位物体. 数值仿真实验 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明该算法具有良好的收敛性能. 关键词: 相位恢复, 压缩传感 PACS:42.30.Rx,42.30.Wb DOI:10.7498/aps.62.104203 [2] [3] 算 法 HIO 以 及 杨 顾 算 法 等. 其 中, Fienup 的 HIO 在 迭 代 过 程 中 引 入 支 撑 域 约 束, 具 有 收 敛 性 能 1 引 言 好 、 迭 代 运 算 简 单 等 优 点, 在 实 际 中 尤 其 是 针 对 实 值非负的物体的相位恢复中应用最为广泛. 物 体 衍 射 场 的 相 位 通 常 携 带 着 关 于 物 体 结 构 近 些 年 来, 压 缩 传 感 compressed sensing 成 为 的 重 要 的 信 息, 在 许 多 物 理 和 生 物 学 的 研 究 中, 一 了 各 个 领 域 的 研 究 热 点, 受 到 越 来 越 多 的 关 注, 主 般 通 过 物 体 在 某 种 射 线 照 射 下 的 衍 射 光 传 播 到 探 要 在 于 这 个 理 论 提 供 了 一 种 可 能: 通 过 少 量 适 当 的 测 器 面 上 的 数 据 来 推 测 物 体 的 结 构 信 息. 然 而 在 大 采 样, 稀 疏 信 号 可 以 通 过 求 解l1 范 数 最 优 化 的 问 题 部 分 这 类 应 用 之 中, 探 测 器 仅 是 强 度 探 测 器, 衍 射 [4?6] 来 精 确 重 构 , 这 个 特 点 所 要 求 的 采 样 数 量 可 以 场 波 前 分 布 由 一 个 强 度 探 测 器 所 测 量 收 集, 随 之 带 远 小 于 传 统 信 号 重 建 所 需 的 条 件, 大 大 降 低 设 备 的 来 的 主 要 问 题 便 是 衍 射 场 相 位 的 丢 失. 为 了 解 决 这 [7] [1] 存 储 与 采 样 的 复 杂 度 与 成 本因 为 压 缩 传 感 具 有 种 相 位 丢 失 的 问 题, Gerehberg 和 Saxton 于 1972 这 类 优 点, 将 压 缩 传 感 理 论 引 入 硬 件 要 求 较 高 的 成 年 提 出 了 GS 相 位 恢 复 算 法, 该 算 法 是 第 一 种 被 广 像 领 域 便 具 有 相 当 的 实 用 价 值. 在 成 像 领 域, 最 典 泛 接 受 的 波 前 传 播 迭 代 相 位 恢 复 算 法, 奠 定 了 数 值 相 位 恢 复 的 衍 射 迭 代 基 本 模 式, 并 迅 速 成 为 相 位 恢 型 的 线 性 测 量 便 是 衍 射 场 模 式 测 量 或 者 傅 里 叶 测 量, 然 而 这 种 测 量 在 绝 大 多 数 的 应 用 中 都 将 遭 遇 前 复 数 值 领 域 的 经 典 算 法. 其 基 本 思 路 是, 将 波 前 交 替 地 在 物 面 以 及 成 像 面 上 来 回 传 播, 并 在 两 个 面 上 面 所 述 的 相 位 问 题. 因 此, 若 能 引 入 一 种 基 于 压 缩 传 感 的 相 位 恢 复 算 法, 将 极 大 拓 展 压 缩 传 感 在 成 像 分 别 施 加 其 振 幅 所 满 足 的 约 束, 从 而 逐 步 地 收 敛 于 实 际 复 振 幅. 然 而 GS 算 法 在 实 际 应 用 中 存 在 诸 如 领 域 的 应 用. 除 此 以 外, 在 相 位 恢 复 方 面, 引 入 压 缩 传 感 中 的 信 号 稀 疏 约 束, 并 在 迭 代 算 法 中 应 用 压 缩 迭 代 次 数 过 多 、 收 敛 性 不 好 、 依 赖 双 强 度 测 量 等 诸多缺点, 限制了其实际应用. 针对GS 算法的这些 传 感 的 l1 范 数 最 优 化 算 法, 将 有 助 于 提 高 相 位 迭 突 出 问 题, 一 系 列 改 进 算 法 被 陆 续 提 出, 如 误 差 减 代 算 法 的 收 敛 速 度, 解 决 一 部 分 收 敛 停 滞 问 题, 并 [8;9] 少 算 法 ER 、 输 入 输 出 算 法 IO 、 混 合 输 入 输 出 改 善 算 法 的 鲁 棒 性. 在 2007 年, Moravec 等 提 国家自然科学基金 批准号:10504008 资助的课题. *通讯作者. E-mail: cjzheng@//0>. 2013 中 中 中国 国 国物 物 物理 理 理学 学 学会 会 会 ChinesePhysicalSociety ////. 104203-1物 理 学 报 ActaPhys. Sin. Vol.62,No.102013 104203 出 了 压 缩 传 感 相 位 恢 复 compressed sensing phase 要概括如下:retrieval, 通过借助于已知的信号l1 范数约束, 从信Pu ; 如果t ?D n u ; 1 n+1 号 的 一 个 傅 里 叶 强 度 采 样 子 集, 恢 复 出 纯 振 幅 物 体u ?bPu ; 其他 n n 的 分 布. 该 方 法 需 要 获 知 信 号 确 切 的 l1 范 数, 而 信 这 里, u , u 分 别 是 这 一 次 与 下 一 次 迭 代 的 物 面 n n+1 号l1 范 数 的 信 息 通 常 是 未 知 的, 这 限 制 了 其 实 际 的 [10] 分 布, 实 际 运 算 时, u 可 取 随 机 初 始 值. 算 符 Pu 0 应用. Newton 于2012 年提出HIO 算法的压缩传 的 作 用 可 具 体 描 述 如 下: 先 对 u 取 傅 里 叶 变 换, 变 感 改 进 恢 复 算 法CSHIO, 在 实 值 物 体 上 有 不 错 的 效 换 后 的 结 果 设 为 m, 保 持 相 位 不 变 并 将 振 幅 修 改 为 果. 不 过, 这 两 种 算 法 都 针 对 实 值 分 布 的 物 体. 本 文 测 量 的 |V| 分 布, 然 后 求 取 傅 里 叶 逆 变 换, 如 图2 所 的 算 法 主 要 针 对 纯 相 位 物 体, 在 实 际 的 应 用 中, 纯 示. D 代 表 物 面 上 的 支 撑 域, 它 限 制 着 物 面 分 布 的 相 位 物 体 一 般 都 满 足 分 段 平 滑 的 相 位 分 布, 因 此 有 边 界 范 围,b 1 是 一 个 抑 制 系 数, 控 制 着 迭 代 过 程 限 差 分 算 符 为 描 述 其 相 位 稀 疏 性 的 理 想 算 符. 迭 代 中 支 撑 域 外 分 布 的 抑 制 情 况, 一 般 可 取 经 验 值 0.9. 算 法 的 基 本 思 路 为: 每 一 次 迭 代 过 程 中 都 对 物 面 应 算 法 从 随 机 初 始 值 开 始, 经 由 不 断 的 交 替 投 影 迭 代, 用 相 位 上 的 最 小 全 变 差 进 行 优 化, 然 后 对 结 果 按 照 最 终 收 敛 于 同 时 满 足 物 面 支 撑 域 约 束 与 给 定 傅 里 HIO 算 法 进 行 交 替 传 播 迭 代, 将 这 两 部 分 重 复 下 去, 叶振幅约束的结果. 最 终 便 可 实 现 由 给 定 的 傅 里 叶 强 度 测 量 数 据 子 集 重 建 相 位 物 体 分 布 的 算 法. 与 普 通 HIO 算 法 相 比, 本 文 的 算 法 可 以 在 采 样 非 常 少 的 情 况 下 依 然 精 确 重 建 物 面 复 振 幅 分 布, 而HIO 算 法 在 这 种 情 况 下 的 重 建 一 般 是 失 败 的. 除 此 之 外, 本 文 的 算 法 在 收 敛 速度上亦具有一定优势. 2 基本原理 相 位 恢 复 长 期 以 来 一 直 是 国 际 国 内 研 究 工 作 [3;11?17] 图2 HIO 迭代算法 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 者 关 注 的 重 要 研 究 问 题归 纳 起 来, 传 统 的 单 强 度 相 位 恢 复 问 题 可 以 这 样 描 述: 考 虑 一 个 典 型 在 此 引 入 压 缩 传 感 理 论. 从 探 测 器 所 采 集 的 数 的 傅 里 叶 变 换 光 路, 具 有 一 定 相 位 分 布 的 样 品 放 置 据 仅 是 |V| 的 一 个 子 集 |V |. 此 时 由Y |V | 恢 复 出 s s 在 物 面 上, 如 图 1 所 示, 在 平 面 相 干 波 照 明 条 件 下, U 的 分 布, 如 果 用 传 统 的 HIO 方 法, 迭 代 结 果 将 无 其 透 射 光 具 有 复 振 幅 分 布U. 经 由 透 镜 的 傅 里 叶 变 法 趋 于 稳 定, 同 时 也 无 法 保 证 算 法 收 敛 性. 然 而, 压 换, 在傅里叶面上将获得U 的傅里叶变换, 记为V. 缩 传 感 理 论 告 诉 我 们, 如 果 将 信 号 自 身 的 结 构 信 息 纳 入 考 虑 范 围, 则 少 量 采 样 子 集 依 然 存 在 无 失 真 重 建的可能. 如 前 所 述, 压 缩 传 感 理 论 并 不 要 求 满 足 采 样 定 理 的 采 样 数 据, 而 且 这 个 理 论 是 建 立 在 信 号 的 可 稀 疏 表 达 性 之 上. 以 一 长 度 为 M 的 K 稀 疏 信 号 为 [18] 例, 当 采 样 矩 阵 满 足 约 束 等 距 条 件 时 , 理 论 给 出 [5] 了 重 建 信 号 所 需 的 采 样 数 量 的 下 限 为 OKlnM信 号 的 稀 疏 可 以 表 现 在 空 域, 也 可 以 表 现 在 变 换 域, 图1 傅里叶变换光路图 或 者 表 现 在 与 算 符 的 作 用 之 下, 比 如 梯 度 算 符 如 何 由 傅 里 叶 上 的 振 幅 记 录Y |V| 来 恢 复 出 在 成 像 领 域, 由 于 相 位 物 体 的 相 位 分 布 一 般 具 有 缓 U 的 信 息, 这 个 问 题 被 称 为 单 强 度 相 位 恢 复 问 题. 变 性 以 及 分 块 均 匀 性, 因 此 相 位 的 梯 度 可 以 满 足 稀 在此 简要 介绍Fienup 提出 的HIO, 其迭 代过 程可 扼 疏 性. 设 二 维 信 号 为U, U 的 l1 范 数 被 称 为 全 变 104203-2物 理 学 报 ActaPhys. Sin. Vol.62,No.102013 104203 [19] 差 total variation, TV由 给 定 的 采 样 数 据, 可 以 数据重构信号 f 为求解最优化问题: 通过求解最优化问题, 使得结果具有最小全变差: ′ f argmin| angf | 1 ′ ′ 2 U argmin| U | s.t ||MU ?Y|| 6x; 2 1 ′ 2 s.t |||Mf ||?Y| 6x; 其 中, M 是 采 样 算 符,Y 是 采 样 数 据, ||???|| 为 取 模 ′ ′ |f |1; f ?D ; 3 运 算, |???| 表 示 l1 范 数,x 代 表 重 构 偏 差, 表 示 重 1 其 中, ang 代 表 取 相 角, ||???|| 为 取 模 运 算, D 为 支 构 结 果 重 新 采 样 后 与 采 样 数 据 的 差 值, 一 般 用 来 撑 域. 我 们 所 设 计 的 迭 代 算 法 类 似 于 HIO 算 法, 傅 抑 制 实 际 采 样 所 带 来 的 噪 声. 在 这 个 式 子 里,U 为 ′ 2 里 叶 数 据 被 交 替 地 在 物 面 和 像 面 上 投 影, 并 使 之 满 满 足 测 量 式 ||MU ?Y|| 6x 的 解 里 面 具 有 最 小 ′ 足 物 面 纯 相 位 限 制 和 支 撑 域 限 制 以 及 傅 里 叶 面 幅 | U | 即 全 变 差 的 最 优 解, 这 个 最 优 化 问 题 则 被 称 1 度 约 束. 如 图 3 所 示, 算 法 由 u 取 随 机 值 开 始, 输 0 为最小TV 重构法. 求解过程可以引入两步迭代, 先 入 投 影 算 符 Pu 当 中, 与 HIO 算 法 相 比, 傅 里 叶 从初始值U 0 开始, 第一步把U 投影到MU Y 0 n 变 换 F 改 为 部 分 傅 里 叶 变 换 Fs, 仅 获 取 子 集 s 位 的 解 集 上 得 到 a, 第 二 步 对 投 影 结 果 a 求 解 最 优 化 ?1′ ′ 2 置 的 系 数, 逆 变 换 F 变 为 Fs 的 共 轭 算 子 Fs , 其 问 题U argmin| U | s.t ||U ?a|| 6x, 第 二 n+1 1 作 用 相 当 于 将 获 得 的 系 数 返 回 s 的 位 置, 其 他 补 0 步 是 一 个 TV 稀 疏 逼 近 问 题, 可 扼 要 描 述 为 求 取 a 并 做 逆 变 换. 在 每 一 次 迭 代 中, 对 支 撑 域 D 外 的 部 在 偏 差 为x 的 一 个 全 变 差 稀 疏 逼 近. 在 本 文 中, TV 分 与 HIO 算 法 进 行 相 同 的 抑 制, 支 撑 域 D 内 的 部 稀 疏 逼 近 所 用 的 迭 代 算 法 为 Chambolle 所 提 出 的 [20] 分 约 束 为 纯 相 位, 之 后 取 出 支 撑 域 内 的 相 位, 应 用 算法现 在 将 HIO 与 压 缩 传 感 的 TV 重 构 算 法 进 行 Chambolle 算 法 计 算 一 个 当 前 相 位 的TV 稀 疏 逼 近, 然 后 作 为 下 一 次 的 输 入 u不 断 重 复 这 两 步, 结 结 合. 在 本 文 中 仅 考 虑 纯 相 位 物 体: 振 幅 透 过 率 为 n+1 果 将 逐 渐 收 敛 在 满 足 所 有 约 束, 同 时 满 足 相 位 的 全 1, 仅 有 相 位 透 过 率 变 化 的 物 体. 设Y 是 观 测 到 的 傅 里 叶 振 幅 数 据, 所 用 测 量 算 符 为 M, 由 观 测 的 振 幅 变差 最小的解之上. 图3 本文的算法流程 镜 变 换, 在 傅 里 叶 面 上 形 成 频 谱. 对 傅 里 叶 面 上 的 3 数值仿真 频 谱 强 度 施 加 采 样 模 板, 获 得 所 需 的 采 样 子 集. 在 我们模拟一个256×256 像素的相位物体, 尺寸 标 准 的 压 缩 传 感 做 法 当 中, 采 样 矩 阵 一 般 为 随 机 为20mm, 振幅透过为1, 复透过率为exp j 2?I , 测 量 矩 阵, 不 过 使 用 随 机 测 量 矩 阵, 主 要 的 问 题 一 其 相 位 I 由 归 一 化 Shepp-Logan phantom 图 调 制, 是 计 算 存 储 量 大, 二 是 没 有 很 好 的 物 理 实 现 方 法. 最 大 相 角 变 化 为 2. phantom 图 图 4b 有 明 显 文 献 [6] 中 也 建 议 用 置 乱 傅 里 叶 变 换 达 到 相 同 效 的 边 界, 而 且 是 块 状 均 匀 分 布, 用 来 做 最 小 全 变 分 果, 不 过 置 乱 傅 里 叶 仅 在 信 号 为 空 域 稀 疏 时 才 有 很 优 化 是 非 常 理 想 的. 波 长 为 632.8 nm 的 激 光 照 射 好 的 效 果, 在 变 换 域 或 者TV 算 符 下 效 果 不 是 很 好. 在 相 位 物 体 之 上, 光 斑 为 圆 形, 透 射 光 被 傅 里 叶 透 为 了 继 续 应 用 傅 里 叶 变 换 在 光 学 采 样 中 的 优 势, 就 104203-3物 理 学 报 ActaPhys. Sin. Vol.62,No.102013 104203 需 要 构 造 特 殊 的 采 样 模 板, 根 据 傅 里 叶 变 换 的 特 点, 了本文算法的可行性. 适 量 多 采 集 靠 近 中 心 的 数 据. 本 文 使 用 的 采 样 模 板 将最大相角变化增大到0.8 ,1:6 , 以及2 , 采 如 图 4a 所 示, 由 自 中 心 向 四 周 的 20 条 等 角 度 辐 用本文算法, 迭代结果在图5 中给出. 射线构成, 包括3782 个采样点, 大约是7.6% 的采样 由 图5 中 可 以 看 出, 当 相 位 变 化 超 过2 时, 超 数 据. 这 种 采 样 方 式 在 中 心 处 比 其 他 地 方 的 采 样 数 过 的 部 分 2 , phantom 的 边 缘 部 分 被 映 射 到 了 主 据 更 多, 符 合 一 般 图 像 频 谱 的 分 布 规 律, 并 且 易 于 值区间, 相角为0. 因为本文的算法假定 相角总是在 [21] 物理实现0?2 区间上. 图4c 表 示 激 光 光 斑 的 形 状 和 位 置, 这 同 时 也 迭代过程中的误差用下式表示: 代 表 着 支 撑 集. 图4d 表 示 对 振 幅 数 据 直 接 逆 投 影 ||Ua |?y| k Error ; 4 y 重建的相位, 图4e 为直接对采样数据应用HIO 算 式 中 a 代 表 第 k 次 迭 代 的 中 间 结 果, U 为 采 样 算 法 返 回 的 相 位, 都 已 经 约 束 在 支 撑 域 范 围, 从 图 中 k 可 见 重 建 完 全 失 败 了. 使 用 本 文 的 压 缩 传 感 相 位 恢 子,y 为 实 际 观 测 到 的 傅 里 叶 振 幅 采 样. 在 不 同 的 相 复 算 法 的 结 果 相 位 图 4f, 可 以 发 现 除 了 一 些 细 节 角 范 围 下, 该 数 值 随 着 迭 代 次 数 的 变 化 如 图6 所 示, 上 的 小 偏 差, 重 建 相 位 与 图 4b 几 乎 一 致, 这 验 证 可以看出收敛速度是令人满意的. 图4 a 傅 里 叶 面 的 采 样 模 板;b 相 位 物 体 所 调 制 的 相 位;c 激 光 光 斑;d 直 接 逆 投 影 重 建 相 位;e 对 采 样 直 接 使 用HIO 算法的结果相位;f 使用本文方法的结果相位 图5 本文算法 a 最大相角变化0:8 ;b 最大相角变化1:6 ;c 最大相角变化2 104203-4物 理 学 报 ActaPhys. Sin. Vol.62,No.102013 104203 相 结 合 的 方 法, 通 过 远 小 于 传 统 相 位 恢 复 所 需 的 采 样 来 精 确 重 建 纯 相 位 物 体 的 相 位 分 布. 在 给 定 的 傅 里 叶 采 样 之 下, 本 文 的 迭 代 算 法 寻 找 满 足 傅 里 叶 面 幅 值 约 束 、 物 面 支 撑 约 束 与 纯 相 位 约 束 的 交 叉 约 束 集 中, 具 有 最 小 全 变 差 的 解. 算 法 由 传 统 的 HIO 算 法 变 化 而 来, 参 照 压 缩 传 感 最 小 全 变 差 算 法 的 两 步 迭 代 进 行 CS 化 改 进, 并 在 本 文 的 仿 真 结 果 上 显 示 出 良 好 的 效 果 和 性 能. 压 缩 传 感 是 一 门 新 兴 不 久 的 理 论, 目 前 关 于 压 缩 传 感 在 相 位 恢 复 领 域 以 及 其 他 光 学 领 域 的 结 合 研 究 还 不 多, 但 是 其 潜 在 价 值 是 显 著 的, 在 某 些 实 时 要 求 性 很 强 的 成 像 领 域, 不 仅 图6 不同相角范围下的误差曲线 可 大 幅 度 降 低 衍 射 成 像 仪 器 的 采 样 系 统 的 复 杂 性 与 成 本, 同 时 也 可 以 为 光 学 重 建 算 法 开 辟 新 的 路 径. 本 文 算 法 主 要 考 虑 的 是 纯 相 位 物 体, 实 际 应 用 中 更 4 小 结 一 般 的 情 况 是 具 有 复 值 分 布 的 物 体, 这 将 是 我 们 下 本 文 讨 论 了 一 种 将 压 缩 传 感 与 相 位 恢 复 理 论 一步研究 的问题. [1] GerchbergRW,SaxtonWO1972Optik35237 [11] RomanP,MarathayAS1963NuovoCimento301452 [2] FienupJR1982Appl. Opt. 212758 [12] WaltherA1963Opt. Acta1041 [3] YangGZ,GuBY1981ActaPhys. Sin. 30410inChinese[ 杨 国 桢, [13] WolfE1962Proc. Phys. Soc. 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