最小生成树克鲁斯卡尔算法详解
转载自:数据结构中图结构的最小生成树克鲁斯卡尔算法详解
我一直想把克鲁斯卡尔算法实现,但是由于马上就要考试了,而且自己由于天气寒冷等各种原因没能如愿。不过在昨天一天的努力中,我终于完成了克鲁斯卡尔算法的实现。算法是c++的,图的数据结构是以邻接矩阵为基础,并且使用了
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,所以可以对任何类型的顶点进行最小生成树的生成。
克鲁斯卡尔算法中的核心
思想
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就是逐个在边的集合中找到最小的边,如果满足条件就将其构造,最后生成一个最小生成树。它首先是一系列的顶点集合,并没有边,然后我们从邻接矩阵中寻找最小的边,看看它是否和现有的边连接成一个环,如果连接成环,则舍弃,另外取其它的边。如果不连接成环,则接受这个边,并把其纳入集合中。以此类推。我们知道,一课有n个顶点的树(无论是树还是二叉树),它必定有n-1个边。我们只需要对上述操作循环至少n-1次(因为可能选出的边会构成环,不是我们需要的边)。
下面就是我寻找最小边的c++代码:
Code:min=INFINITY;for(i=0;i vexnum;i++){for(j=i;j vexnum;j++){if(arcs[i][j].adj~=INFINITY&&min
arcs[i][j].adj){if(arcs[i][j].adj=vexSet.lowcost&&~
vexSet.IsAlreadyIn(i,j)){min=arcs[i][j].adj;track_i=i;track_j=j;}}}}首先让min为最大(INFINITY),然后让其与邻接矩阵的一个个元素进行比较,我在遍历邻接矩阵的时候使用的是上三角(?)法,因为无向网的邻接矩阵是对称矩阵。当然我们必须
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满足调件的顶点的下标,所以track_i、track_j就变得必要了。又因为我们要满足每次选取的最小权值的边呈递增数列,所以arcs[i][j].adj vexSet.lowcost(其中vexSet.lowcost为上次保存的最小边)就变得必要了。同时我们还要注意一点,如果一个图有多条边的权值相同(如右图),那么我们必须在这里添加上=号,变成
arcs[i][j].adj=vexSet.lowcost。并且要从顶点集合(稍后会提到)中的顶点位置中查找是否已经存在。这里我使用了IsAlreadyIn()函数来实现它。
然后我们必须要判断我们新加入的边是否和原有边构成环。由于边在邻接矩阵的
表
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现形式是两个顶点的集合。所以这时我们的顶点下标track_i、track_j就派上用场了,它们被保存到vexPos中。这里我写了一个函数(IsCycle()),用来判断是否构成环。
试着考虑下列数列:
1 21 32 43 4
????????
其中3 4是我将要加上的边。他们构成的关系图如下所示:(图)
显然加上了3 4的话,就会构成环了。怎样用c++来判断是否构成环呢?我们可以这么考虑:
令x=3,然后从?号位开始遍历这个数组,如果找到了3,则记下这个3的位置。这里是?号位。然后如果是偶数号位,那么我们找到它相邻的奇数位,如果是奇数号位,那么我们要找它相邻的偶数号位。这里我们找到?号位1。然后我们再以1为关键字,找到另外一个1。这里找到了?号位。我们再找它的相邻位即?号位2。这时又以2为关键字,遍历数组。此时我们需注意,从左遍历起的时候可能会找到原来的2。这时我们要尽量避免找到它。这里使用一个if语句进行判断即可实现。下面就是我这个函数的代码:
Code://判断顶点集合是否构成回路的函数,若构成回路,则返回真template typename CustomType bool JMatrixGraph CustomType:IsCycle(VertexSet CustomType objSet){if(objSet.vexCount==0)returnfalse;//如果顶点集合为空,则不构成回路int s=objSet.vexCount;CustomType x=objSet.vertices[s];//一个迭代的变量,让其初始化为u int i=s;//s为原有的变量的下标,在i递增的时候,如果目标变量在原有变量之前,则跳过该下标while(1)//一直循环下去,不过一定会有出口{if(i==0)i=1;else i=0;for(;objSet.vertices[i]~=x;)//让i递增,直到匹配时为止{if(i objSet.vexCount+1)returnfalse;//如果超过了存储的最大值,那么没找到,一定不构成环if(i+1==s)i+=2;//
跳过原有变量的位置else
i++;}if(x==objSet.vertices[objSet.vexCount+1])returntrue;//如果一系列循环后与v匹配,则一定构成环if(i%2~=0)i-=1;//如果数字的位置是偶数,那么定位到于此配对的奇数下标else i+=1;//如果数字的位置是奇数,那么定位到于此配对的偶数下标x=objSet.vertices[i];//让x的值为配对的值s=i;//保存原有变量的下标}}下面就是我为最小生成树(克鲁斯卡尔算法)这个功能写的代码:
Code://判断顶点集合是否构成回路的函数,若构成回路,则返回真template typename CustomType bool JMatrixGraph CustomType:IsCycle(VertexSet CustomType objSet){if(objSet.vexCount==0)returnfalse;//如果顶点集合为空,则不构成回路int s=objSet.vexCount;CustomType x=objSet.vertices[s];//一个迭代的变量,让其初始化为u int i=s;//s为原有的变量的下标,在i递增的时候,如果目标变量在原有变量之前,则跳过该下标while(1)//一直循环下去,不过一定会有出口{if(i==0)i=1;else i=0;for(;objSet.vertices[i]~=x;)//让i递增,直到匹配时为止{if(i objSet.vexCount+1)returnfalse;//如果超过了存储的最大值,那么没找到,一定不构成环if(i+1==s)i+=2;//跳过原有变量的位置else
i++;}if(x==objSet.vertices[objSet.vexCount+1])returntrue;//如果一系列循环后与v匹配,则一定构成环if(i%2~=0)i-=1;//如果数字的位置是偶数,那么定位到于此配对的奇数下标else i+=1;//如果数字的位置是奇数,那么定位到于此配对的偶数下标x=objSet.vertices[i];//让x的值为配对的值s=i;//保存原有变量的下标}}//克鲁斯卡尔算法求最小生成树template typename CustomType void JMatrixGraph CustomType:
MiniSpanTree_KRUSKAL(void){VertexSet CustomType vexSet;int i,j,k,track_i=0,track_j=0;unsignedint min;while(vexSet.vexCount~=(vexnum-1)*2)//最小生成树的边为(顶点-1)×2{min=INFINITY;for(i=0;i vexnum;i++){for(j=i;j vexnum;j++){if(arcs[i][j].adj~=INFINITY&&min arcs[i][j].adj){if(arcs[i][j].adj=vexSet.lowcost&&~vexSet.IsAlreadyIn(i,j)){min=arcs[i][j].adj;track_i=i;track_j=j;}}}}vexSet.vertices[vexSet.vexCount]=vexs[track_i];//添加
各个顶点vexSet.vertices[vexSet.vexCount+1]=vexs[track_j];vexSet.vexPos[vexSet.vexCount]=track_i,vexSet.vexPos[vexSet.vexCount+
1]=track_j;//保存上条边所邻接的两个顶点位置vexSet.lowcost=min;//存放最小边if(~IsCycle(vexSet))vexSet.vexCount+=2;//计数器加二}#ifdef _JDEBUG_//调试版本的cout"邻接矩阵为:\n";for(i=0;i vexnum;i++){for(j=0;j vexnum;j++){if(arcs[i][j].adj==INFINITY)cout"?";else cout arcs[i][j].adj"";}cout'\n';}#endif for(i=0;i vexSet.vexCount;i+=2)//遍历顶点集合,显示构造过程{cout vexSet.vertices[i]"?"vexSet.vertices[i+1]'\n';}}为了适应这个算法,必须添加一个新的数据结构。由于这个结构的成员主要以顶点为主,所以命名为VertexSet。下面就是这个数据结构体的定义:
Code://顶点的集合,用于克鲁斯卡尔算法template typename CustomType struct VertexSet{VertexSet():lowcost(0),vexCount(0){}//默认构造函数bool IsAlreadyIn(int i_in,int j_in)//判断顶点是否已经在顶点集合内{int k;for(k=0;k vexCount+2;
k+=2)if(vexPos[k]==i_in&&vexPos[k+1]==j_in)returntrue;
returnfalse;}CustomType vertices[MAX_VERTEX_NUM];//顶点int vexPos[MAX_VERTEX_NUM*(MAX_VERTEX_NUM)/2];//所保存边所连接的两个顶点的位置VRType lowcost;//最短边权值int vexCount;//顶点的计数};我使用这样的主函数进行调用:
Code:#define _JDEBUG_//调试的开关(可注释)#include"JGraph.h"int
main(int argc,char*argv){JMatrixGraph char jmg;char temp;jmg.CreateGraph(UDN);cout"克鲁斯卡尔算法遍历的结果是:\n";jmg.MiniSpanTree_KRUSKAL();return 0;}对照数据结构书上的176页图,我们可以看到克鲁斯卡尔算法中构造最小生成树的过程。
对照数据结构书上的186页图,并改为无向图,我们可以看到克鲁斯卡尔算法中构造最小生成树的过程。
我自己画了一个图,并且在计算机中完美地显示出来了。
克鲁斯卡尔算法是我从昨天就开始着手的工程,直到现在才完工。从这个算法中我得知设计一个算法的重要性。另外,我的算法可能很不高效,远没有书上所讲的效率高(看我那么多for循环就知道了)。但是由于书上和网上没有很多实例,所以我就觉得自己还是要设计一个算法,以后同学们遇到困难的话,这样就不至于迷茫了。希望同学们能够自己开动脑筋,作出比我的算法更加优秀的克鲁斯卡尔算法,我到时候就会看看大家的算法,大家一同努力~
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