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首页 概率论与数理统计教程第四章

概率论与数理统计教程第四章.ppt

概率论与数理统计教程第四章

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2019-06-15 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《概率论与数理统计教程第四章ppt》,可适用于综合领域

Ch大数定律与中心极限定理随机事件在大量重复试验中中出现的频率具有稳定性教学内容与基本要求§大数定律返回目录一、伯努利大数定理设事件A在每次试验中发生的概率为p,n次重复独立试验中事件A发生的次数为nA,则对任意正数有或二、切比雪夫大数定理若X,X,‥,Xn相互独立,每个Xk的方差存在,且一致有界即存在常数c,使得令或意义:当n很大时,相互独立方差一致有界的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望三、辛钦大数定理若X,X,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望对任意正数有意义:当n很大时,独立同分布的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望§随机变量序列的两种收敛性返回目录一、依概率收敛概率的频率解释:随着观测次数n的增加频率将会逐渐稳定到概率设在一次观测中事件A发生的概率为如果观测了n次事件A发生了次则当n充分大时A在次观测中发生的频率逐渐稳定到概率p。那么在第一章中引入概率的概念时曾经指出频率是概率的反映随着观测次数n的增加频率将会逐渐稳定到概率。详细地说:设在一次观测中事件A发生的概率如果观测了次(也就是一个重贝努里试验)A发生了次则A在次观测中发生的频率当充分大时逐渐稳定到。不对若则对于总存在,当时有成立。但若取,由于即无论N多大,在N以后,总可能存在n,使所以不可能在通常意义下收敛于p。在第一章中引入概率的概念时曾经指出频率是概率的反映随着观测次数n的增加频率将会逐渐稳定到概率。详细地说:设在一次观测中事件A发生的概率如果观测了次(也就是一个重贝努里试验)A发生了次则A在次观测中发生的频率当充分大时逐渐稳定到。二、依分布收敛考虑随机序列其中直观:集中在处收敛到但(Chebyshev不等式)两种收敛的定义定义:令为随机变量序列X为另一随机变量用Fn表示Xn的CDF用F表示X的CDF、如果对每个当时则Xn依概率收敛于X记为。、如果对所有F的连续点t有则Xn依分布收敛于X记为。两种收敛的定义当极限分布为点分布时表示为依概率收敛:依分布收敛:其他收敛还有一种收敛:均方收敛(L收敛convergetoXinquadraticmean)对证明概率收敛很有用当极限分布为点分布时记为对应还有:L收敛(convergetoXinL)其他收敛依概率收敛随机变量序列当对任意则称随机变量序列几乎处处依概率收敛到X(convergealmostsurelytoX)记为:几乎处处收敛:比依概率收敛更强或或各种收敛之间的关系点分布c为实数Lalmostsurely(L)反过来不成立!QuadraticmeanprobabilitydistributionPointmassdistribution§中心极限定理一、列维林德伯格定理若X,X,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差:则随机变量的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布即对任意x满足返回目录(近似服从)二、棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量则对任意x,有显然其中X,X,‥,Xn独立同服从意义:当n充分大时,二项分布可用正态分布来近似考点与例题分析考点一:有关切比雪夫不等式考点二:大数定理考点三:中心极限定理考点一:有关切比雪夫不等式证明不等式例设随机变量X的数学期望EX=,方差DX=,则根据切比雪夫不等式估计解由有考点二:大数定理大数定理描述了独立同分布的随机变量的在一定的条件下依概率收敛于它的数学期望平均值例设X,X,‥,Xn相互独立,它们满足大数定理,则Xi的分布可以是分析:只须判断序列是否满足大数定理:独立同分布且数学期望存在(辛钦)或独立但分布不同而数学期望方差存在且方差一致有界(切比雪夫)(A)解选A因为(A)中Xi独立同分布,且存在(D)中Xi独立同分布,但EXi不存在因发散(B),(C)中Xi不同分布,且(B)中DXi=i,(C)中DXi=i均是i的无界函数例设X,X,‥,Xn相互独立,同服从参数为的指数分布,则当时,依概率收敛于分析:由辛钦大数定理知,独立同分布且期望存在的随机变量序列的平均值依概率收敛于它的期望因此只须求Yn的期望解因X,X,‥,Xn独立同分布,故X,X,‥,Xn独立同分布考点三:中心极限定理求解步骤:正确选择独立同分布随机变量X,X,‥,Xn近似计算:例检查员逐个地检查某产品,每次花秒钟检查一个,但也可能有的产品需要再花秒种重新检查一次,假设每个产品需要复检的概率为,求在小时内检查员检查的产品个数多于个的概率是多少?分析在小时内检查员检查的产品个数多于个的概率等于检查员检查个产品的时间小于小时的概率,检查每个产品花费的时间可认为是相互独立的,由列维林德伯格定理计算解设Xi表示“检查第i个产品花费的时间”(秒),即则X,X,‥,Xn相互独立同分布,为检查个产品所花费的时间,且于是故小时内检查的个数多于个的概率是例银行为支付某日即将到期的债券准备一笔现金,已知这批债券共发放了张,每张需付本息元,设持券人(人券)到期到银行领取本息的概率为问银行于该日应准备多少现金才能以的把握满足客户的兑换?解设X为该日到银行领取本息的总人数,则所需支付现金为X,设银行该日应准备现金x元,依题意有由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理知即得因此银行于该日应准备现金元才能以的把握满足客户的兑换引进了大数定律的概念要了解大数定律的意义和内容理解贝努里、辛钦大数定律了解契比雪夫大数定律。阐述了中心极限定理的含义及其客观背景要掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛拉普拉斯定理会利用中心极限定理解决一般实际应用问题。作业:第四章小结返回目录在第一章中引入概率的概念时曾经指出频率是概率的反映随着观测次数n的增加频率将会逐渐稳定到概率。详细地说:设在一次观测中事件A发生的概率如果观测了次(也就是一个重贝努里试验)A发生了次则A在次观测中发生的频率当充分大时逐渐稳定到。在第一章中引入概率的概念时曾经指出频率是概率的反映随着观测次数n的增加频率将会逐渐稳定到概率。详细地说:设在一次观测中事件A发生的概率如果观测了次(也就是一个重贝努里试验)A发生了次则A在次观测中发生的频率当充分大时逐渐稳定到。

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