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2概率统计第二讲.ppt

2概率统计第二讲

精品课件库
2019-06-15 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2概率统计第二讲ppt》,可适用于综合领域

第二讲离散型随机变量及其分布随机变量及其分类离散型随机变量的分布律一维离散型随机变量的几个常用分布常用分布间的关系二项分布、泊松分布的最可能值分布函数二维离散型随机变量离散型随机变量函数的分布律一、随机变量及其分类随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。I内容提要概念定义设随机试验E的样本空间是X=X(),是定义在上的一个单值实函数。若对任意实数x样本点的集合{|X()x}={Xx}是一随机事件则X()称为随机变量简记为X随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z等表示也可用希腊字母、、等表示。随机变量的分类随机变量二、离散型随机变量的分布律一、分布律定义X~P{X=xk}=pk,(k=,,…)Xxx…xn…Ppp…pn…分布律的性质()pk,k=,,…()三、一维离散型rv的几个常用分布退化分布(单点分布)X~P{X=a}=其中a为常数。(-)分布(两点分布)X~P{X=k}=pk(-p)-k,(<p<)k=几何分布X~P{X=k}=(-p)k-p,(<p<)k=,,…二项分布B(n,p)X~P{X=k}=pk(-p)n-k,(<p<)k=,,,…,npr(-p)k-r,k=r,r,…,(r,<p<)负二项分布又叫巴斯卡(Pascal)分布可记为NB(r,p)超几何分布X~称X服从参数为(N,M,n)的超几何分布泊松(Poisson)分布P()X~P{X=k}=负二项分布X~P{X=k}=k=,,,…()四、常用分布律之间的关系(-)分布和二项分布的关系(-)分布是二项分布B(n,p)中n=时的特款几何分布和负二项分布的关系几何分布是负二项分布NB(r,p)中r=时的特款超几何分布和二项分布的关系定理设在超几何分布中n是一个取定的正整数而k=,,,…,n则二项分布和泊松分布的关系定理设随机变量Xn~b(n,pn),(n=,,,…),且该定理也称为泊松定理。该定理表明泊松分布是二项分布的极限分布当n很大p很小时二项分布就可近似地看成是泊松分布即其中=np一般的当np时就可用泊松分布近似代替二项分布。k=,,,…为常数则五、二项分布、泊松分布的最可能值最可能值:K满足可由右边不等式组解得结论:六、分布函数定义设X为随机变量对任意实数x事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)即F(x)=P{Xx}易知对任意实数a,b(a<b),P{a<Xb}=P{Xb}-P{Xa}=F(b)-F(a)若X~P{X=xk}=pk,(k=,,…)则分布函数的性质、单调不减性:若x<x,则F(x)F(x)、非负规范性:对任意实数xF(x)且、右连续性:对任意实数x反之具有上述三个性质的实函数必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上对n维随机变量(X,X,…,Xn)F(x,x,…,xn)=P(Xx,Xx,…,Xnxn)称为的n维随机变量(X,X,…,Xn)的分布函数或随机变量X,X,…,Xn的联合分布函数。七、二维离散型随机变量定义若二维随机变量(X,Y)只能取至多可列个值(xi,yj),(i,j=,,…)则称(X,Y)为二维离散型随机变量。二维离散型随机变量(X,Y)的分布律或随机变量X与Y的联合分布律可记为(X,Y)~P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=,,…)二维离散型随机变量的分布律也可列表表示XYyy…yj…xpppjxpppjxipipipij联合分布律的性质()pij,i,j=,,…()边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)~P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=,,…)则称P{X=xi}=pi=为(X,Y)关于X的边缘分布律P{Y=yj}=pj=为(X,Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。条件分布律若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=,,…)X~P{X=xi}=pi=Y~P{Y=yj}=pj=则对固定的j,pj>,称pi|j=为Y=yj的条件下X的条件分布律同理若对固定的i,pi>,则称pj|i=为X=xi的条件下Y的条件分布律条件分布律也满足分布律的性质离散型随机变量的相互独立性对于(X,Y)~P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=,,…)若对任意的i、j有pij=pipj即P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}则称随机变量X与Y相互独立。对任意的i,i,…,in成立则称随机变量XX…,Xn相互独立。上述概念不难推广到n维离散型随机变量的情形。例如设XX…,Xn分别可取值八、离散型随机变量函数的分布律一维离散型随机变量函数的分布律定理设X一个随机变量若y=g(x)是一元单值实函数则Y=g(X)也是一个随机变量。若X~P{X=xk}=pk,k=,,…则Y=g(X)~P{Y=g(xk)}=pkk=,,…其中g(xk)有相同的其对应概率合并。显然Y的分布律也满足分布律的性质。多维离散型随机变量函数的分布律定理设XX…,Xn是一个n维随机变量若y=g(x,x,…,xn)是一个n元实值函数则Y=g(XX…,Xn)也是一个随机变量。以二维为例若(X,Y)~P(X=xi,Y=yk)=piki,k=,,…则Z=g(X,Y)~P{Z=zl}=II例题精讲(一)九’从学校乘汽车到火车站的途中有个交通岗假设在各个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是设X为途中遇到红灯的次数,求rvX的分布律、分布函数和数学期望。(四)一()设X~b(,p),Y~b(,p)若P{X}=,则P{Y}=(一)(三)(四)一()设rvX服从参数为的指数分布,则(三)(四)二()设F(x)与F(x)分别为rvX与X的分布函数,为使F(x)=aF(x)bF(x)是某一rv的分布函数,在下列给定的各组数值中应取(A)a=,b=(B)a=,b=(C)a=,b=(D)a=,b=已知X~求X,(X)的分布律XP(一)十一’设,独立同分布,且~P{=i}=,i=,,又设X=max(,),Y=min(,),()写出二维rv(X,Y)的分布律()求X的数学期望E(X)(四)十二’一元二次方程XBXC=中B,C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数,求该方程有实根的概率p和有重实根的概率q(三)()设rvX,Yiid,且P{X=}=P{X=}=,则下列各式成立的是(A)P{X=Y}=(B)P{X=Y}=(C)P{XY=}=(D)P{XY=}=(一)十二’设rvX,Y相互独立,下表列出了其联合分布律及边缘分布律的部分数值,试将其余数值填入空白处(三)二()设rvXi~且满足P{XX=}=,则P{X=X}等于(A)(B)(C)(D)XYyyyP{X=xi}=pixxP{Y=yi}=pj(四)十二’设rvX~且满足P{XX=}=,()求X和X的联合分布()问X和X是否独立为什么(一)十一’设某班车起点站上客人数X服从参数为的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(<p<),且中途下车与否相互独立,以Y表示中途下车的人数,求:()在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率()二维rv(X,Y)的概率分布(一)十一’已知甲,乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有件合格品和件次品,乙箱中仅装有件合格品从甲箱中任取件产品放入乙箱,求:()乙箱中次品数X的数学期望()从乙箱中任取一件产品是次品的概率(母鸡下蛋问题)一只母鸡下蛋的个数X~P(),(),每个蛋能孵出小鸡的概率为p(<p<),求该母鸡的下一代个数Y的分布(整值随机变量的再生性)()设X,Y独立,且X~b(n,p),Y~b(n,p),则Z=XY~b(nn,p)()设X,Y独立,且X~P(),Y~P(),则Z=XY~P()

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