必修一数学
必修一数学篇一:高中数学必修一
知识点
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总结(全)
第一章 集合与函数概念
课时一:集合有关概念
1. 集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东
西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2. 一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
3. 集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属
于。例:世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的
人……
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合
例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{…} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
1)列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}
2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{x?R| x-32} ,{x| x-32}
?语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
?Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。
4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合
(2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合 例:{x|x2=,5,
5、元素与集合的关系:
(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A
(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:aA
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
课时二、集合间的基本关系
1.?包含?关系—子集
(1)定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有
包含关系,称集合A是集合B的子集。记作:A?B(或B?,)
注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?
2(?相等?关系:A=B (5?5,且5?5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}?元素相同则两集合相等?
即:? 任何一个集合是它本身的子集。A?A
?真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) 或若集合A?B,存在x?B且x A,则称集合A是集合B的真子集。
?如果 A?B, B?C ,那么 A?C
? 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
课时三、集合的运算
课时四:函数的有关概念
1( 函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使
对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对
应,那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x),x?A(
(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x?A }叫
做函数的值域(
2( 函数的三要素:定义域、值域、对应法则
3( 函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域
(2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可
以是连续的曲线、直线、折线、离散的点
等等。
(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定
义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标,
函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ?
A)的图象(C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过
来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),
均在C上 .
(2) 画法
A、描点法: B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换。
(3)函数图像变换的特点:
1)函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x)
2)函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)
3)函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)
课时五:函数的解析表达式,及函数定义域的求法
1、函数解析式子的求法
(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系
时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)、求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系数法:
3)换元法:
4)拼凑法:
2(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域
是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法:?表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
?定义域一致 (两点必须同时具备)
4、区间的概念:
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示
课时六:
1(值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y
的函数关系式,由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的
值域,注意定义域的范围。
(4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的
类型。
课时七
1.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况(
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集(
补充:复合函数
如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x?A) 称为
f、g的复合函数。
(4)常用的分段函数
1)取整函数:
2)符号函数:
3)含绝对值的函数:
2(映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f(对应关系):A(原象)?B(象)?
对于映射f:A?B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。
所以函数是映射,而映射不一定的函数
必修一数学篇二:高一数学必修一知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)
元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西
洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)
集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内
表示集合的方法。{x?R| x-32} ,{x| x-32} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合
2
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=,5,
二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集
注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同
一集合。
?B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作
A??A 或B?
2(?相等?关系:A=B (5?5,且5?5,则5=5)
2
实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1}?元素相同则两集合相等? 即:? 任何一个集合是它本身的子集。A?A ?真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记
作AB(或BA)
?如果 A?B, B?C ,那么 A?C ? 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
nn-1
? 有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集 三、集合的运算
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 () A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x-2x+1,x?R},N={x|x?0},则M与N的关系是 .
2
4.设集合A=x?x?2,B=xx?a,若A?B,则a的取值范围是??
?
?
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.
7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x|
x-mx+m-19=0}, 若B?C?Φ,A?C=Φ,求m的值
2
2
2
2
二、函数的有关概念
1(函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数(记作: y=f(x),x?A(其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的(转 载 于:wWw.HnnsCY.cOM :
必修一数学)值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x?A }叫做函数的值域( 注意: 1(定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 值的字母无关);?定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2(值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x
?A)的图象(C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法
常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4(区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间
(3)区间的数轴表示( 5(映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应
法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯
一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f(对应关系):A(原象)?B(象)? 对于映射f:A?B来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况(
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集(
补充:复合函数
如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x?A) 称为f、g的复合函数。
二(函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2 时,都有f(x1),f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:
1 任取x,x?D,且xx; ?
2 作差f(x),f(x); ?
3 变形(通常是因式分解和配方); ?
4 定号(即判断差f(x),f(x)的正负); ?
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)( ?
1
2
1
2
1
2
1
2
(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:?同增异减?
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调
性相同的区间和在一起写成其并集.
8(函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数( (2)(奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数( (3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称( 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ?
2确定f(,x)与f(x)的关系; ?
3作出相应结论:若f(,x) = f(x) 或 f(,x),f(x) = 0,?
则f(x)是偶函数;若f(,x) =,f(x) 或 f(,x),f(x) = 0,则f(x)是奇函数(
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)?f(x)=0或f(x),f(-x)=?1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
10(函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ?
2 利用图象求函数的最大(小)值 ?
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ?
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题:
1.求下列函数的定义域:
?y?
?
y
必修一数学篇三:人教版高中数学必修1课后习题答案
人
教版高中数学必修1课后习题
人
教版高中数学必修1课后习题答案
答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案 人教版高中数学必修1课后习题答案 人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案 人教版高中数学必修1课后习题答案 人教版高中数学必修1课后习题答案 人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课后习题答案
人教版高中数学必修1课
后
习题答案