对合矩阵与对角矩阵相似的一种证法

对合矩阵与对角矩阵相似的一种证法 对合矩阵与对角矩阵相似的一种证法 第25卷第9期 2005年9月 绍兴文理学院 JOURNALOFSHAOXINGUNIVERSITY V01.2^5No.9 Sep.2005 对合矩阵与对角矩阵相似的一种证法 高泽民 (福建三明学院教育科学系,福建三明365004) 摘要:我们利用向量组的线性相关性以及分块矩阵的运算性质给出了下列命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的另一种有趣的证法:若n阶对合矩阵A 满足条件秩(A+,)=r,则A相似于对角矩阵diag{,,一,…}.这种证法连同Schmidt标准正交化方法一起,还可以用来证 明:当上述矩阵A是实对称(Hermite)矩阵时,A正交(酉)相似于对角矩阵diag{,一…}. 关键词:对合矩阵;对角矩阵;矩阵的相似;向量组;线性相关性 中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1008—293X(2005)09—0027—03 设A是一个n阶对合矩阵,即A是满足条件A=厶的矩阵,这里厶是n阶单位矩阵,则A的特征根是 1或一1,且A可以相似对角化(参见[1],第308页习题第4题).于是,A必相似于某个形如diag{,r,一L一} 的对角矩阵,这里0rn.事实上,我们有如下的命题. 命题1设A是n阶对合矩阵,且秩(A+厶)=r.则A相似于对角矩阵diag{,r,一厶一,}; 命题2设A是n阶对合矩阵,且秩(A+厶):r.若A是实对称矩阵,则A正交相似于对角矩阵 diag{Ir,一厶一}; 命题3设A是n阶对合矩阵,且秩(A+厶)=r.若A是Hermite矩阵,则A酉相似于对角矩阵 diag{,,,一厶一}. 有几种方法可以证明上述命题.例如,在[2]和[3]中,对命题1,都是利用"一个线性变换在两个基下 的矩阵必相似"这一事实来证明的.又如,我们也可以用本文开头所提及的方法,即利用特征子空间的直 和分解的方法来证明命题1.本文将介绍笔者在教学实践中发现的另一种有趣的证明方法.这种方法只需 用到向量组的线性相关性和分块矩阵的运算性质等比较基本的概念和性质,证明比较直观,篇幅也不长. 这种方法与Schmidt标准正交化方法结合起来,还可以证明命题2与命题3.下面给出这些证明. 命题1的证明已知A是n阶对合矩阵,那么A=厶.于是,易见A(A+厶):A+厶.因为A+厶 ):A+的秩是r,所以在A+厶中可以取到r个线性无关的列向量a.,a2,…,a.由A(A+厶厶,有 Aal=口,i=1,2,…,r.(1) 由秩(A+In)=r,可设卢.,卢2,…,一是齐次线性方程组(A+厶)X:0的一个基础解系.从而,又有 A:一,J.=1,2,…,lZ—r.(2) 现在,作方阵 T=(口一,口,,卢一,一), 则就是一个相似因子.事实上,设 ?.+?嘴:0,(3) 其中o一,,b一,b一是组合系数.根据矩阵的运算性质和(1),(2)两式,有 0=A(?.i+?%)=?口iAct+?:?一, '0J1i=1,=1i=1=1 即 ? 收稿Et期:2005—07—30 作者简介:高泽民(1950一),男,福建福州人,高级讲师 28绍兴文理学院(自然科学)第2H5卷 ?.一?鹕=0(4) i=tj=t /g(3)式和(4)式左右两端分别相加,得2?.:0即?.:0.ig-~(3)式比较,又得?坼=0.因 为向量组a一,a,线性无关,向量组卢一,一,也线性无关,所以组合系数.一,.,,b.-,b一,全为零. 这就证明了方阵的列向量组a一,a,,卢一,一,线性无关.因此,是非奇异矩阵.其次,根据分块矩阵 的运算性质和(1),(2)两式,有 AT=A(口一,口,,卢l,…,一,) = (Aa一,A口,,一,眠一,) = (al,…,a,,一卢l,…,一一,) : (al,…,a,,卢l,…,一,)?diag{,,,一厶一,} = T'diag{Ir,一,n一}, 即A=T?diag{It,一一,}.现在,因为是非奇异的,所以T-IAT=diag,一厶一,},因此A相似于diag{It, 一 一 ,}. 命题2的证明因为A是实对称矩阵,所以可以限制(2)式中的向量全为实的.于是向量组a--, a,,卢一,一,是由实向量所组成的.利用Schmidt标准正交化方法,把a一,a,与卢一, 一,分别化为标 准正交向量组y一,y与一,一,.再作方阵 V:(y一,y,,一,一,), 那么就是一个正交相似因子.事实上,根据Schmidt标准正交化过程,我们可以假定 yi=aa.aj,,i:1,…,r,且:懈,_『=1,…,n—r.—1] 出(1),(2)两式,有 Ay?口口=?口:y一,i:1,…,r;I=tI=1 —一—1 A8j=22,bj8k=一bjk:一8j,…,J=1,…,n—r. 因为A是对称矩阵(即-4=A),根据(5)式和(6)式,有 (5) (6) y=(Ay)=yiA:yiA=yf(A)=一y 因此 y:0,i=1,…,r,J=1,…,rt—r. 由此易见,方阵的列向量组',一,,一,一 ,是标准正交组.故是正交矩阵.其次,再由(5)式和 【6式,又 AV=A(yl,…,y,,l,…,一) : (Ayl,…,Ay,,Al,…,A一 ,) : (yl,…,y,一l,…,一一,) = (Yl,…,y,,l,…,一,)?diag{,,,一厶一 ,} =V?diag{,r,一,n一,}, 即AV=V?diag{It,一,n一,}.因为是正交矩阵,所以 V,AV:V'AV=diag{lr,一一}. 琮上所述,矩阵A正交相似于矩阵diag{It,一厶一 ,}. 仿照命题2的证法,可以证明命题3,这里就不赘述了. 参考文献: l张禾瑞等,高等代数(第~)EM3.北京:高等教育出版社,1999. 第9期高泽民:对合矩阵与对角矩阵相似的一种证法29 2北京大学数学力学系,高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978 3许以超,代数学引论[M].上海:上海科学技术出版社,1966. AMethodforProvingtheSimilarityofInvolutory MatricesandDiagonalMatrices GaoZemin (EducationScienceDepartment,SanmingCollege,Sanming,Fujian,365004) Abstract:Inthispaper,byusingthelineardependencyofasystemofvectorsandtheoperation Dropertiesofblocknla. trices,wegiveanotherinterestingmethodforprovingthepropositionthatifAisan17,x17,inv olutorymatrixwithtex. trank(A+,n)=r,thenAissimilartothediagonalmatrixtextdiag{lr,一In— r}.Thismethodtogetherwiththe Schmidt'sorthogonormalizationcanalsobeusedtoprOvethatAisorthogonal(unitary)simil artothediagonalmatrix textdiag{/r,一一r},whenevertheabovematrixAisarealsymmetry(Hermitian)衄trix. Keywords:involutorymatrix;diagonalmatrix;similarityofmatrices;systemofvectors;line ardependencv MSC(2000):11C20 (上接第17页) TheRelationshipofRiemannIntegralandLebesgueIntegral WangWenlongHanJinlin2 【l~DepartmentofMathematics,ShaoxingUniversity,Shaoxing,Zhejiang,312000;2.ShaoxingQixianMiddl. School,Shaoxing,Zhejiang,312065) Abstract:ThispaperinvestiatestherelationshipofRiemannintegralandLebesgueintegra1.Wepmvessevera1conc1u. sions.ngeneralizedRienlannintegralandLebesgueintegral,CauchyprincipalvalueintegralandLebesgueintegraJ. Keywords:Riemannintegrability;generalizedRiemannintegrability;Cauchyprincipalvalueintegral;Leb esgueinte. grability MSC(2000):45G10