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高数上册第一章数列的极限.ppt

高数上册第一章数列的极限

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2019-06-15 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高数上册第一章数列的极限ppt》,可适用于综合领域

目录上页下页返回结束第二节第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义数列的极限目录上页下页返回结束一、数列极限的定义数学语言描述:引例设有半径为r的圆,逼近圆面积S如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S当n>N时,用其内接正n边形的面积总有刘徽(刘徽割圆术)运行时,点击“(刘徽割圆术)”,或按钮“刘徽”,显示刘徽简介,并自动返回目录上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项)若数列及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散几何解释:即或则称该数列的极限为a,目录上页下页返回结束例如,趋势不定收敛发散目录上页下页返回结束例已知证明数列的极限为证:欲使即只要因此,取则当时,就有故目录上页下页返回结束例已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一不一定取最小的N说明:取目录上页下页返回结束例设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为目录上页下页返回结束二、收敛数列的性质证:用反证法及且取因故存在N,从而同理,因故存在N,使当n>N时,有收敛数列的极限唯一使当n>N时,假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一则当n>N时,故假设不真!目录上页下页返回结束例证明数列是发散的证:用反证法假设数列收敛,则有唯一极限a存在取则存在N,但因交替取值与-,内,而此二数不可能同时落在长度为的开区间使当n>N时,有因此该数列发散目录上页下页返回结束收敛数列一定有界证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界说明:此性质反过来不一定成立例如,虽有界但不收敛有数列目录上页下页返回结束收敛数列具有保号性若且有证:对a>,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)目录上页下页返回结束*收敛数列的任一子数列收敛于同一极限*********************证:设数列是数列的任一子数列若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************目录上页下页返回结束三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如发散!夹逼准则单调有界准则*柯西审敛准则则原数列一定发散说明:目录上页下页返回结束夹逼准则(准则)(P)证:由条件(),当时,当时,令则当时,有由条件()即故目录上页下页返回结束例证明证:利用夹逼准则且由目录上页下页返回结束单调有界数列必有极限(准则)(P)(证明略)目录上页下页返回结束例设证明数列极限存在(P~P)证:利用二项式公式,有目录上页下页返回结束大大正又比较可知目录上页下页返回结束根据准则可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限又内容小结若不讲“柯西准则”,则点击“内容小结”按钮,继续其它内容目录上页下页返回结束*柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”设则时,有使当因此“充分性”证明从略有柯西运行时点击相片或“柯西”按钮,可出现柯西简介并自动返回目录上页下页返回结束内容小结数列极限的“–N”定义及应用收敛数列的性质:唯一性有界性保号性任一子数列收敛于同一极限极限存在准则:夹逼准则单调有界准则*柯西准则目录上页下页返回结束思考与练习如何判断极限不存在方法找一个趋于∞的子数列方法找两个收敛于不同极限的子数列已知,求时,下述作法是否正确说明理由设由递推式两边取极限得不对!此处目录上页下页返回结束作业P,*(),*P(),()()提示:可用数学归纳法证第三节目录上页下页返回结束备用题故极限存在设,且求解:设则由递推公式有∴数列单调递减有下界故利用极限存在准则目录上页下页返回结束设证:显然证明下述数列有极限即单调增,又存在“拆项相消”法运行时,点击“(刘徽割圆术)”,或按钮“刘徽”,显示刘徽简介,并自动返回若不讲“柯西准则”,则点击“内容小结”按钮,继续其它内容运行时点击相片或“柯西”按钮,可出现柯西简介并自动返回

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