隐函数的求导公式

隐函数的求导 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 高等数学 第九章 多元函数微分学 1 y回忆所学知识： 求方程xyye，,所确定的隐函数的导数： 方程两边对x求导，得 0 yy(x, y) Fy，，xeyeyy,,,,,,y , . y，xy，ye，yye,0y (x, y)F x 在一元函数微分学中，受知识的限制，在实际应用的需要下，我们回避了在什么条件下隐函数才 能存在并且可导这个关键问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，通过例题直接给出了在不显化隐函数的情形下求隐函数导数的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 — —将y看成复合函数、方程两边对自变量x求导。现在有了多元函数偏导数的知识，我们不但可以给 出隐函数存在且可微的条件，而且可以给出隐函数的求导公式。 设函数F(x, y)在点P(x, y)的某邻域内具有连续偏导数，且00 0 (x, y)Fxy,Fxy,(,),(,) = 0在点P，则方程F(x, y)的某邻域内能唯一地确定一个具有连续0000 000y00 导数的函数y = f (x)， 它满足条件y = f (x)，且有 00 (x,y)dyFx ,,. (1) dxF(x,y)y 关于定理中隐函数的导函数的存在性与连续性的证明不能给出了，仅就公式的正确性予以证明： 将方程F(x, y) = 0所确定的函数y = f (x)代入方程，得恒等式 [x,f(x)],， F0 左端是x的复合函数，由复合函数求导法则，得 dy,F,F ，,,0 xy,,dx ?F(x, y)F(x,y) = 0连续，且，?存在P(x, y)的某邻域，使得在此邻域内，F(x,y),0,0yyy00 000 故有 (x,y)dyFx,,. dxF(x,y)y , (1)是用偏导数表示隐函数导数的公式，至此求由二元方程确定的一元隐函数的导数就有 了两种方法：?公式法；? 直接求导法。 , 当F(x, y)的二阶偏导数也都连续时，我们还可由复合函数求导法则得到隐函数的二阶导数公 式(P.85)，其推导过程请自读。但千万不要死记这个公式，应像在上册中所做的那样，将其一阶导数 (x,y)F(x,y)dyFxx,x看成复合函数，方程两边直接对求导即可。 ,,F(x,y)ydxF(x,y)y 22 验证方程,x，y,10在点(0,1)的某邻域内能确定一个连续可导的隐函数，并求隐函数 在点x = 0处的导数值。 22 设F(x, y)x，y,1 =，则 F,2x,F,2y,F(0,1),0,F(0,1),2,0， xyy 22,由定理1知，方程x，y,10在点(0,1)的某邻域内能确定一个连续可导的隐函数，由(1)式可得 dyFdyxxx,,,0,,,, , . x,0x,0ydxyFydx 定理1是用偏导数的概念解决了上册中遗留的问题，即由二元方程确定的一元隐函数的导数。自 然的问题是如何由三元方程确定二元函数的偏导数？我们有 设函数F (x, y, z)在点P(x, y, z)的某邻域内具有连续的偏导数，且00 00 高等数学 第九章 多元函数微分学 2 (x, y, z)Fxy,Fxy,(,),(,) = 0在点P，则方程F(x, y, z)的某邻域内能唯一地确定zz,0,0z00 0 0000000 一个具有连续的偏导数的函数z = f (x, y)，它满足条件z= f (x, y)，且有 0 00 FF,z,zyx. (2) ,,,,,,xF,yFzz 同于定理1，我们也只给出公式(2)的验证: 将方程F(x, y, z) = 0所确定的函数z= f (x, y)代入方程，得恒等式 ,[x,f(x)]y,y F,0， 左端是x, y的复合函数，分别对x, y求导，得 zz,, F，F,0,F，F,0， xzyzxy,, ?F(x, y, z) = 0连续，且，?存在P(x, y, z)的某邻域，使得在此邻域内F(x,y,z),0zz00 00000 F(x,y)，故有 ,z,0z FF,z,zyx. ,,,,,,xF,yFzz ,,z,zxyz 求由方程ee,，,2z0z,z(x,y)所确定的隐函数的偏导数. ,y,x, ,xyzxyze,，e(,, 解法一(公式法) 令F),2z，则 ,xy,xyz， F,,ye,F,,xe,F,,2，ezxy 由公式(2)得 ,xy,xyFyeFy,z,zxex ,,,,,,,. zz,xFe,yFe,2,2zz 解法二：方程两边对x求偏导得 ,xyye,xyz ,ye,2z，ez,0z, , ， xxxze,2 ,xyxe同理得 z,. yze,2 实际上方法二就是公式(2)的证明方法，不必记忆公式(2)，直接应用这个方法即可。 232,z 求由方程z,，,z,z(x,y)2xzy0所确定的隐函数的二阶偏导数. ,x,y 322 设 F(x,y,z),z,2xz，y，则 ， F,,2z,F,2y,F,3z,2xzxy F,z2zx由公式(2)得 ,,,，再对y求偏导得 2,xF,3z2xz 222()(),z,，23z2x2z,6z,zyy4y3z2x,z,2z. ,(),,223222,x,x,((3z2x,),)3z2x3z2x 由方程联立组成的方程组在一定的条件下也能确定一组可微的隐函数，并且这些隐函数的 (偏)导数也可由方程组直接求得，我们就不以定理的形式叙述了，只通过一个例子对方法进行说明。 22xyuv，,,0 , 设方程组u,u(x,y),v,v(x,y)u,u,v,v确定u, v是x, y的隐函数，求.xyxy,22xyuv,，,0, 高等数学 第九章 多元函数微分学 3 uuvxv02,xx,, 方程组中每个方程两边对x求偏导数得 ，解关于的二元一次方,u,vxx,，,0yuv2u2vxx 程组 ax，ay,b11121,克拉姆法则：二元一次线性方程组的系数行列式D?0时，ax，ay,b21222uuv，vx2,xx ， ,,y,uv2u2vxxDD12,有唯一解,,xy，其中是用替换D的第i列所得行列式 Db,bi12得 DD 2xuv2x 2uyy,2v,4xv，yu4xuyv ， u,,,v,,xx2222vuvu2(u，v)2(u，v) 2u2u,2v,2v 类似地，方程组中每个方程两边对y求偏导数可得关于u,v的二元一次方程组 yy yyuuv，v,2y ， ,,xuv,22uvyy 2uvy2y x2ux,2v,4v，u4uvyxyx. u,,,v,,xx2222vuvu2(u，v)2(u，v) 2u2u,2v,2v 模仿一元函数极值的概念可以给出多元函数极值的概念，并且也可以用多元函数的偏导数来判定 是否有极值。我们仍以二元函数为例介绍多元函数极值的概念与求法。 设函数z = f (x, y)在点P(x, y)的某邻域内有定义，若对该邻域内任一异于P(x, y)的00 000 0 (x, y)点P，恒有 f(x,y),f(x,y)(或f(x,y),f(x,y)) 0000 则称函数在P(x, y)点取得(或)，并称点P(x, y)为函数z = f (x, y)的，极大00 000 0 值(或极小值)统称为。 2222例如，函数z,x，y(,)(,)z,3,x，y在点取得极小值(图9-1a)；函数在点处取0000得极大值；函数(,)z,xy在点处不取得极值。 00 图9-1a 图9-1b 图9-1c 设函数z = f (x, y)在点(x, y)具有偏导数，且在点(x, y)取到极0000值，则函数在该点的偏导数为零，即 高等数学 第九章 多元函数微分学 4 f(x,y),0,f(x,y),0 . y0000x (x, y) ?二元函数z = f 在点(x,y)取得极值，?一元函数z = f (x, y)就在点x取得同类极值，0 000由一元函数取得极值的必要条件可知，必有 (,)dfxy0 , ， f(x,y),0,0x00x,x0dx 同理可推得f(x,y),0. y00 (x, y) 类似于一元函数，我们也称点(x的。显然,y)为二元函数z= f驻点未必是函数的极 00 (,)z,xy，如上例中是函数的驻点，但不是其极值点。但具有偏导的函数的极值点必是驻点。00值点 也就是说对于具有偏导数的函数其极值点的寻求范围就是驻点中换句话说，要求具有偏导的函数的极 值的第一步是将其全部可能的极值点找出来，即求其驻点。问题是找出驻点后，如何在驻点中将极值 点寻找出来，也就是说驻点满足什么条件就必是极值点？对此有下面的定理。 设函数z = f(x, y)在点(x,y)的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 00 (x,y)是其驻点，即 00 f(x,y),0,f(x,y),0， y0000x 记 f(x,y),A,f(x,y),B,f(x,y),C， 则 xyyy000000xx 2 ? 当(x, y)AC,B,0()时，函数f在(x,y)取得极值，且时，f(x,y)为极小值， A,0或C,0 0000 ()时，f(x,y)为极大值； A,0或C,0 00 2 ? 当(x, y)AC,B,0时，函数f在(x,y)不取得极值； 00 2 (x, y)? 当AC,B,0时，函数f在(x,y)可能取得极值，也可能不取得极值，即定理失效。 00 证明略。 从以上可综合出求具有偏导数的二元函数极值的步骤如下： fxy(,), 0;,? 解方程组x00 求驻点，以及函数偏导数不存在的点； ,,fxy(,),,0y00 ? 计算各驻点处二阶偏导数,,ABC； 2? 由各驻点处AC,B及A(或C)的符号，确定f(x,y)是否是极值，是极大还是极小。 00 3322 求函数f(x,y),x,y，3x，3y,9x的极值。 解方程组 2f(x,y),,,xx3，6,90;00x ,2,fxyyy(,),,3，6,,0y00 得到四个驻点：f,,f,,f,(),(,),(,,),(,,)，又. 6x，60,6y，61,0123032xxxyyy 2,, 在驻点(1,0)处，AC,B72,0且A12,0,,f(,),,，A,12B,0C,6 , ，所以为函数的极小105值； 2(1,2)处，,,AC,B72,,,0A,12B,0C,,6 , ，所以函数在该点无极值； 2,,(-3,0)处，AC,B72,,,0A,,12B,0C,6 , ，所以函数在该点无极值； 2,,, (-3,2)处，AC,B72,0且A12,0,,f(,)，A,,12B,0C,,6 , 且，所以,32,31为函数的极大值。 一元函数的驻点是可能的极值点，但非驻点也有可能是极值点，哪类点？——不可导点。完 全雷同于一元函数，二元函数的偏导数不存在的点，肯定不是驻点，但它仍然有可能是函数的极值点。 22例如函数 (,)z,x，y00在点处的偏导数不存在，但此点是它的极小值点(图9-2)。应此在求二 高等数学 第九章 多元函数微分学 5 元函数极值的步骤中的?应加上“以及函数偏导数不存在的点” 类似于一元函数的最值问题，也可用多元函数的极值解决函数的最值问题，并且也不是任一最值 问题均可求解，同于一元函数，我们也只研究三种情形： ? 若函数f = (x, y)在有界闭区域D上连续： 由连续函数的性质知，它在D上必取得最大值M 和最小值m，且最值或在内部取到，或在边界取到。若最值在内部取到，则它必为极值，因此只需将 函数在内部的极值和它在边界上的最值求出来，然后比较这些值的大小，最大的就是M，最小的就是m，——称这种方法为比较法。 ? 若函数f (x, y)在开区域E内可微：可以证明，如果可微函数f (x, y)在开区域E内有唯一的驻 点(x,y)，则f(x,y)是极大(小)值时，也就是函数的最大(小)值。——这是一种很特殊的情况。 0000 ? 实际问题：利用?的结论可知，若由实际可确定问题的最大(小)值一定在内部取到，且目标函 数在开区域E内可微且只有唯一驻点(x,y)，则f (x, y)就是所求的最大(小)值。 0000 我们举两个例子。 2 要造一容积为V的长方体无盖水池，问应如何选择水池的尺寸，使其表面积为最小。 0 V0 设水池的长为x，宽为y，则高应为,z，水池所用材料的面积为 xy VV00 S,xy，2(y,，x,)(x,(,，,))， 0xyxy VV223300令 )(,，得函数的唯一驻点：，由于在此驻点处有S,y,,S,x,,,22VVy0000x22yx 233,,)(AC,B30,,A,2,0,S,2S,1S,2S，所以，且，故是极小值。 22VVxxxyyy00 33)由于函数在内处处可微，且在唯一驻点处取到极小值，所以(,S就是函数的最小值，22VV00 133即水池的长、宽均为，高为时，其表面积最小。 2V2V002 例2采用的是?的方法，即可微函数在开区域内求得的驻点唯一后，再判定驻点是否极值、 极大还是极小即可。 有一宽为24cm的长方形铁皮，将它两边折起做成一截面积为等腰梯形的水槽( 图9-3)，问 如何截其截面积为最大。 设等腰梯形的腰长为x，腰与底边的 夹角为,，则截面积 1()S(x,,),24,2x，2xcos,，24,2x,x,sin, 图9-3 2,22,,,24xsin,,2xsin,，xsin,cos,(,x,12,,,)002 S,24sin,,4xs,，2xsin,cos,,0;inx,令 ,2222,S,x,x,,,24cos,2cos，(cos,sin),0,y ,注意到x,，故上式等价于 ,sin,00 12,2x，xcos,,0;, 2222,24cos,,2xcos,，x(cos,,sin,),0 ,,,解得驻点{(x,,)0,x,120,,,},,x,,D,，由题意可知水槽的最大截面积一定存在，且在区域823 高等数学 第九章 多元函数微分学 6 ,x,8内部取到，又因截面积函数在内可微且只有唯一的驻点，故当(cm),,时截面积最大。 S(x,,),3 例3是按方法?解的，即在求得可微函数在开区域内有唯一驻点后，再判断所给实际问题的 最值是否必在此开区域内取到即可。 前面讨论的极值问题中，例1除了限制自变量在定义域内变化外，无其他限制条件，故统称为 。但例2除对自变量长x和宽y在区间(,)内变化外，还限制它们与高z满足条件：0，, ，这类另有附加条件(或说约束条件、限制条件)的极值问题，我们统称之为。 xyz,V0 V0由于例2的附加条件比较简单，可直接从中解出,z，代入其面积函数S(x, y, z)就转化为无xy 条件极值问题了。但很多情形下难以完成这个转化，自然的想法是： 能否不转化而直接求条件极值，拉格朗日乘数法解决了这个问题。我们就从问题的结果推导一下这个方法： 函数z = f (x, y)在点( ,(x,y),0x, y)取得极值，则必定满足，假设f、,在(x, y)的某邻域内000000 ,,xy,具有连续的偏导数，且(,),(x,y),00，由隐函数存在定理1(P.85)知，可确定一个有连续y00 导数的函数y,,(x)，将它代入函数z = f (x, y)可得一元复合函数，则函数z = f (x, y)z,f[x,,(x)]在点(x, y)取得极值就转化为复合函数在点x处取得同类极值。由一元函数取得极值z,f[x,,(x)]000 的必要条件知 dydydz ,[(,)，(,)],(,)，(,),0fxyfxyfxyfxy0000xyxyx,xx,xx,x000dxdxdx ,(x,y),x00, f(x,y)，f(x,y),0， x00y00,(,y)xy00 ? 函数z = f (x, y)在条件,(x,y),0下取到极值的必要条件为： ,(x,y),x00,f(x,y)，f(x,y),0,x00y00;,(,y)x y00, ,,,(x,y),0,00 (x,y)f 00y若记，这里可视,为待定常数，又 ,,,,(,y)xy00 (x,y)f00y,(x,y)(,y) , ， ,,f,x,0,,00y00y,(,y)xy00 因此函数z = f (x, y)在约束条件,(x,y),0下取到极值的必要条件就是 ,(,)，(,),0,fxy,xyxx0000,, , ? (,)，(,),0,fxy,xyx,x0000,,,(,),xy,000 方程组?中的第一、二两式分别就是函数F(x,y,,),f(x,y)，,,(x,y)在点(x, y)处的两个偏导数，00 第三个式子就是函数F对,的偏导数。 由上面的讨论可得到下面求条件极值的 ： 要求函数z = f (x, y)在约束条件,(x,y),0下的极值，先设一辅助函数 F(x,y,,),f(x,y)，,,(x,y) 称之为拉格朗日函数， 再由函数F(x,y,,)建立无条件极值的必要条件，即方程组(1) 高等数学 第九章 多元函数微分学 7 ,,(,)，(,),0,fxyxyxx,0000,, ,(,)，(,),0,fxyxyxx,0000,,,(,),,xy000 由此方程组解出,(x,y),0的值后，则点就是函数在约束条件下。 x,y,,(x,y)f(x,y) , 注意上述方法只是取得极值的必要条件，故由方程组?得到的点只是可能的极值点，还 必须进一步加以判定是否是极值点。 , 在实际问题中，若求得的可能极值点是唯一的，由上节方法?，则可以判定它是否是极值点。 , 但方法?不能用了，即不能对由拉格朗日乘数法得到的可能极值点判定的符号来确定A,B,C是否取得极值。 因此拉格朗日乘数法主要适用于实际问题。 ,,,15 经济学中有一生产函数(即产量函数)的模型为，其中表示劳动力数量，f(x,y),cxy表示单位资本数量，与都是常数，它们根据生产的具体条件而确定。 3144现已知某企业某种产品的生产函数是，每个劳动力及每个单位资本的成本分别是f(x,y),cxy 150元和250元，该企业的总投资预算是50000。如何分配这笔资金用于安排劳动力与单位资本投入， 才能使生产量最高？最高生产量是多少？ 31 问题即求条件44下函数的最大值。作拉格朗日函数 150x，250y,50000f(x,y,),100xy 3144 ， F(x,y,,),100xy，,(50000，150x，250y) 解方程组 11,,44,1）F,75xy,150,0（,x ,33, 44, F25xy2500（2）,,,,,y ,,（3）50000150x250y0,,,, 由两?、?式可得 3311,,14444 , ， x,5yxy,,,xy5 再代入?式得 ,. y,50x,250 因为(,)是唯一可能的极值点，又由问题的实际意义知应有最大值，故企业应安排250个劳25050 动力，而把其余的资金作为资本投入方可获得最高生产量，最高生产量为. f(,),1671925050 拉格朗日乘数法可以推广到二元以上的函数和一个以上的约束条件中去： 如函数u,f(x,y,z)在条件下,(x,y,z),0,,(x,y,z),0的极值问题，就应作拉格朗日函数为 ， f(x,y,z,,),f(x,y,z)，,,(x,y,z)，,,(x,y,z) ,,,,方程组则应由F,0F,0F,0F,0F,0构成。 xyz,, 4 用拉格朗日乘数法求解前面的例2。 例2就是面积函数 S(x,y,z),xy，2(yz，xz)在约束条件下的条件极值问题。xyz,V,00作拉格朗日函数 ， F(x,y,z,,),xy，2(yz，xz)，,(xyz,V)0 求各偏导，得方程组 Fyzyz,，2，,0，,x, ,xzxz,，2，,0，,Fy3x,y,2z, , ， 2V0,,Fyxxy,2，2，,,0z,,Fxyz,,,0，V,0 因为这是唯一可能的极值点，再由实际问题的意义知，条件最小值一定存在，所以S(x,y,z)在点 1333)(处取得最小值。 ,,222VVV0002 高等数学 第九章 多元函数微分学 8 设Σ为空间一曲面，M是Σ上一点，如果Σ上任意一条过点M的曲线在M有切线，且所有切000线 PPDDDDDDE = 0 0 = 0 F = 0F = 0 Fffffff 0F(x,y),0,,xOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxO yxOyxOy U(P,,) U(P,,) U(P,,) U(F = 0,) U(P,,) U(P,,) U(P,,) U(P,,) U(P,,) U(P,,) 000000000yzz (x) () ??????? 定义在有界闭区域上的连续函数；?(x, y) (x),,,,,,,,,,,,u 00uuuuOOOO,,,,,rraa,,,、?，rrrrrr[r,-r] [r,-r] . R =，(x, y) 2121200 ,,xxdxN,??,,,,,,,, ,,,,,,,,,, []由则, (自然数)，?????????????， (,)x?,????????(,)(,)UΣΣΣΣ,(x, y) (x, y) 有条件极值问题 0000limR00000n,, ,(x,y),0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (),xxdxurrss,,,,,,,,,,,,[] [r,-r] [r,-r] rraaaaaaabbbbbbIISSRPPPPPPPPSS ，122 nnnnnnnnnMmmmDMV tttttttxxxxxyyyyyyyyy1, , xSS ii20002121222 n