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A14两角差的余弦公式
两角差的余弦公式
嘉鱼县第一中学 陈柳
一、内容和内容解析:
1、内容:
本节课的主要内容是公式的探究及应用,它揭示了单角三角函数与复角三角函数之间的内在联系,在学生的认知世界中,开辟了三角函数研究的新领域。
2、内容解析:
两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点,让学生从“特殊到一般”的探究过程中
体会
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化归、数形结合等数学思想,从而突破本节课的重点和难点:公式的发现和证明。
教材没有直接给出两角差的余弦公式,而是分探求结果,证明结果两步进行探究,并从简单情况入手得出结果。这样的安排不仅使探究更真实,也有利于学生学会探究。
二、目标和目标解析
1、掌握两角差的余弦公式,并能简单的运用公式;
2、全体学生能理解“探求结果,证明结果”这一常用的探究步骤;多数学生能在两角差余弦公式的探究过程中体会以退为进、割补思想、分类讨论、观察联想等数学思想
方法
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和思维方法,能体会到数学思维的合理性与条理性。
3、能理解怎样运用向量解决问题,充分认识和感受向量的工具价值,感受科学探索的乐趣。
三、教学问题诊断分析
1、两角差的余弦公式的猜想与证明是一个难点。因为学生可能不明白为什么
要添辅助线和如何添辅助线。
2、尽管教材在前面的习题中,已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫,但多数学生仍难以想到。教师需要在引导学生仔细观察的构成要素和结构特征的基础上,联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式,努力使数学思维显得自然、合理。
3、用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时,学生容易犯思维不严谨、不严密的错误,教学时需引导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别。
四、教学支持条件分析
整节课借助多媒体进行辅助教学,为了突破知识难点,在课件中设置多个链接 ,将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前,用多种方法的对比呈现,激发学生互相
评价
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动机,实现预计与生成的和谐统一。
五、教学过程:
生活实例引活动一:创设情境
入,体现数学与
例:一个斜坡的高为6m,水平长度为8m,已知作用在物体上
实际生活的联的力F与水平方向的夹角为60?,且大小为10N ,在力F的作用下系,增强学生的
应用意识,激发物体沿斜坡运动了?m,求力F作用在物体上的功W(
,,,,学生的学习热
解: W = F,S,F,S,cos(60:,,)F
情,同时也让学
S = 30( cos(60:,,)生体会数学知识6m ,
的产生、发展过 ,问题1:
程(且体会到探8m 1、你能找到哪些与有关的条件? ,
究两角差的余弦
2、怎样利用这些条件求出, cos(60:,,)公式的必要性,
明确本节课要研
究的课题( 3、更一般地,当、是任意角时,能不能用、的三,,,,
角函数值表示呢? cos(,,,)
引导学生弄活动二:合作探究 清探究的思路,
学会从宏观到微1、明确探究的思路与步骤
观、理性地、有
问题2:我们应该用怎样的思路和方法进行探究?
条理地思考和探
(探究的过程可以分两个步骤:第一步探求表示结果,第二究问题,避免盲
目性。 步对结果的确良正确性加以证明.)
2、探求表示结果
鼓励学生发
问题3:同学们第一反应这个结果可能是什么, 挥想象力,大胆
猜测,然后再去如果有学生提出,则引导学生取特殊值cos(,,,),cos,,cos,
验证其合理性,验证,同时分析错误的原因:余弦函数名与角之间并不是相乘关
增强学生探索问系,因此类比乘法分配律是错误的。 题、挑战困难的
勇气( 可根据学生实际情况启发,必要时可为学生搭建一个探究的
平台。
引导探究:以退为进,先讨论、都是锐角的情况( ,,,,、,
y 问题4:当、都是锐 ,,,,、,P1 1
sin引导学生运A ,角时,我们又该怎么办, ,用数形结合的思,P C cos引导学生在直角三角形或单位圆 想给出证明( ,,,, 中构造如下直角三角形,并用割、补 ,
x O M 1 B
的方法得到。
cos(,,,),OB,CP,OAcos,,APsin,,cos,cos,,sin,sin,
?cos(,,,),cos,cos,,sin,sin,(,、,为锐角,且,,,)
让学生从直方法小结:在整个证明过程中,我们通过几何的手段,得到
观角度加强对差了一个代数公式,这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想
角公式结构形式方法:数形结合( 的认识(
问题5:那这个式子是否对任意角、都成立呢, ,,
引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证。
3、证明结果
问题6:现在初步结果已经出来,目标和方向已经明确。请同
学们仔细观察上面这个式子的构成要素和结构特征。看看从中会
得到什么新的发现,
引导学生联想到终边与单位圆的交点分别为,、,
、,同时发现A(cos,,sin,)B(cos,,sin,)
,进面联想到cos(,,,),cos,cos,,sin,sin,
。 OA,OB,cos(,,,),cos,cos,,sin,sin,
通过小组讨
(组织学生分组讨论交流,寻找用向量证明的途径和方法)
论,培养学生的
y 合作交流意识。
1 同时让学生经历 (cos,,sin,)A B (cos,,sin,)用向量知识解出,, A
一个数学问题的x -1 0 1 过程,体会向量
方法的优越性。 -1
问题7、如何证明, cos(,,,),cos,cos,,sin,sin,
引导学生关注两个向量的夹角与的联系与区别,并通,,,,
过观察和讨论弄清。 ,,,,2k,,,
问题8:刚才我们一起经历了完整、曲折的探究过程,回顾
一下,大家有什么启发和感悟,对比两种证明方法,你认为哪种
更简洁,
小结:两角差的余弦公式: cos(,,,),cos,cos,,sin,sin,
(其中为任意角,简记为) ,、,C(,,,)要求学生对
问题9:两角差的余弦公式有什么特点, 公式形式进行分
析体会数学中的引导学生总结公式的特点:左边是两角差的余弦,右边同名
对称美。 弦的积的和。
学生运用所
学解决实际问活动三:知识运用
题(并享受探究1、解决引例中的问题(
成功的喜悦~
,2、公式活用:利用差角余弦公式求的值. cos15
活用公式,问题10:你能用一副三角板拼出哪些角,
加深学生对公式
?组织学生以小组为单位亲自动手,并交流展示自己的
中两角形式变化
成果; 的认识,强化整
体思想( 并激发?要求学生利用两角差的余弦公式求出所拼出角的余
学生学习数学的
弦值(
热情,体会生活六、回顾总结 中处处有数学(
师:现在请同学们一起回顾一下
1、公式探究的步骤是什么;
2、我们是怎样获得差角余弦公式的;
3、你有什么感悟和体会。
六、目标检测设计
1、必做题:课本P T T T 。 127234
(设计说明:面向全体学生,加深学生对公式的结构,公式的用法及把未知转化为已知的数学思想方法的体会、理解。)
2、选做题:课本P练习B组第4题 138
(设计说明:针对学有余力的学生设计此题,目的是培养他们综合运用三角函数公式解决问题的能力,在探索过程中获得成就感,同时在班上营造一种你追我赶学习数学的数的氛围~)
姓名 陈柳 性别 男 毕业学校 湖北师范学院 学历 大学
现任专业 中学数学中教一级 教龄 9年 技术职务
教学
简历
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2000年至今,一直在湖北省嘉鱼县第一中学任教;
参加过陈绪元同志主持的2002年——2005年全国教育“十五”规划教育
部重点课题《课程资源开发利用研究》的湖北嘉鱼一中子课题《校本教材的开
发与利用》荣获研究成果一等奖。
2004年所撰写的《运用法向量求空间的角和距离》荣获咸宁市一等奖。
获奖情况 2008年在咸宁市高中数学青年教师优质课评比(讲课)中获一等奖。
2008年制做的课件作品《等差数列》和《直线与平面垂直》,在咸宁市装
备电教作品评比活动中获一等奖。
2009年所撰写的《对开锁问题中概率的再探究》在数学通讯2009年7月
刊上发表。