购买

¥30.0

加入VIP
  • 专属下载券
  • 上传内容扩展
  • 资料优先审核
  • 免费资料无限下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 大学概率统计教程第4章

大学概率统计教程第4章.ppt

大学概率统计教程第4章

中小学精品课件
2019-04-27 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《大学概率统计教程第4章ppt》,可适用于高等教育领域

第四章随机变量的数字特征§数学期望§数学期望例:某自动化车床在一天内加工的零件中出现次品的数量X是一个随机变量。由多日统计得X的分布律如下:问车床平均一天出几个次品?Xpi数学期望设车床工作天按分布律理想化后可得平均值为§数学期望的定义例X服从~分布,则E(X)=p泊松分布的期望例设X则E(X)=。离散随机变量无期望例子连续型随机变量的数学期望定义若连续型随机变量X~f(x),如果广义积分此积分为随机变量X的数学期望,记为绝对收敛则称连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望例Γ分布的数学期望X的密度函数:解:§随机变量函数的期望定理设X为随机变量Y=g(X)是X的连续函数或单调函数,则()若离散型随机变量X~P{X=xk}=pk,k=,,…,如果级数绝对收敛则XPg(x)P…………§随机变量函数的期望()若连续型随机变量X~f(x),如果广义积分绝对收敛则证明:证明过程例某车站开往甲地的班车每小时分,分发车,一乘客因不知车站发车的时间,在每小时的任意时刻都随机到达车站,求乘客的平均等待时间解:设乘客到达车站的时间为X,等车时间为Y,则X~U,,且例于是,乘客的平均等待时间E(Y)为:连续型随机变量期望不存在的例子例定理设(X,Y)为二维随机变量,Z=g(X,Y)是(X,Y)的连续函数,()若离散型随机变量(X,Y)~P{X=xiY=yj)}=pij,i,j=,,…,二维随机变量函数的期望绝对收敛,则如果级数二维随机变量函数的期望()若连续型随机变量(X,Y)~f(x,y),如果广义积分绝对收敛则设随机变量(X,Y)的分布律如下求E(XY)例(二维离散型的数学期望)解:例例例§数学期望的性质证:(常数的期望等于它本身)(期望有线性性质)数学期望具有可加性证()设Xi(i=,,…,n)是n个随机变量Ci(i=,,…,n)是n个常数则线性性质§数学期望的性质()若X与Y独立则E(XY)=E(X)E(Y)(独立时,乘积的期望等于期望的乘积)例(数学期望的性质)例(续)例设XBn,p,则E(X)=np解:设X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数则故例(数学期望的线性性质)例课堂练习§方差方差的定义及计算定义设X是随机变量若E(XE(X))存在则定义D(X)=E(XE(X))称其为随机变量X的方差记作D(X)或Var(X)称为标准差。(方差本质是随机变量函数的期望)方差的表现形式方差的计算式(实数)例:XPYP例泊松分布的方差例泊松分布的方差例Γ分布的方差Γ分布Γ(αβ)例Γ分布的方差§方差的性质(常数的方差等于)§性质的证明证明:X与Y独立§方差的性质()设Xi(i=,,…,n)是相互独立的n个随机变量ci(i=,,…,n)是n个常数则()DX=存在常数c使得P{X=c}=。事实上c=EX。分布的数学期望和方差E(X)=pE(X)=pD(X)=E(X)E(X)=pp=pq二项分布B(n,p)的方差设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生其它结论例计算数学期望及方差设随机变量XYZ相互独立且已知X~U()Y~e()Z~Γ()设W=XXYZZ求E(W)()U=XYZ求D(U)。解:E(X)=E(Y)=E(Z)=且XYZ相互独立故得例计算数学期望及方差$变异系数矩及中心矩定义原点矩和中心矩的关系例原点矩和中心矩的计算例例随机变量的标准化设随机变量X的数学期望E(X),方差D(X)均存在且D(X)>定义一个新的随机变量则E(X*)=,D(X*)=。称X*是随机变量X的标准化了的随机变量。定义:设(XY)为二维的随机变量Cov(X,Y)=E{XE(X)YE(Y)}称为X与Y的协方差§协方差Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)协方差的计算式为:特别地,Cov(X,X)=D(X)协方差的性质()Cov(X,Y)=Cov(Y,X)()Cov(X,a)=()Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)()Cov(XY,Z)=Cov(X,Z)Cov(Y,Z)()若X与Y独立则Cov(X,Y)=二维向量的数字特征对二维随机变量(X,Y),称向量为(X,Y)的协方差矩阵可推广到n维称矩阵为(X,Y)的数学期望(均值向量)例(X,Y)有二维分布律XY求(X,Y)的数学期望和协方差矩阵解:()先求X,Y的边缘分布律例()计算X,Y的期望和方差,得:()为计算Cov(X,Y),必须计算二维随机变量函数Z=XY的期望:例例随机变量且X,Y独立,求D(XYZ)解:本题主要考察协方差的性质,D(XYZ)=D(XY)D(Z)Cov(XY,Z)D(XY)==D(X)D(Y)Cov(X,Z)Cov(Y,Z)Cov(XY,Z)=例标准化以后的随机变量协方差常数定义若随机变量XY的方差和协方差均存在,且D(X)>,D(Y)>则称为X与Y的相关系数§相关系数相关系数的性质定理()R(X,Y)=R(Y,X)()|R(X,Y)|≤()|R(X,Y)|=的充要条件为:存在常数a,b,且a≠,使得P(Y=aXb)=特别地,若a>,可得R(X,Y)=,称为正线性相关反之,称为负线性相关f(t)是关于t的一元二次方程对任意t都有证明:()|R(X,Y)|≤定理的证明定理的证明X,Y的线性相关性课堂练习独立与不相关X,Y独立时,可以推出Cov(X,Y)=,因而可以推出R(X,Y)=,即不相关反之不一定成立也就是说,X,Y不相关不能说明X,Y独立例设X~U(,),Y=X则X,Y不相关解:例例设二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布其中求X,Y的期望与方差证明:X与Y不相关,不独立解:写出(X,Y)的联合密度函数xy=xy=例再分别求出X,Y的边缘密度函数:同理:从而:同理:xy=xy=例xy=xy=可见,X,Y不相关,但是在G中,所以,X,Y不独立例补充例子

用户评价(0)

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

评分:

/87

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利