关于矩阵秩的证明

。关于矩阵秩的证明-----09数应鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组约定用E 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示单位向量，A表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质：r(A)=r(A);r(kA)=设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s}r(A)=n,当且仅当≠0r=r(A)+r(B)≤rr(A-B)≤r(A)+r(B)矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。定理1：设A,B为n×n阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)证:由初等变换可得→→即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=由性质5可得r=r则有r(A)+r(B)≥r(A+B)定理2（sylverster公式）设A为s×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n≤r(AB)证：由初等变换可得→→即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3＝　　　则r=r即r(A)+r(B)-n≤r(AB)推论(Frobenius公式)设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵，C为s×t阶矩阵，则r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)证：设r(B)=r,存在n阶可逆矩阵P，s阶可逆矩阵Q，使B=PQ=PEMBEDEquation.3Q令M=P，N=Q则有B=MN根据定理2r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN)≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN)即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)定理3设A为n×n矩阵，若A=E，那么有r(A+E)+r(A-E)=n证：根据题意有（A+E）（A-E）=O令A+E=A，A-E=A，有AA=O由定理2可知r(A)+r(A)≤n即r(A+E)+r(A-E)≤n又根据性质6有r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n故r(A+E)+r(A-E)=n推论设A为n×n矩阵且A=A，那么有r(A)+r(A-E)=n证：事实上，有→→→→=则有r=r故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4设A是s×n实矩阵，有r(E-AA)-r(E-AA)=n-s证:要证r(E-AA)-r(E-AA)=n-s即只要证r(E-AA)+s=r(E-AA)+n由初等变换有→→即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=故有r=r=n+r(E-AA)同理可证r=s+r(E-AA)综上有n+r(E-AA)=s+r(E-AA)定理5设A,C均为m×n矩阵，B,D均为n×s矩阵，则有r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)证：由分块矩阵的乘法得EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=故r=r故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)参考文献刘红星.高等代数选讲【M】.北京：机械工业出版社，2009.钱吉林.高等代数题解精粹【M】.北京：中央民族大学出版社，2005.徐忡，等.高等代数考研教案【M】.陕西;西北工业大学出版社，2009.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 书，学习资料等等打造全网一站式需求。_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567953.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567969.unknown_1234567970.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567962.unknown_1234567957.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567958.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567954.unknown_1234567949.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567918.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567914.unknown_1234567909.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567910.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown