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循环群与置换群.ppt

循环群与置换群

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2019-06-15 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《循环群与置换群ppt》,可适用于综合领域

循环群与置换群一、循环群定义设(G,◦)是一个群H⊆G,若G的元素均可由H中的若干元素经过有限次的二元运算◦而得到则称子集H生成群(G,◦)并将生成群的子集中最小的称为群(G,◦)的生成元集。注意:生成元集不一定唯一!其最小性是相对于集合的基数而言。定义若群(G,◦)的生成元集为{g}则称G为循环群g称为G的生成元并记G=<g>。同半群时的讨论类似G={gk|k∈Z}(其中可能有相同的元素)循环群是可交换的。例整数加群(Z,)是一个循环群其生成元为或即Z=<>或Z=<>。例模n的剩余类加群(Zn,n)是一个循环群。pn∈Zn是Zn的一个生成元当且仅当p与n互素。注意:做为群的生成元集与半群的生成元集之间的差异!定理循环群(G,◦)的阶=G的生成元g的阶。证设群G的阶=m,G的生成元g的阶=n。分二种情形:①n<∞在G={gk|k∈Z}中,gs=gt⇔s≡t(modn)∵若gs=gt即gst=e则st=nq。反之若st=nq则gs=gnqt=gt。因此G={g,g,g,···,gn}故m=n②n=∞在G={gk|k∈Z}中假若gs=gt则有gst=e因此G没有相同的元素故G的阶m=∞。循环群是交换群。若(G,◦)为循环群g为G的生成元则G的结构在同构的意义下完全由g的阶所确定:()若g的阶=n则(G,◦)≅(Zn,n)()若g的阶=∞则(G,◦)≅(Z,)。例如:(AF,∘)≅(Z,)证()注意到在G={gk|k∈Z}中,gs=gt⇔s≡t(modn)。作映射f:G→Zn,f(gk)=kn则f是双射。又f(gs◦gt)=f(gst)=stn=snntn即f是同构故(G,◦)≅(Zn,n)。()作映射f:G→Z,f(gk)=k则f是同构故(G,◦)≅(Z,)。二、置换群定义设S为集合称映射τ:S→S为S上的一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。定理设G为集合S上全体变换的集合则(G,∘)是一个含幺元e的半群其中运算∘是复合运算e为S上的恒等变换。定理设T(S)为集合S上所有的双射变换则(T(S),◦)是一个群。设S上的若干个双射变换组成的集合G关于◦构成一个群则称G为S上的一个变换群。集合S上双射变换的集合G关于◦构成一个群的充要条件是下面二个条件成立:()G关于运算◦是封闭的()对∀g∈G必有g∈G。例(GF,∘)和(AF,∘)都是平面上的变换群。例在已建立平面直角坐标系的平面上用σp表示平移:σp(Q)=QP用τθ表示绕坐标原点的旋转。一般地σp∘τθ≠τθ∘σp。比如取P=(,)θ=½π则有:故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群。定理任意一个群都同构于一个变换群。证设(G,∗)是群g∈G。定义变换Tg:G→G,a→g∗a。压缩或平移变换下面证明(T(G),◦)是群其中T(G)={Tg|g∈G}:若Tg(a)=Tg(b),则g∗a=g∗b,由消去律得a=b,Tg是单射对∀c∈G,有d=g∗c∈G满足Tg(d)=cTg是满射。又Tg◦Th(a)=Tg(Th(a))=Tg(h∗a)=g∗h∗a=Tg∗h(a)∈T(G),而Tg◦Tg(a)=g∗g∗a=a=g∗g∗a=Tg◦Tg(a),即Tg=Tg综合上述结论可知:(T(G),◦)是一个变换群。再证明(G,∗)≅(T(G),◦)作映射f:G→T(G),g→Tg显然f是一个满射,若Tg=Th则Tg(a)=Th(a)即g∗a=h∗a由消去律得g=h故f是单射。而Tg∗h(a)=(g∗h)∗a=Tg◦Th(a),故f(g∗h)=Tg∗h=Tg◦Th即f保持运算。综上所述知:(G,∗)≅(T(G),◦)定义设S为含n个元素的有限集合σ是S上的一个双射则称σ是S上的一个n元置换。S上的若干个置换关于运算◦构成的群称为n元置换群S上的全体置换构成的群称为n次对称群记为Snn次对称群的阶是n!。设有限集合S={a,a,⋅⋅⋅,an}上一个置换σ:S→S,ai→aj(i=,,⋅⋅⋅)则置换τ完全由有序整数对(,j),(,j),,⋅⋅⋅,(n,jn)所决定于是可以将置换表示为:通常用第一种方式表示置换等价于将置换看作:σ:i→j,(i=,,⋅⋅⋅)或例设有限集合S={a,a,a}则S上的每一个置换可以用六种不同的方式来表示。比如τ:a→a,a→a,a→a,可以表示为:通常还是用来表示。通常还是用通常还是用例次对称群S中有个元素分别是规定两个置换的复合运算∘为σ∘τ(i)=σ(τ(i))例设则于是τ∘σ≠σ∘τ即S不是交换群。实际上S是最小的有限非交换群以后可以知道一个有限的非交换群至少要含有个元素。定义设π∈Sn,π:i→i,i→i,⋅⋅⋅,ik→i并使其余的元素保持不变则称π为一个k-循环置换记为(iii⋅⋅⋅ik)。由于(iii⋅⋅⋅ik)=(ii⋅⋅⋅iki)=⋅⋅⋅=(ikii⋅⋅⋅ik),因此一个k-循环置换有k种表示方式且k-循环置换的阶为k。-循环置换只有种表示方式即恒等置换-循环置换又称为对换。注意并非每一个置换都是循环置换!例在S中我们有而定理任意一个置换都等于若干个不含公共元素的循环置换的复合。证对元素的个数n作归纳法。n=定理成立。假设对≤n个元素的置换来说定理成立考虑n元置换不妨设τ:→j,j→j,⋅⋅⋅,jk→,于是置换τ可改写为例如而置换是个≤n元的置换根据归纳法假设她可以分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积。当然这些循环置换都可以看作n个元素的循环置换。因此τ就分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积。注意不含公共元素的循环置换的乘法是可交换的。例利用循环置换的方法我们有次对称群S的元素可以表示为:(),(),(),(),(),()。次对称群S的元素可以表示为:()(),(),(),(),(),()(),(),(),(),(),(),(),()(),(),(),(),(),()()∘(),()∘(),()∘()。注意到(iii⋅⋅⋅ik)=(ii)∘(ii)∘⋅⋅⋅∘(ikik)=(iik)∘(iik)∘⋅⋅⋅∘(ii)即一个循环置换可以分解成若干个对换的乘积但表示法是不唯一的。例如推论任一置换都可以分解成若干个对换的乘积且所含对换个数的奇偶性是确定的。若置换σ可以分解成奇数个对换的乘积则称σ为奇置换否则称σ为偶置换。二个偶置换的乘积是偶置换二个奇置换的乘积是偶置换奇置换与偶置换的乘积是奇置换。奇置换的逆是奇置换偶置换的逆是偶置换。n次对称群Sn中全体偶置换构成一个群称为n次交代群记为An。A={(),(),()}定理任一个有限群都同构于一个置换群。证因为有限群(G,∗)同构于一个变换群(S,◦)于是G与S对等即S是有限集故(S,◦)为置换群。

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