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首页 2019-2020学年高中数学 2.2 等差数列的前n项和学案 北师大版必修5

2019-2020学年高中数学 2.2 等差数列的前n项和学案 北师大版必修5.doc

2019-2020学年高中数学 2.2 等差数列的前n项和学案…

沙漠骆驼
2019-06-01 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2019-2020学年高中数学 2.2 等差数列的前n项和学案 北师大版必修5doc》,可适用于高中教育领域

学年高中数学等差数列的前n项和学案北师大版必修看课本完成下列问题梳理知识、若干根钢管堆放成如图所示的一堆共层最上一层为第一层各层的钢管根数以此构成一个数列,,,,,,计算这堆钢管共有多少根?表示为:看下图计算:上图可以表示为:①②①②得:∵、一般对于一个等差数列的前n项和可写出:Sn=aa根据通项公式an=a(n)d上式可写为:Sn=a(ad)①如果倒序相加根据等差数列的性质am=an(nm)d(如a=an(n)d)可写为:Sn=an(and)②把①、②两等式两边分别相加得Sn==∴Sn=联想记忆梯形的面积S=分别是体形的上底下底和高在等差数列中可以看成是梯形的面积S可以看成是梯形的上底可以看成是梯形的下底可以看成是梯形的高根据等差数列通项公式an=a(n)d前n项和Sn可以由a,d,和n表示为:Sn=、等差数列的性质:①若数列是等差数列是其前n项的和那么成等差数列如下图所示:证明:②奇数项和与偶数项和的关系:设数列是等差数列是奇数项的和是偶数项项的和是前n项的和则有如下性质前n项的和当n为偶数时其中d为公差证明:当n为奇数时则(其中是等差数列的中间一项)证明:③、前n项和与通项的关系:若等差数列的前项的和为等差数列的前项的和为则基础自测记等差数列{an}的前n项和为Sn若a=S=则S等于()ABCD已知等差数列{an}中前n项和为Sn若aa=,则S等于()ABCD已知等差数列{an}满足aa=aa=则它的前项的和S等于()ABCD已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn且,则使得为整数的正整数n的个数是()ABCD数列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差数列则byax的值为()A正实数B负实数C零D不确定例已知数列{an}满足a=,an=(n≥),令bn=求证:数列{bn}是等差数列例在等差数列{an}中()已知a=,a=,求a()已知a=,S=求a和S()已知前项和为前项积为且d>,求a例在等差数列{an}中已知a=,前n项和为Sn且S=S求当n取何值时Sn取得最大值并求出它的最大值练习设两个数列{an},{bn}满足bn=若{bn}为等差数列求证:{an}也为等差数列设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S=,S=,Tn为数列的前n项和,求Tn等差数列{an}中a<,S=S,该数列前多少项的和最小?练习一、选择题等差数列{an}的前n项和为Sn若a=,a=,则S等于()ABCD在等差数列{an}中已知a=,aa=,则aaa等于()ABCD已知某等差数列共有项其奇数项之和为偶数项之和为则其公差为()ABCD已知等差数列{an}的前三项分别为a,a,a,则这个数列的通项公式为()Aan=nBan=nCan=nDan=n在等差数列{an}中若aaaaa=,则aa的值为()ABCD等差数列{an}的前n项和满足S=S下列结论中正确的是()AS是Sn中的最大值BS是Sn中的最小值CS=DS=二、填空题设Sn是等差数列{an}的前n项和,a=,S=,则S=已知数列{an}、{bn}都是公差为的等差数列其首项分别为a、b,且ab=a、b∈N设cn=(n∈N),则数列{cn}的前项和等于三、解答题已知数列{an}中a=an=(n≥,n∈N),数列{bn}满足bn=(n∈N)()求证:数列{bn}是等差数列()求数列{an}中的最大项和最小项并说明理由等差数列{an}的奇数项的和为偶数项的和为首项为项数为奇数求此数列的末项和通项公式设Sn是等差数列{an}的前n项和已知SS的等比中项为SSS的等差中项为求数列{an}的通项公式已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn且满足:a×a=,aa=()求通项an()若数列{bn}满足bn=,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列?若存在求出c的值若不存在请说明理由§等差数列的前n项和看课本完成下列问题梳理知识、若干根钢管堆放成如图所示的一堆共层最上一层为第一层个层的钢管根数以此构成一个数列,,,,,,计算这堆钢管共有多少根?表示为:看下图计算:上图可以表示为:①②①②得:EMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquation、一般对于一个等差数列的前n项和可写出:Sn=aaaa…an根据通项公式an=a(n)d上式可写为:Sn=a(ad)(ad)(ad)…(a(n)d)①如果倒序相加根据等差数列的性质am=an(nm)d(如a=an(n)d)可写为:Sn=an(and)(and)(and)…(an(n)d)②把①、②两等式两边分别相加得Sn=(aan)(aan)(aan)(aan)…(aan)=n(aan)∴Sn=联想记忆梯形的面积S=分别是体形的上底下底和高在等差数列中sn可以看成是梯形的面积Sa可以看成是梯形的上底an可以看成是梯形的下底n可以看成是梯形的高根据等差数列通项公式an=a(n)d前n项和Sn可以由a,d,和n表示为:Sn=、等差数列的性质:①若数列是等差数列是其前n项的和那么成等差数列如下图所示:EMBEDEquation证明:∵∴∴EMBEDEquationEMBEDEquation=∴,,为等差数列。②奇数项和与偶数项和的关系:设数列是等差数列是奇数项的和是偶数项项的和是前n项的和则有如下性质前n项的和当n为偶数时其中d为公差证明:①②①②得:(共个公差)当n为奇数时则(其中是等差数列的中间一项)证明:共项①共项②①②得(d和d个数一样多相加为零)③、前n项和与通项的关系:若等差数列的前项的和为等差数列的前项的和为则基础自测记等差数列{an}的前n项和为Sn若a=S=则S等于()ABCD答案D已知等差数列{an}中前n项和为Sn若aa=,则S等于()ABCD答案B已知等差数列{an}满足aa=aa=则它的前项的和S等于()ABCD答案C已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn且,则使得为整数的正整数n的个数是()ABCD答案D数列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差数列则byax的值为()A正实数B负实数C零D不确定答案C例已知数列{an}满足a=,an=(n≥),令bn=求证:数列{bn}是等差数列证明∵an==∴===∴=∴bnbn=∴数列{bn}是等差数列例在等差数列{an}中()已知a=,a=,求a()已知a=,S=求a和S()已知前项和为前项积为且d>,求a解()方法一设首项为a,公差为d,依条件得,解方程组得∴a=()×=方法二由d=,得d===,由an=am(nm)d,得a=ad=×=()∵a=,S=,∴解方程组得a=,d=,∴a=ad=×=,S=×=()设数列的前三项分别为ad,a,ad,依题意有:,∴,∴∵d>,∴d=,ad=∴首项为∴a=例在等差数列{an}中已知a=,前n项和为Sn且S=S求当n取何值时Sn取得最大值并求出它的最大值解方法一∵a=S=S∴×d=×d∴d=∴an=(n)×()=n∴a=即当n≤时an>,n≥时an<∴当n=或时Sn取得最大值且最大值为S=S=×EMBEDEquation()=方法二同方法一求得d=∴Sn=n·()=nn=EMBEDEquation∵n∈N,∴当n=或时Sn有最大值且最大值为S=S=方法三同方法一得d=又由S=S,得aaaaa=∴a=,即a=∴当n=或时Sn有最大值且最大值为S=S=练习设两个数列{an},{bn}满足bn=若{bn}为等差数列求证:{an}也为等差数列证明由题意有aaa…nan=bn①从而有aaa…(n)an=bn(n≥),②由①②得nan=bnbn,整理得an=,其中d为{bn}的公差(n≥)从而anan===(n≥)又a=ba=∴aa=b==综上anan=d(n∈N)所以{an}是等差数列设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S=,S=,Tn为数列的前n项和,求Tn解设等差数列{an}的公差为d,则Sn=nan(n)d,∵S=,S=,∴,即,解得,∴=a(n)d=(n),∵=,∴数列是等差数列,其首项为,公差为,∴Tn=nn等差数列{an}中a<,S=S,该数列前多少项的和最小?解由条件S=S可得ad=ad即d=a由a<知d>,即数列{an}为递增数列方法一由得,解得≤n≤∴当n为或时Sn取最小值∴该数列前项或前项的和最小方法二∵S=S∴aaa=a=∴a=又∵a<,∴公差d>从而前项或前项和最小方法三∵S=S∴Sn的图像所在抛物线的对称轴为x==,又n∈Na<,∴{an}的前项或前项和最小方法四由Sn=nad=EMBEDEquationn结合d=a得Sn=·n·n=EMBEDEquationa(a<)由二次函数的性质可知n==时Sn最小又n∈N故n=或时Sn取得最小值练习一、选择题等差数列{an}的前n项和为Sn若a=,a=,则S等于()ABCD答案C在等差数列{an}中已知a=,aa=,则aaa等于()ABCD答案B已知某等差数列共有项其奇数项之和为偶数项之和为则其公差为()ABCD答案C已知等差数列{an}的前三项分别为a,a,a,则这个数列的通项公式为()Aan=nBan=nCan=nDan=n答案A在等差数列{an}中若aaaaa=,则aa的值为()ABCD答案C等差数列{an}的前n项和满足S=S下列结论中正确的是()AS是Sn中的最大值BS是Sn中的最小值CS=DS=答案D二、填空题设Sn是等差数列{an}的前n项和,a=,S=,则S=答案已知数列{an}、{bn}都是公差为的等差数列其首项分别为a、b,且ab=a、b∈N设cn=a(n∈N),则数列{cn}的前项和等于答案三、解答题已知数列{an}中a=an=(n≥,n∈N),数列{bn}满足bn=(n∈N)()求证:数列{bn}是等差数列()求数列{an}中的最大项和最小项并说明理由()证明因为an=(n≥,n∈N),bn=所以当n≥时bnbn====又b==所以数列{bn}是以为首项以为公差的等差数列()解由()知bn=n,则an==设函数f(x)=,易知f(x)在区间(∞,)和(,∞)内为减函数所以当n=时an取得最小值当n=时an取得最大值等差数列{an}的奇数项的和为偶数项的和为首项为项数为奇数求此数列的末项和通项公式解设等差数列{an}的项数为m,公差为d,则数列的中间项为am,奇数项有m项偶数项有m项依题意有S奇=(m)am=①S偶=mam=②①÷②,得=解得,m=,∴数列共有m=项把m=代入②得a=,又∵aa=a∴a=aa=且d==an=(n)×=(n∈N,n≤)设Sn是等差数列{an}的前n项和已知SS的等比中项为SSS的等差中项为求数列{an}的通项公式解方法一设等差数列{an}的首项a=a公差为d则Sn=nad依题意有整理得∴a=d=或a=d=∴an=或an=经检验an=和an=均合题意∴所求等差数列的通项公式为an=或an=方法二因Sn是等差数列的前n项和易知数列是等差数列依题意得解得或由此得a=SS=a=SS=或a=a=∴d=或d=∴an=a(n)×=或an=a(n)×()=n故所求等差数列的通项公式an=或an=n已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn且满足:a·a=,aa=()求通项an()若数列{bn}满足bn=,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列?若存在求出c的值若不存在请说明理由解()由等差数列的性质得aa=aa=,所以a、a是关于x的方程xx=的解又公差大于零所以a=,a=易知a=,d=,故通项为an=(n)×=n()由()知Sn==nn,所以bn==方法一所以b=,b=,b=(c≠)令b=bb,解得c=当c=时bn==n,当n≥时bnbn=故当c=时数列{bn}为等差数列方法二当n≥时bnbn==,欲使{bn}为等差数列只需c=(c)且c=c(c)(c≠)解得c=unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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