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让学生体验过程 让学生建构概念—《函数的单调性》课例设计.doc

让学生体验过程 让学生建构概念—《函数的单调性》课例设计

胡文华
2019-05-13 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《让学生体验过程 让学生建构概念—《函数的单调性》课例设计doc》,可适用于高中教育领域

让学生体验过程 让学生建构概念《函数的单调性》课例设计温州中学    赵曙 一、内容和内容解析本节课是新课程人教A版高中数学(必修)§单调性与最大(小)值的第一课时单调性是函数的一个重要性质,在中学数学内容中有十分重要的地位它和后面的函数奇偶性,合称为函数的基本性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础另外在比较几个数大小、对函数作定性分析以及与不等式等其他知识的综合应用上都有广泛的应用同时在这节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学教科书让学生观察已学函数的图象,通过探究、分析、归纳、总结给出了函数单调性的概念明确了函数单调性是相对于某个区间而言的然后由单调性的定义对函数单调性进行较为严格的证明例题的设计由浅入深由直观到抽象。所以形成增(减)函数的概念利用函数的单调性定义证明函数的单调性是本课时的重点。二、目标与目标解析通过观察一些函数图象的特征形成增(减)函数的直观认识再通过具体函数值的大小比较认识函数值随自变量的增大(减小)的规律由此得出增(减)函数单调性的定义。通过由定义证明函数单调性的步骤培养用代数推理证明方法解决函数单调性问题的能力。函数单调性的研究经历了从直观到抽象以图识数的过程在这个过程中让学生通过自主探究活动体验数学概念的形成过程的真谛培养学生分析、归纳、总结、及数学表达等基本数学思维能力。三、问题诊断分析学生在初中已粗略研究过一些函数的增减性对单调性已有一定的感性认识这对概念的理解有一定的好处。但在构建单调性概念的过程中在以下两个方面可能会出现问题:、单调性概念的形成怎样从定性分析到定量分析从直观认识到数学符号表达。这里可以从具体函数模型出发从具体到一般利用图表观察、比较、归纳、概况出定义。、定义中“任意自变量的值”较抽象难理解可采用举反例加深理解。四、学习行为分析、先通过问题情境的创设如气温的变化来增强学习函数单调性的兴趣。、通过二次函数的图象让学生体会图象的升降发现函数值与自变量之间的变化关系意义建构单调性的定义把握数学对象的本质属性。、由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性因此要在概念的形成上下工夫并让学生参与单调性概念的描述活动。在课堂上突出对概念的分析不仅仅是为了分析单调性的定义而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步认识并且在以后的学习中学有所用。五、教学支持条件设计由于学生只学过一次函数、正反比例函数、二次函数所以对单调性的研究也只能限于这几种函数。从学生的认知结构来看他们只能根据图象观察出变化趋势所以在教学中要充分利用好图象的直观性发挥多媒体教学的优势。具体可借助几何画板等信息技术演示函数的动态变化过程让学生通过对图象、图表等各种形式表现的变化态势以及与此相关联的各个方面进行观察得以充分感知。六、教学过程设计教学流程创设问题情境从观察具体函数图象导入↓直观认识与定量分析增(减)函数↓尝试概括增(减)函数的定义↓利用图象说出函数的单调区间↓利用定义证明函数的单调性↓课堂练习及时巩固交流反馈↓学生归纳小结、教师评价(一)创设情境激趣引题问题:整个上午(::)天气越来越暖,中午时分(::)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多,暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山(:)才开始转凉,画出这一天::期间气温y作为时间x函数的一个可能的图象(示意图)将你的图象和同桌同学的相比较,有差别吗有相同的地方吗师生互动:生:我的图象与同桌的不同但变化趋势是一样的从左到右看图象先上升接着下降再上升最后下降。师:很好!从这个问题可以发现:函数是描述事物运动变化规律的数学模型如果了解了函数的变化规律那么也就基本把握了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质就显得非常重要。今天我们就一起来研究函数的一个性质(板书课题)单调性与最大(小)值设计意图:从学生身边熟悉的情景引入课题激发学生的学习兴趣有利于学生集中注意力投入后续的探究活动。本题是一个开放性问题由题意可以画出许多不同的图象但归纳出本题的共同点是一致的这是一个从发散到收敛的思维过程。在解决本题的过程中需要同桌互助分享成果交流表达这是一种很好的学习方式。(二)探索归纳形成概念借助图象直观感知问题:观察函数的图象请指出图象的变化规律师生互动:生:图中在y轴左侧是下降的在y轴右侧是上升的(从左到右看)图中在y轴左侧是下降的在y轴右侧也是下降的师:填空:对图来说、在区间上f(x)的值随着x的增大而.、在区间上f(x)的值随着x的增大而.生:(∞,)上减小   (,∞)上增大设计意图:从学生最熟悉的二次函数,反比例函数入手获取对图象的直观认识再自然地过渡到自然语言并体会同一函数在不同区间上的变化差异抽象思维构建概念问题:在离开图象的情况下你能说明y=x在(-∞)上y随x的增大而减小吗?(学生分组讨论)师生互动:生:取值师:如何取?生:在(-∞)上取一些值比如:x=---……等等。师:(板书)x ……----……y ……   ……师:在(-∞)上取一些值确实能说明在这些点处x大y就小但是(-∞)上有无数多个值对于那些没有取到的值是否也能保证x大y就小呢?(学生积极讨论)生:不能生:比如y=xx∈R取x=-f()=x=f()=师生共同归纳:①取值必须在(-∞)内取②不能在(-∞)内取几个特殊的值师:既然取几个特殊值不行那在(-∞)如何取值而所取的值又能代表全体呢?生:取两个任意的值一个记为另一个记为师:用它们怎样说明y随x的增大而减小呢?生:只要在的条件下能得到就可以了设计意图:指导学生从定性分析到定量分析从直观认识到数学符号表达通过学生对问题的讨论辩析明确了在(-∞)上取特殊值并不能代表全体培养了质疑的能力问题:通过问题的研究你能用准确的数学符号语言表述出减函数的定义吗师生互动:生:函数y=x在(-∞)上图象是下降的用函数解析式来描述就是:对于(-∞)上的任意的xx当x<x时都有x>x即函数值随着自变量的增大而减小具有这种性质的函数叫减函数师生共同探究得出减函数严格的定义然后学生类比得出增函数的定义.板书定义:一般地设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值xx当x<x时都有f(x)>f(x)那么就说函数f(x)在区间D上是减函数对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值xx当x<x时都有f(x)<f(x)那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.设计意图:培养学生归纳总结的能力让学生由特殊到一般从具体到抽象归纳出单调性的定义完成对概念的第三次认识培养学生的逻辑思维能力质疑辨析巩固概念问题:本课开头情景中的函数在()上的单调区间有哪些?以及每个区间上它是增函数还是减函数设计意图:让学生学会借助图象找单调区间问题:()某同学为了证明函数在上是增函数,他取代入得的值发现他说此函数在上是增函数他的做法对吗()可以肯定的是此函数在上不是  ()函数,当满足条件  时()因为函数在区间上都是减函数所以在上是减函数,这句话对吗师生互动:生:()不对,要任意的两个值()减函数()()错师:是区间上的任意两个自变量的值,不能以特殊值来说明单调性,但可以举反例验证函数不是增(减)函数归纳要点:.xx具有任意性.必须指明区间设计意图:()是学生最容易犯的错误通过对定义中关键字的辨析加深对定义的理解,并不犯类似错误()是逆向思维的训练学生可通过本题掌握如何去判断一个函数在区间D上不具单调性()表明了一次函数的单调性与k的符号有关,为判断基本函数的单调性埋下伏笔函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数一般不能认为函数在上是增(或减)函数,让学生体会单调性是函数的局部特征(三)实例演练,应用概念问题:求函数f(x)=xx的单调区间师生互动:生:通过图像可知:f(x)在(-∞,)上是增函数在(,∞)是减函数变式:求函数f(x)=axbxc(a≠)的单调区间师生互动:生:讨论师生共同归纳为:a>           f(x)在(-∞-)上单调递减x=     在-∞上单调递增a<            f(x)在(-∞-)上单调递增x=   在-∞上单调递减师:二次函数在对称轴的左右两侧单调性相反二次函数的单调性只与开口方向和对称轴有关设计意图:由已知函数图象说出函数的单调递增递减区间进一步说明了作出图像是判断函数单调性的方法之一。通过变式不仅进一步巩固这种方法而且得出了二次函数的单调性只与开口方向和对称轴有关的结论这为以后求解有关二次函数的单调性问题提供了方法依据问题:证明函数在上是增函数.变式:证明函数在上是增函数.变式:若函数在上是增函数,求的取值范围变式:若函数在上是增函数,求的取值范围师生互动:针对学生可能出现的问题组织学生讨论、交流,最后由老师板书证明过程并引导学生归纳证明函数单调性的步骤:取值作差变形定号判断设计意图:初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤使学生熟悉用定义证明函数单调性的基本步骤培养严格推理证明的能力通过变式,拓宽学生的视野,培养发散思维与解题能力(四)归纳小结通过增(减)函数概念的形成过程你学习到了什么?增减函数图象有什么特点?如何根据图象指出单调区间?利用定义证明函数单调性的步骤是什么?师生互动:()概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.()证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论.()数学思想方法:数形结合.设计意图:以问题的方式让学生交流在本节课学习中的体会、收获交流学习过程中的体验和感受师生合作共同完成小结.七、设计反思()本教学设计采用现代教学模式,即:创设情境,引导探究,质疑答辩,实例练习,归纳小结的教学模式,在教学过程中,能够营造一个宽松、和谐、积极、民主的学习氛围使每位学生在“观察问题、分析问题、解决问题”中成为问题的探索者研究者和发现者()要实现新知的建构学习,教师创设适当的情境十分的重要这可以很好的激发学生的兴趣,激发他们的求知欲,有助于探索新知【点评】:本课(案)例的教学目标是让学生经历函数单调性概念的认识过程理解增减函数的定义掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤领会函数单调性是直观刻画函数本质的一种性质在这个过程中从直观到抽象从图形语言到数学语言让学生通过自主探究活动体验函数单调性、增(减)函数概念的形成过程使学生学会数学思考的基本方法从而培养学生的数学思维能力、整堂课采用布鲁姆的发现式教学模式布鲁姆认为“发现不限于那种寻求人类尚未知晓之事物的行为正确地说发现包括着用自己的头脑亲自获得知识的一切形式”采用一天的气温变化和学生熟悉的函数模型通过直观把现象重新组织,学生能超越现象再进行组合从而获得函数变化的一种直观领悟、从设计过程看本课例在重视直观感知的基础上建立函数单调性的概念瑞士心理学家皮亚杰的研究表明学生的智力活动是与他对周围物体的作用密切联系在一起的原苏联心理学家加里培林也认为学生的智力活动是在对物体(或物体的代替物如模型、标本等)的直观感觉中形成的本堂课借助多种模型让学生自然地体会函数增减的变化表达函数增减的变化从而达成教学目标。、课需要个性一节好课其设计、过程、学生参与等都需要把握好。本课例在设计上过程给人以自然流畅的感觉体现学生参与的主体地位整个案例过程都留有学生经历函数单调性形成的点。强调数学课设计的自然是为了使得数学过程能带给人挑战的、愉悦的、成功的享受。一节课总不能让学生的弦一直绷得很紧要快慢恰当讲求和谐教师只是在学生最需要点拨的时候轻轻一点自然就有如浴春风之感恍然大悟之感。、在实际操作一堂教学案例时遇到某些知识学生还没有学过的但又是能力范围内的不用担心可以大胆地放开课堂教学的平台让学生有所思、有所想、有描述本案例呈现出来的就是这个过程:在初步形成函数单调性时应是学生表达和体验新概念时的一个高潮然后在使用增(减)函数的定义证明函数的单调性时应该是培养学生数学思维能力的又一个高潮。利用好这两个高潮点既可以帮助学生彻底理解新概念又可以强化增(减)函数定义的应用从而实现数学教学的最终目标~提升学生数学素养。

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