广西2013届高三理科数学试题精选（6年高考(大纲版)+2年模拟）分类汇编5：数列 Word版含答案（ 2013高考）

广西2013届高三理科数学试题精选（6年高考(大纲版)+2年模拟）分类汇编5：数列 Word版含 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 （ 2013高考） 广西省2013届高三理科数学试题精选(6年高考(大纲版)+2年模拟)分类汇编5:数列 一、选择题 1 (,广西南宁二中2012届高三3月模拟考试数学,理,试题,已知各项不为0的等差数列满足{}an2,数列是等比数列,且,则= ( ) {}bba,bb222aaa，,n77597122 A(16 B(8 C(4 D(2 【答案】A 2 (,广西南宁市2012届高三第三次适应性测试数学,理,试题,已知数列,,是正项等比数列,若an ,则数列,,的通项公式为 ( ) a,2,2a，a,16a234n n,22,nn,1nA(2 B(2 C(2 D(2 【答案】C 3 (,广西百所高中2013届高三第三届联考试题数学理 ,一个等差数列第5项,aaaa,，，,10,3且6123则有 ( ) A( B( ad,,,2,3ad,,,2,311 C( D( ad,,,3,2ad,,,3,223 【答案】A a4 (,2008全国1理科,已知等差数列满足,,则它的前10项的和aa，,4aa，,10S,,,n243510 ( ) A(138 B(135 C(95 D(23 【答案】C 5 (,广西南宁市2013届高三第二次诊断测试数学,理,试题,已知等差数列{a}的前n项和为nS,S=-18,S=-52,{b}为等比数列,且b =a,b=a,则b的值为 ( ) n913n557715 A(64 B(128 C(-64 D(-128 【答案】C ,,a,46 (,广西武鸣高中2012届高三第二次模拟考试数学,理,试题,已知等比数列a中,公比,若,q,0n2则a，a，a最值情况为 ( ) 123 ,4,41212A(最小值 B(最大值 C(最小值 D(最大值 【答案】B S{}aa,1SS,,24nnn1d,2kk，2k,7 (,2011年高考,理,,设为等差数列的前项和,若,公差,,则 ( ) A(8 B(7 C(6 D(5 【答案】D aaaaaaaaaa8 (,2010年高考,全国理1,,已知各项均为正数的等比数列{},=5,=10,则=n123789456 ( ) A( B(7 C(6 D( 5242 【答案】A 9 (,广西桂林等四市2013届高三第一次联考试题,理数, ,等差数列的公差为2,若a,a,a成等比数{a}134n 列,则a= ( ) 2 A(-6 B(-8 C(8 D(6 【答案】A 10(,广西梧州市蒙山县2012届高三高考模拟考试数学,理,试题,已知等差数列,,的前项和为,且aSnnn满足,则的值是 ( ) S,5,tana158 33 ,A( B( C( D( 3,333 【答案】A 11(,广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高三第二次联合模拟考试数学理试题,WORD版, ,已知{a}为等n差数列,其前n项和为S,若a=6,S=12,则S等于 ( ) n3312 A(288 B(90 C(156 D(126 【答案】C 12(,广西陆川县中学2012届高三第二学期第三次数学模拟试题,理, ,已知各项均为正数的等比数列{}an 14满足,若存在两项使得的最小值为 ( ) aaa,，2aa,aaa,，则4,765mnmn1mn 359A( B( C( D(不存在 243【答案】A ,,1a13(,2012年高考,大纲理,,已知等差数列的前项和为,则数列的前100nSaS,5,15,,,,nn55,,aann，1,,项和为 ( ) 1009999101A( B( C( D( 101100100101【答案】A 14(,广西南宁市2012届高三第二次适应性测试数学,理,试题,已知数列的前n項和满足:,且,那么a为 ( ) 5 A(1 B(9 C(1O D(55 【答案】A S615(,广西南宁市2012届高三第一次适应性测试数学,理,试题,等比数列{}a中,80aa，,,则=n23 s2 ( ) A(-10 B(10 C(20 D(21 【答案】D a16(,2010全国理2,如果等差数列中,,那么 ( ) aaa，，,12aaa，，，,...,,n345127 A(14 B(21 C(28 D(35 【答案】C a17(,广西陆川县中学2012年春季期高三第一次模拟数学试题,理科,2012年5月7日 ,已知等差数列的,,n前项和为,若,则当取得最小值时,的值为 ( ) aSS,,0,SSnn1610nn A(6 B(7 C(8 D(10 2【答案】 解:法一:由 S,S,S,S,a，a，a，a,0,a，a,0,d,,a,06101067891089115所以可知该数列为单调递增数列,由可知,,故最小 a，a,0a,0,aS89898法二:若公差,则在上递减,有,与已知不符合 n,NSS,Sd,0n，610 6，10所以,由可知这个关于的二次函数的对称轴为,所以最小.选答S,SSnSd,0n,,8610n8 2案C a18(,广西区八桂2013届高三第一次模拟数学,理,试题,已知等比数列中,各项都是正数,且,,n aa，189,,成等差数列,则等于 ( ) a2aa123 2aa，67 A( B( C( (D) 322，12,12，322, 【答案】A a19(,广西陆川县中学2012届高三第二学期第三次数学模拟试题,理, ,等差数列的公差为2,若,,n 成等比数列,则aaa,,a,1342 ( ) B( C(8 D(6 ,8,6A( 【答案】B 二、填空题 20(,2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国2,已知数列的通项an,,，52,其n Sn前n项和为S,则___________. lim,n2?,nn5【答案】 , 2 21(,2007年高考数学全国I理科,等比数列{}a的前n项和为S,已知,2S,3S成等差数列,则{}a的Snn123n公比为______. n,1【答案】等比数列{}a的前n项和为S,已知,2S,3S成等差数列,,又43SSS,，,Saaq,nn123213n1 12即,解得的公比. {}a4()3()aaqaaaqaq，,，，，q,n1111113S922(,2009全国2理,设等差数列的前项和为,.若,则=__________. {}aSa,5ann53mS5 【答案】9 23(,2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷,全国?理,,设等差数列a的前项和为,若Sn,,nn ,则=__________. S,72aaa，，9249 【答案】解: a是等差数列,由,得 S,72？,Sa9,a,8,,n9955 . ？aaaaaaaaaa，，,，，,，，,,()()3242492945645 24(,广西区八桂2013届高三第一次模拟数学,理,试题,数列a中,已知,,n ,,,,则_______. a,1a,2a,aaanN,，,()12nnn127，， 【答案】1 三、解答题 11725(,广西南宁二中2012届高三3月模拟考试数学,理,试题,数列的前bbbTb,，,且为,,{}nnnn，11 242n项和. 1(1)求证:数列是等比数列,并求的通项公式; {}bb,{}nn 2 12k*(2)如果对任意恒成立,求实数k的取值范围. {}bnNn,,,,27不等式nn(122)，,nT 11111*【答案】解: (1) 对任意,都有,所以 n,Nbb,，bb,,,()nn，1nn，1 24222111则成等比数列,首项为,公比为 b,b,,3{}n1 2221111n,1n,1所以, b,,，b,，，3()3()nn2222 a26(,2009全国2理,设数列的前 n项和为,已知 SaSa,,，1,42,,nn11nn，(1) 设 ba2a{b},,，证明数列是等比数列nn1nn， (2) 求数列{a}的通项公式 n 【答案】解:(I)由及，有 a,1,Sa,，42aaa，,，42,aabaa,，,？,,,325,231nn，112121121由Sa,，42，(((? 则当时，有Sa,，42(((((? n,2nn，1nn,1?,?得aaaaaaa,,？,,,44,22(2) nnnnnnn，,，,1111 又baa,,2，？,bb2？{}b是首项b,3，公比为,的等比数列( nnn，1nn,1n1 aa3n,1nn，1(II)由(I)可得， baa,,,,232？,,nnn，1nn，1224a13n？数列是首项为，公差为的等比数列( {}n224a1331n,2n？， an,,,(31)2(1),，,,,nnnn2244427(,广西南宁市2012届高三第一次适应性测试数学,理,试题,(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 设数列{}a的前n项和为S,已知aSSnnN,,，，,1,21(*). nn11nn， (1)求数列{}a的通项公式; n n*n{}bT,2.(2)若,数列的前n项和为,证明: TnN,,,bnnnnn，1,aa 【答案】 28(,广西区八桂2013届高三第一次模拟数学,理,试题,(注意:在试题卷上作答无效) (((((((((( ,a已知数列满足,,且 a,1a,2ananN,，,，,(2cos)(1)3,,,,n12nn1， (?)求通项公式; an a(?)设的前n项和为S,问:是否存在正整数使得SmS,?若存在, mn,,,nn221nn,【答案】 29(,广西南宁市2013届高三第二次诊断测试数学,理,试题,(注意:在试题卷上作答无效) (((((((( a1n已知数列{a}满足. ,a(n,N),a,1nn，1，1a，22n 1 (1)求证:数列{}是等差数列; an b11nnn-1(2)设b表示数列{a}在区间((),()]上的项的个数,试求数列{}的前n项和S,并求关于nnnn22an的不等式S<2013最大正整数解. n 【答案】 (注意:在试题卷上作答无效) 30(,2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷,全国?理,,((((((((((((( 11n，在数列中, {}aaaa,,，，1,(1)n11nn，n n2an(I)设,求数列的通项公式 {}bb,nnn (II)求数列的前项和 {}anSnn aa1nn，1【答案】解:(I)由已知得,且 ba,,1,，11n，12nn1即 bb,，nn，1n 21从而 bb,，21 21 bb,，322 21 bbn,，,(2)nn,1n,1 2111于是 bb,，，，，......n1,21n 2221= ,,n2(2)n,1 2 又 b,1 1 1故所求的通项公式 b,,2n,1n 21n(II)由(I)知, ,,,,ann(2)2n,,11nn 22 nnnkk？S(2),,,(2)= ,,,kkn,1,1kk22,1,,11kkk nnk而,又是一个典型的错位相减法模型, (2)(1)knn,，,,,12k,1,1kk nkn，2n，2易得 = ？Snn(1)，,,,4，,4n,,11n,1kn,1222k 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式.具有让考生和一线教师重视 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用.也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 31(,广西南宁市2012届高三第三次适应性测试数学,理,试题,(本小题满分12分)已知数列,,满足,. a,2ana,(n，1)a，2n(n，1)n1n，1n a,,n,,(?)证明:数列为等差数列,并求数列,,的通项; ann,, an,1n(?)设,求数列的前项和. T,,c,3nc,nnn2 【答案】 32(,广西陆川县中学2012届高三第二学期第三次数学模拟试题,理, , 2*na,2(,)aaab已知数列中,点在函数的图象上,.数列的前项和为,,fxxx()2,，,,nN,1nn，1nn 12Sb,1SbS,,,且满足,当时,. n,2n1()nnn 2 lg(1)，a证明数列是等比数列; (I),,n S(II)求 n nT2Snnlim[],(III)设,求的值. n,cTaaac,，，，,(1)(1)(1),122nnn,,k,1n31，21n，k 22【答案】解:(?)由已知, aaa,，2？，,，aa1(1)nnn，nn，11 lg(1)，an，1,两边取对数得 ,即 a,2？，,a11lg(1)2lg(1)，,，aa,21nnn，1 lg(1)，an 是公比为2的等比数列 ？，{lg(1)}an 112,,,,,,,,,(?)当时,，，展开整理得: SbSSSSn,2,,,,nnnnn,1n22,,,, , S,S,2SSn,1nnn,1 若,则有,则矛盾,所以, S,1，b,0S,0b,0S,0nn22n ,,111？,,? 在等式两侧同除以得,为等差数列 SS,,2nn,1SSSnnn,1,, 11 ？,2n,1？S, nS2n,1 n n,1n,1n,122n,1(?)由(?)知？，,13a ,,,2lg3lg3lg(1)2lg(1)，,,，aan n1 n012n-12n-12-12222122，，，…+23= ？,，，Taa(1)(1)…(1+a),,,,,333…3,3 n12n 211 c,,,n(2n,1)(2n，1)2n,12n，1 1n21,nT311111,,,1n？,,,,，,，，, 3(1),c(1)knnn，22,，，，3352121nn3131，n1k,12211 n3T1n？,, n,lim[]c2,,k,1n，331k 33(,广西区八桂2013届高三第一次模拟数学,理,试题,(注意:在试题卷上作答无效) (((((((((( 212n,,a已知数列满足 aaaannN，，，,,,，,,222(),,n123n a(?)求数列的通项公式; ,,n a(?)求数列的前n项和S ,,nn 【答案】 34(,广西陆川县中学2012年春季期高三第一次模拟数学试题,理科,2012年5月7日 ,在等差数列和{a}n *等比数列中,,,(),且成等差数列,成等比数列. {b}a,1b,2b,0b,a,ba,b,a，2Nn,n11n122223(?)求数列、的通项公式; {a}{b}nn S，4nn2(?)设c,a,数列的前和为,若,a，t恒成立,求常数的取值范围. {c}SntnbnnnnS，2nn 【答案】解:(?)设等差数列的公差为,等比数列的公比为. q(q,0){a}{b}dnn 2(1，),2，2,dq ,由题意,得,解得 d,q,32(2),(1，)(3，2)qdd, n,1?, b,2,3a,3n,2nn n(?) c,3,b,2,2,3,2nn 12nn，1?,2(3，3，？，3),2n S,c，c，？，c,3,2n,3n12n 2n，1Sn，43,32nn,,3，1? n，1Sn，23,3n nn?恒成立,即t,(3,3n，3). 3，1,3n,2，tmin nnf(n)令f(n),3,3n，3,则f(n，1),f(n),2,3,3,0,所以单调递增. 故t,f(1),3,即常数的取值范围是(,,,3) t {}aa,035(,2011年高考,理,,(l2)(:)本小题满分分注意在试题卷上作答无效设数列满足且n1((((((((( 11,,. 1aann，1,,11 n 1,an，1nkSb,{}aS,1(?),,:. ; (?)求的通项公式设记证明,nnb,nk,1n 11【答案】解:(I)由题设 ,,1,aann，1,,11 1即是公差为1的等差数列。 {},an1 11又 ,,故n1,.1n,,aa11 1所以 a,,1.nn (II)由(I)得 1,an，1b,,n n ， …………8分 nn，,1 , nn，,1 11 nn,,111Sb,,,,,, …………12分 nn，1,,()11.nk,,11kkn，，11kk 36(,广西武鸣高中2012届高三第二次模拟考试数学,理,试题,已知数列{}a是各项均不为0的等差数列,Snn 12*为其前n项和,且满足,数列满足为数列的前n项和. {}b{}baSnN,,()bT,,nn,nnnn21，1aann (1)求数列{}a的通项a和T; nnn ,n(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围. ,nN,,Tn,，,8(1)n 【答案】 n*a37(,2008全国2理,设数列的前项和为.已知,,. Saa,naS,，3n,N,,nn1，1nn nb(?)设,求数列的通项公式; bS,,3,,nnn *(?)若,,求的取值范围. aaa?n,Nnn，1 【答案】解: nn(?)依题意,,即, SSaS,,,，3SS,，23，，11，1nnnnnn nn，1由此得 SS,,,32(3)nn，1 因此,所求通项公式为 nn,1*,.? bSa,,,,3(3)2n,Nnn nn,1*(?)由?知,, Sa,，,3(3)2n,Nn 于是,当时, n?2 aSS,, nnn,1 nnnn,,,112,，,，,,,，3(3)23(3)2aa nn,,12,，，,23(3)2a, nn,,12 aaa,,，，,43(3)2nn，1 n,2，，3,,n,2, a2123,，,,,,,2,,,,，， 当时, n?2 n,23,, aaa??,，,1230,,nn，12,, . ,,a?9 又. aaa,，,3211 综上,所求的的取值范围是,，,9， a，, 2na38(,2010全国理2,已知数列的前项和. nSnn,，()3,,nn an(?)求; lim,,nSn aaan12n(?)证明:. 3，，，…,22212n【答案】 ,,39(,广西梧州市蒙山县2012届高三高考模拟考试数学,理,试题,(12分已知正项等比数列的前项和ann 为S,且aa,64,S,14,设b,loga. n243n2n ,,(1)求数列b的通项公式; n bn(2)若c,1,c,c，，求证:c,3. 1n，1nna，n 【答案】 40(,广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高三第二次联合模拟考试数学理试题,WORD版, ,已知公比为q 3的等比数列{a}的前6项和为S=21,且成等差数列. 4a,a,an61222(?)求a; n (?)设{b}是首项为2,公差为,a的等差数列,其前n项和为T,求不等式的解集. T,b,0nn1nn 3 a4aa【答案】解:(?)?、、成等差数列, 1222 4a，a,3a,4a,2a?即,?q=2 12212 6a(1,2)1S,,21则 61,2 1 解得 a,13 2n,1 a,? n3 117n,b2(n1)()(?)由(?)得,? ,a,,,，,,,1n333 1132nn,n2(1)() T,n，n,,,n236 (n,1)(n,14)? T,b,0,,,0nn6 *解得 1,n,14(n,N) *即不等式的解集为 T,b,0{n,N|1,n,14}nn 41(,广西桂林等四市2013届高三第一次联考试题,理数, ,(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 对数列,规定为数列的一阶差分数列,其中. {a}{,a}{a},,,,aaanN(*)nnn，1nnn 22规定为的二阶差分数列,其中 ,,,,,aaa.{a}{,a}nnn，n1n22(?)已知数列,,的通项公式,试判断,,,是否为等差或等比数 annnN,，,(*)a,a,,,annnn 列,并说明理由; 2n(?)若数列,,首项,且满足,求数列,,的通项公式. a,1,,,，,,,aaanN2(*)aa，n1nnnn12013年高考桂林市第一次模拟考 22，，，，，，【答案】解:(?),a,a,a,n，1，n，1,n，n,2n，2, nn，n1 ,且, ,,,,aa2,,a4nn，11 ,,?是首项为4,公差为2的等差数列,不是等比数列 ,an 2? , ，，，，,a,2n，1，2,2n，2,2n 2?由定义知,是首项为2,公差为0的等差数列; ,,,an 也是首项为2,公比为1的等比数列 2nn(?),即, ,a,,a，a,,2,a,,a,,a，a,,2，1，1，1nnnnnnn n即,又, ,a,a,2,,,aaannn，1nn n? a,2a，2，1nn 132a,1?,?,,, a,4,2，2a,32,4，2a,12,3，21423 n,1猜想 a,n,2n 0证明:?)当时,a,1,1，2; n,11 k,1?)假设时,则. n,ka,k,2k k，,11，，kkk当时, .结论也成立. n,k，1aakk,，,,，,，222212，，kk，1 n,1an,,2?由?)、?)可知, n 42(,2007年高考数学全国I理科,已知数列中,,, aa,,，(21)(2){}aa,2n,1,2,3,nn，1n1 (?)求的通项公式; {}an 34b，n(?)若数列中,,,,证明: {}bb,2n,1,2,3,b,n1，1n23b，n , 2,,ban,1,2,3,nn43, 2007年普通高等学校招生全国统一考 【答案】解:(?)由题设: aa,,，(21)(2)nn，1 ,,,，,，(21)(2)(21)(22)an , ,,,，(21)(2)2an . aa,,,,2(21)(2)nn，1 所以,数列是首项为,公比为的等比数列, 22,21,a,2,,n n, a,,,22(21)n n，，即的通项公式为,. an,123，，，…a,,，2(21)1nn，，(?)用数学归纳法证明. (?)当时,因,,所以 ba,,2n,122,112,ba?,结论成立. 11 (?)假设当时,结论成立,即2,ba?, nk,kk43, 也即023,,,ba?. kk43, 当时, nk,，1 34b，k b,,,22，1k23b，k (322)(432),，,bk , 23b，k (322)(2),,bk, ,,0 23b，k 11,,,又, 322b，，k23223 (322)(2),,bk所以 b,,2，1k23b，k 2,,,(322)(2)b k 4?(21)(2),,a k,43 ,,a2. 41k， 也就是说,当时,结论成立. nk,，1 根据(?)和(?)知,. 2,ba?n,123，，，…nn43, 43(,广西百所高中2013届高三第三届联考试题数学理 ,已知等比数列中,,等差数列{}aaa,,2,18n13 {},2,20.bbaaabbbb中且,，，,，，，,n11231234 (1)求数列的通项公式; {}aanm (2)求数列的前项和 {}bS.nnn 【答案】 44(,2010年高考,全国理1,,(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 1a已知数列中, . aac,,,,,n1,11n，an 51b(?)设,求数列的通项公式; cb,,,,,nna,22n (?)求使不等式成立的的取值范围 . aa,,3cnn，1 a,251n【答案】解:(?)， a,,,,,22，1n22aann 2a14n ,,，,，即2,42bb，1nn,,,aaa222，1nnn 221 bbab，,，,,,,又故4(),1,1nn，111a,3321 21所以是首项为，公比为4的等比数列， b，,{}n 3321n,1 b，,,，4n3312n,1 b,,，,4n33 (?)aacaac,,,,,1,1,2.由得 1221 用数学归纳法证明:当时. aa,c,2nn，1 1(?)当时，，命题成立; n,1aca,,,21 a1 (?)设当n=k时，，则当n=k+1时， aa,kk，1 11 acca,,,,,kk，，21aakk，1 故由(?)(?)知，当c>2时 aa,nn，1 2cc，,411当c>2时，令，由得 aa,aac，,，,a,nnn，1aa2nn 10当 ,,,,caa时2,3n 310当时，，且 1,,aaa,3c,n 3 11于是 aaaaaa,,,,,()()nnn，1aa3n 1 aaa,,,(1)n，1n 3a,1当时， aaaa,,,,3,3n,lognn，，113 a,310因此不符合要求 c, 310所以c的取值范围是 (2,] 3 45(,广西南宁市2012届高三第二次适应性测试数学,理,试题,已知数列满足 (1)若数列满足,证明:数列是等差数列; (2)证明: 【答案】 46(,2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-全国2,设数列的首项{}an 3,an,1. aan,,,(01)234，，，，，，…1n2 (1)求的通项公式; {}an (2)设baa,,32,证明,其中为正整数. bb,nnnnnn，1 3,an,1【答案】解:(1)由 an,,，，，，234…，n21整理得 . ,,,,aa1(1)nn,1 21又,所以是首项为,公比为的等比数列,得 10,,a{1},a1,a,1n1 2n,11,, aa,,,,1(1),,n12,, (2)方法一: 3由(1)可知,故. b,0,,a0nn 2 22那么, bb,，nn1 22,,,,aaaa(32)(32)nnnn，，11 2 33,,aa,,,,nn2,,，,,32(32)aann,,,,22,,,, 9an2,,(1).an22又由(1)知a,0且a,1,故, bb,,0nnnn，41 bbn,，因此 为正整数. nn，1 方法二: 3由(1)可知, ,,,aa，01nn 23,an因为, a,，1n2 (3),aann所以 . baa，，，111,,,32nnn2 33,a,,n由可得, a,1aa(32),,nnn,,2,, 23,a,,n2即 aaa(32),,nnn,,2,, 3,an两边开平方得 . aaa32,,nnn2即 为正整数. bbn,，nn，1 2x47(,2012年高考,大纲理,,函数。定义数列如下:是过两点xx,2,fxxx()23,,,,,n11n， 的直线与轴交点的横坐标。 PQxfx(4,5),(,())PQxnnnn(1)证明:; 23,,,xxnn，1 x(2)求数列的通项公式。 ,,n 2【答案】解:(1)为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点f(4)4835,,,,P(4,5)fx() PQxfx(4,5),(,())，可知，直线PQ斜率一定存在。故有 nnnn fx()5,n直线的直线方程为，令，可求得 PQy,0yx,,,5(4)n x,4n 2xxx,,，2843,5nnn ,,,,,,,,5(4)4xxx xxx,，，422nnn 43x，n所以 x,，1nx，2n 下面用数学归纳法证明23,,x n x,223,,x当时，，满足 n,111 43x，5k假设时，23,,x成立，则当时，， nk,nk,，1x,,,4k，1kxx，，22kk 55115由即也成立 23,,x,,,,，,,,,,,,,,xx234251243k，1kkxx，，2442kk 综上可知对任意正整数恒成立。 23,,xn 下面证明 xx,nn，1 2243432(1)4xxxxx，，,,,,，nnnnn由 xxx,,,,,，nnn1xxx，，，222nnn 2由，故有即 xx,,0xx,231120(1)43,,,,,,,,,,，,xxxnnnnn，1nn，1 综上可知恒成立。 23,,,xxnn，1 43x，43x，2n(2)由得到该数列的一个特征方程即，解得或 x,3x,,1xx,,,230x,x,，1nx，2x，2n 433xx，,4355xx，，nnnn？ ? ? x,,,,33x,,,，,(1)1，1，1nnxx，，22xx，，22nnnn xx,,33x,,32311nn，11两式相除可得,而 ,,,,， x，，1213xx，，151nn，11 ,,x,311n故数列是以为首项以为公比的等比数列 ,,,3x，15n,, n,19514，,x,311n,1nx,故。 ,,,3,,,()nnn,,11351351，，，，x，135n y,55x,4x,,法二(先完成?,用?证?):(?) 的方程为,令y,0得 QPQ4n，1n,2nnnx，2nx,4xx,,,235 54(不动点法) 令,得函数的不动点. xx,,,1,3gx()4,,x,,412x，2x，25(1)x，n5 ，1？，,,,x15nxx，，22nn(3)x,n5 ，1？,,,,x31nxx，，22nnxx，，11x，1nn，1n上两式相除得.可见数列是等比数列,其中公比q,5,首项为 ,,5,,x,3xx,,33nnn，1x，1x，11n,1,n4. 即为所求. ()nN,,,3？,,，,,,353xn,1nx,3x,3351，，1n44(?)?由上知(当时). x,,,，,,n,132(1)2n,,11nn，，，，3513514?又(当时). n,1x,,,33n，1n，，351,,44?易见,数列单调递减,所以数列单调递增,即 ()nN,()nN,,3,,,,n,1n,1，，，，351351xx,. nn，1 综合???得:23,,,xx. nn，1