八年级数学下册 17.5 实践与探索 知识拓展 一次函数图象“新”用途素材 （新版）华东师大版
一次函数图象“新”用途
通过作一次函数的图象,可以直观地确定出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集及二元一次方程组的解等问题(可以体会到方程(组)、不等式的解及二元一次方程组的解与图象上点的坐标密切关系,可品味出数学结合思想的内在的魅力(下面举例说明如下
例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少,
分析
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:(1)一次函数的图象与两条坐标轴围成的图形是直角三角形，•两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值(
(2)确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得(
解:设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A,B(
6 令y=0得x=-;令x=0得y=6( k
6?A(-，0)、B(0，6) k
6?OA=||、OA=?6?=6 k
116?=|-|×6=24 ?S=OAOB22k
44 ??k?= ?k=? 33
例2 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s,
解:方法一:设再过x秒物体速度为17m/s(由题意可知:2x+5=17
解之得:x=6(
方法二:速度y(m/s)是时间x(s)的函数，关系式为:y=2x+5(
当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6(
方法三:由2x+5=17可变形得到:2x-12=0(
从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为(6，0)(得x=6(
1
【说明】:这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答(它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归(
例3 用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4
分析:(1)可将不等式化为--3>0，作出直线=--3，然后观察:自变量取何值时，xyxx图象上的点在轴上方, x
或(2)画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察:对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方,
解:方法(1)原不等式为:-x-3>0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3•的图象(图1)(从图象可以看出，当x<-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3(
方法(2) 把原不等式的两边看着是两个一次函数，•在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4(图2)，从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x<-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4•上相应点的上方，此时有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是<-3( x
(1) (2)
393 例4 在直角坐标系中有两条直线:L:y=x+和L:y=-x+6，它们的交点为P，•12255
第一条直线L与x轴交于点A，第二条直线L与x轴交于点B((1)A、B两点的坐标;(2)
359xy,,,,用图象法解方程组:;(3)求?PAB的面积( ,3212xy，,,
2
分析:(1)由“直线上点的坐标与二元一次方程的解的关系”以及“直线与x轴的交点的纵坐标为0”确定A,B两点的坐标(
(2)方程组中的两个方程变形后正好是该题中的两个函数，交点P(2，3)•的坐标即方程组的解(
(3)=7，边上的高是P点纵坐标的绝对值，从而求出面积( ABAB
39 解:(1)由y=x+，当y=0时，x=-3， ?A(-3，0) 55
3 由y=-x+6，当y=0时，x=4， ?B(4，0) 2
39(2)由3x-5y=-9，可得y=x+ 55
3同理，由3x+2y=12，可得y=-x+6 2
393在同一直角坐标系内作出一次函数y=x+的图象和y=-x+6的图象， 255
观察图象(如图)，得L、L的交点为P(2，3) 12
359xy,,,x,2,, ?方程组的解是 ,,y,33212xy，,,,
1 (3)S=×(OA+OB)×3=10(5 ?ABP2
ykxb,，,【说明】:1(解关于x,y的方程组，从“数”的角度看，•相当于考虑当自变,ymxn,，,
量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线y=kx+b与y=mx+n的交点坐标(
2(两条直线的交点坐标，•就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解(
3
例5 两种移动电话计费方式如下:
全球通 神州行
月租费 50元/月 0
本地通话费 0.40元/分 0.60元/分
用函数方法解答如何选择计费方式更省钱(
解:解法一:
设每月通话时间累计x分钟，则全球通月消费y=0.40x+50元;•神州行月消费:y=0.60x元(
在同一坐标系中画出两个一次函数的图象(
yx,，0.4050,, 解方程组: ,yx,0.60.,
x,250,, 得 ,y,150.,
所以两图象交于点(250，150)(
由图象可以看出:
当0
0.60x，
当x=250时 0.40x+50=0.60x，
当x>250时 0.40x+50<0.60x(
因此，当一个月通话时间少于250分时，选择神州行省钱;•当一个月通话时间等于250分钟时，选择全球通与神州行没有区别;当一个月通话时间多于250分钟时，选择全球通省钱(
解法二: 设一个通话时间累计为x分，全球通与神州行两种计费差额为y元，则y随x变化的函数关系式为:
y=(0.40x+50),0.60x
化简为:y=,0.20x+50
4
在直角坐标系中画出这个函数图象(
计算出直线y=,0.20x+50与x轴的交点为(250，0)(
由图象可以看出:
当00，即选神州行省钱(
当x=250时，y=0，即选神州行与全球通没有区别(
当x>250时，y<0，即选全球通省钱(
由此可以得到与方法一相同的结论(
例6 已知直线y=(1,3k)x+2k,1(
k为何值时,直线经过原点;
k为何值时,直线与y轴的交点坐标是(0,,2);
3k为何值时,直线与x轴的交于(,0); 4
k为何值时,y随x增大而增大;
k为何值时,直线与直线y=,3x,5平行,
研析:此题综合考查了一次函数的基本性质:
,(1)直线过原点2k,1=0(
,(2)直线与y轴交点为(0,,2) 当x=0时,y=,2(
33,(3)直线于x轴交于(,0) 当x=时,y=0( 44
,(4) y随x增大而增大1,3k,0(
,(5)直线与y=,3x,5平行1,3k=,3(
1解:当2k,1=0,即k=时,直线经过原点( 2
1当x=0时,y=,2,即2k,1=,2,k=,时,直线与y轴的交点坐标是(0,,2)( 2
333当x=时,y=0,即0= (1,3k)+2k,1,k=,1(当k=,1时,直线与x轴交于(,0)( 444
5
1当1,3k,0,即k,时, y随x增大而增大( 3
4当1,3k=,3,即k=时,直线于y=,3x,5平行( 3
,,【说明】: 对于直线y=kx+B,直线过原点B=0, y随x增大而增大(减小) k,0(k
,,0);与另一直线y=mx+n平行k=m(
把数与形有机地结合起来思考问题、解决问题,有时会取得非常良好的效果,这种数形结合的思想方法是本章的一个主线(
6
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