计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式李孟山 李少元摘 要：本文结合公路匝道线形曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道坐标的通用公式。 关键词：复化辛普森公式；公路匝道；坐标计算 分类号：P21 文献标识码：B 文章编号：0494-0911(2000)01-0035-01ACompoundSimpsonFormulaforCalculatingCoordinatesofRingRoadPointonHighwayLIMeng-shan,LIShao-yuan▲ 一、引言 匝道是组成高等级公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线型而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉及多个基本曲线，
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半径也较小，这就为坐标计算带来了困难，本文依据公路匝道线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道点位坐标的通用公式。二、公路匝道点位坐标计算1.公路匝道中线形式 公路匝道中线是由直线―回旋曲线―圆曲线(R1)―回旋曲线―圆曲线(R2)―回旋曲线―直线的顺序组成的，其中R1≠R2。 2.回旋曲线上点位坐标方位角的计算 如图1，设回旋曲线起点A的曲率为ρA，其里程为DKA；回旋曲线终点B的曲率为ρB，其里程为DKB.Ax′y′为以A为坐标原点，以A点切线为x′轴的局部坐标系；AXY为线路坐标系。图1 局部坐标系与线路坐标系 由于回旋曲线上各点曲率半径Ri和该点离曲线起点的距离li成反比，故此任意点的曲率为ρi=1/Ri=li/c(c为常数) (1) 由式(1)可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DKi点的曲率为 (2) 当曲线右偏时，ρA，ρB取正；当曲线左偏时，ρA，ρB取负。 在图1中有 (3) 将式(2)代入式(3)得 (4) 若已知回旋曲线起点A在线路坐标系下切线坐标方位角αA，则里程为DKi点切线坐标方位角为αi=αA+βi (5) 将式(4)代入式(5)得 (6) 对于式(6)，当ρA＝0，ρB＝0时，ρi=0，则αi=αA，式(6)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当ρA＝1/R，ρB＝1/R时，ρi=1/R,则\2，式(6)代
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圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。 可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(6)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。 3.回旋曲线点位坐标计算 由图1可得回旋曲线上点位在Ax′y′坐标系下坐标计算公式： (7) (8) 设回旋曲线起点A在线路坐标系下的坐标为(XA,YA)，将式(6)替代式(8)中的βi，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标： (9) 对于式(9)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。 首先将积分区间［DKA,DKi］划分为n等分，步长为H＝(DXi-DKA)/n,分点里程为DXK=DKA+KH,K=0,1,2,…，n,记子区间［DXK,DXK+1］的中点里程为，则DXK+=(DXK+DXKH)/2，K=0,1,…，n-1。 由此式(9)用复化辛普森公式表示为 (10) 式中：αA为回旋曲线起点A的切线方位角；为里程点切线方位角；αΚ为里程DXK点切线方位角；αi为里程DKi点切线方位角。 对于式(10)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。三、复化辛普森公式的使用说明 为满足点位坐标计算精度，经验算取n=2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程DKi和各分点里程代入式(2)、(6)、(10)便可获得待求点DKi的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向。四、结论 本文得到的式(10)是计算公路匝道点位坐标的通用公式。当曲线的设计半径较小时，为保证点位计算精度，n的取值可适当的大些。该公式很容易在袖珍计算机和CASIO-4500P上编程。■作者单位：李孟山(石家庄铁道学院，河北石家庄050043) 李少元(石家庄铁道学院，河北石家庄050043)参考文献：［1］李庆扬，王能超，易大义.数值分析［M］.武汉：华中理工大学出版社，1988. ［2］王伯惠.道路立交工程［M］.大连：大连理工大学出版社，1992.收稿日期：1999-09-232000年第1期
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