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河海大学弹性力学徐芝纶版第三章.ppt

河海大学弹性力学徐芝纶版第三章

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2019-06-07 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《河海大学弹性力学徐芝纶版第三章ppt》,可适用于医药卫生领域

第三章平面问题的直角坐标解答第三节位移分量的求出第四节简支梁受均布荷载第五节楔形体受重力和液体压力例题第一节逆解法与半逆解法多项式解答第二节矩形梁的纯弯曲第三章平面问题的直角坐标解答§-逆解法和半逆解法多项式解法当体力为常量按应力函数求解平面应力问题时应满足按求解⑶多连体中的位移单值条件。(c)⑵S=上应力边界条件,⑴A内相容方程第三章平面问题的直角坐标解答对于单连体(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由求应力的公式是(d)第三章平面问题的直角坐标解答逆解法(Inversemethod)──先满足(a),再满足(b)。步骤:(e)逆解法⑴先找出满足的解⑶在给定边界形状S下由式(b)反推出各边界上的面力⑵代入(d),求出第三章平面问题的直角坐标解答从而得出在面力(e)作用下的解答就是上述和应力。逆解法逆解法没有针对性但可以积累基本解答。第三章平面问题的直角坐标解答例逆解法设图中所示的矩形长梁l>>h试考察应力函数能解决什么样的受力问题?yxolhh(l>>h)第三章平面问题的直角坐标解答解:按逆解法。将代入相容方程可见是满足的。有可能成为该问题的解。由求出应力分量第三章平面问题的直角坐标解答因此在的边界面上无任何面力作用即由边界形状和应力分量反推边界上的面力。在主要边界(大边界)上第三章平面问题的直角坐标解答在x=l的次要边界(小边界)上第三章平面问题的直角坐标解答在x=,l小边界上的面力如下图中(a)所示而其主矢量和主矩如(b)所示。(a)(b)FFM=Fl第三章平面问题的直角坐标解答由此可得出结论:上述应力函数可以解决悬臂梁在x=处受集中力F作用的问题。F第三章平面问题的直角坐标解答例二次式分别表示常量的应力和边界面力。如图示。例一次式对应于无体力无面力无应力状态。故应力函数加减一次式不影响应力。逆解法aaoyxoyxoyxbbbbcc第三章平面问题的直角坐标解答对于图示圆薄板试考察应力函数能满足相容方程并求出应力分量(不计体力)画出边界面上的面力分量(弧面上用法向和切向表示)作业xy第三章平面问题的直角坐标解答⑶代入解出半逆解法(Semiinversemethod)步骤:半逆解法⑵由应力(d)式推测的函数形式⑴假设应力的函数形式(根据受力情况边界条件等)(d)第三章平面问题的直角坐标解答⑷由式(d)求出应力半逆解法⑸校核全部应力边界条件(对于多连体还须满足位移单值条件)。如能满足则为正确解答否则修改假设重新求解。第三章平面问题的直角坐标解答思考题半逆解法在单连体中应力函数必须满足哪些条件?逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的?试比较逆解法和半逆解法的区别。第三章平面问题的直角坐标解答半逆解法解题的基本步骤逆解法解题的基本步骤单连体给定满足相容方程的求出应力分量求出边界上的面力(合力)能解决什么问题第三章平面问题的直角坐标解答§矩形梁的纯弯曲梁l×h×无体力只受M作用(力矩单宽与力的量纲相同)。本题属于纯弯曲(Purebending)问题。问题提出hhlyx(l>>h)oMM第三章平面问题的直角坐标解答⑴由逆解法得出可取且满足⑵求应力(a)求解步骤:本题是平面应力问题,且为单连体若按求解应满足相容方程及上的应力边界条件。第三章平面问题的直角坐标解答⑶检验应力边界条件原则是:边界条件b后校核次要边界(小边界)若不能精确满足应力边界条件则应用圣维南原理用积分的应力边界条件代替。a先校核主要边界(大边界)必须精确满足应力边界条件。第三章平面问题的直角坐标解答主要边界从式(a)可见边界条件(b)均满足。满足。次要边界x=,l,(c)第三章平面问题的直角坐标解答次要边界用两个积分的条件代替的边界条件无法精确满足。次要边界x=,l,第三章平面问题的直角坐标解答当时即使在边界上面力不同于的分布其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足由第二式得出最终得应力解(e)αα第三章平面问题的直角坐标解答如果区域内的平衡微分方程已经满足且除了最后一个小边界外其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件(即主矢量、主矩的条件)必然是满足的因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第三章平面问题的直角坐标解答§位移分量的求出在按应力求解中若已得出应力如何求出位移?以纯弯曲问题为例已知试求解其位移。问题提出第三章平面问题的直角坐标解答由物理方程求形变求形变第三章平面问题的直角坐标解答代入几何方程求位移求位移第三章平面问题的直角坐标解答⑴对式(a)两边乘积分,⑵对式(b)两边乘积分,求位移第三章平面问题的直角坐标解答⑶再代入(c),并分开变量上式对任意的x,y都必须成立故两边都必须为同一常量。求位移第三章平面问题的直角坐标解答由此解出求位移得出位移为待定的刚体位移分量须由边界约束条件来确定。第三章平面问题的直角坐标解答由边界约束条件来确定刚体位移分量SimplysupportedbeamCantileverbeam??yxMMlyxMMl第三章平面问题的直角坐标解答代入几何方程积分求归纳:从应力求位移步骤:由边界约束条件确定确定刚体位移分量由物理方程求出形变第三章平面问题的直角坐标解答铅直线的转角故在任一截面x处平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论:弯应力与材料力学的解相同。纵向纤维的曲率同材料力学的结果。故在纯弯曲情况下弹性力学解与材料力学解相同。第三章平面问题的直角坐标解答思考题试证明刚体位移实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量并应用本节的解答加以验证。提示:微分体的转动分量为弹性力学中关于纯弯曲梁的解答与材料力学的解答在应力、形变等方面完全一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截面假设成立?第三章平面问题的直角坐标解答§简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载及两端支撑反力。。问题yxollhh第三章平面问题的直角坐标解答现采用此假设。按半逆解法求解。⑴假设应力分量。由材料力学因为因为所以可假设所以可假设因为所以可假设yxoll第三章平面问题的直角坐标解答⑵由应力分量推出应力函数的形式。由对x积分对x再积分(a)半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答⑶将代入相容方程求解:相容方程对于任何均应满足,故的系数均应等于由此得三个常微分方程。半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答式(b)中已略去对于的一次式。将式(b)代入式(a)即得。(b)半逆解法解出:第三章平面问题的直角坐标解答对称性条件─由于结构和荷载对称于轴故应为的偶函数为x的奇函数故。⑷由求应力。半逆解法在无体力下应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。yxoll第三章平面问题的直角坐标解答⑸考察边界条件。由此解出系数A,B,C,D。主要边界主要边界yxoll第三章平面问题的直角坐标解答次要边界次要边界由此解出HK另一次要边界(x=l)的条件自然满足。应用圣维南原理列出三个积分条件yxoll不满足第三章平面问题的直角坐标解答最后应力解答:应力第三章平面问题的直角坐标解答应力的量级当时,x~l同阶y~h同阶第一项同阶,(与材料力学解同)第二项同阶,(弹性力学的修正项)应力的量级第三章平面问题的直角坐标解答应力的量级当时,x~l同阶y~h同阶同阶,(与材料力学解同)应力的量级同阶,(材料力学中不计)第三章平面问题的直角坐标解答当时,量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较:最主要量级,和次要量级,在材料力学中均已反映且与弹性力学相同。最小量级~,在材料力学中没有。当时,仅占主项的(),应力比较中的弹性力学修正项:第三章平面问题的直角坐标解答弹性力学与材料力学的解法比较:应力比较弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第三章平面问题的直角坐标解答几何条件中引用平截面假定--沿为直线分布例如:边界条件也没有严格考虑平衡条件中没有考虑微分体的平衡只考虑的内力平衡材料力学解往往不满足相容条件。第三章平面问题的直角坐标解答对于杆件材料力学解法及解答具有足够的精度对于非杆件不能用材料力学解法求解应采用弹性力学解法求解。第三章平面问题的直角坐标解答当问题中的y轴为对称轴时试说明和应为x的偶函数而应为x的奇函数。思考题对于梁的弯曲问题试回忆在材料力学中是如何考虑平衡条件的?第三章平面问题的直角坐标解答试说明从弹性力学得出的解答()不符合平面截面假设。材料力学的解答往往不满足相容条件为什么?第三章平面问题的直角坐标解答§楔形体受重力及液体压力设有楔形体左面垂直顶角为α下端无限长受重力及齐顶液体压力。oyxnαα第三章平面问题的直角坐标解答用半逆解法求解。因为应力,而应力的量纲只比高一次(L)所以应力(x,y一次式),=即可假设应力为x,y的一次式。()用量纲分析法假设应力:第三章平面问题的直角坐标解答()由应力~关系式应为x,y的三次式()满足相容方程()由求应力第三章平面问题的直角坐标解答()考察边界条件本题只有两个大边界均应严格满足应力边界条件。x=铅直面解出解出第三章平面问题的直角坐标解答斜边界上须按一般的应力边界条件来表示有第三章平面问题的直角坐标解答其中由式(b)解出a、b,最后的应力解答,应力第三章平面问题的直角坐标解答水平截面上的应力分布如图所示。第三章平面问题的直角坐标解答楔形体解答的应用:作为重力坝的参考解答分缝重力坝接近平面应力问题在坝体中部的应力接近楔形体的解答。重力坝规范规定的解法材料力学解法(重力法)重力坝的精确分析可按有限单元法进行。第三章平面问题的直角坐标解答思考题重力法是按应力求解的试回忆应力分量必须满足哪些条件?在重力法中考虑了哪些条件?第三章平面问题的直角坐标解答例题例题例题例题例题例题例题例题第三章平面问题的直角坐标解答图ydyyxlhho例题设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用体力可以不计,图试用应力函数求解应力分量。第三章平面问题的直角坐标解答解:本题是较典型的例题已经给出了应力函数可按下列步骤求解。将代入相容方程显然是满足的。将代入式()求出应力分量。第三章平面问题的直角坐标解答考察边界条件:主要边界上应精确满足式(),第三章平面问题的直角坐标解答在次要边界x=上只给出了面力的主矢量和主矩应用圣维南原理用三个积分的边界条件代替。注意x=是负x面图中表示了负x面上的的正方向由此得:第三章平面问题的直角坐标解答第三章平面问题的直角坐标解答由(a),(b)解出最后一个次要边界条件(x=l上)在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的故不必再校核。第三章平面问题的直角坐标解答代入应力公式得第三章平面问题的直角坐标解答例题挡水墙的密度为厚度为b,图示,水的密度为试求应力分量。第三章平面问题的直角坐标解答解:用半逆解法求解。假设应力分量的函数形式。因为在y=b边界上y=b边界上所以可假设在区域内沿x向也是一次式变化即第三章平面问题的直角坐标解答按应力函数的形式由推测的形式所以第三章平面问题的直角坐标解答由相容方程求应力函数。代入得要使上式在任意的x处都成立必须第三章平面问题的直角坐标解答代入即得应力函数的解答其中已略去了与应力无关的一次式。第三章平面问题的直角坐标解答由应力函数求解应力分量。将代入式(),注意体力求得应力分量为第三章平面问题的直角坐标解答考察边界条件:主要边界上,有得得得第三章平面问题的直角坐标解答由上式得到第三章平面问题的直角坐标解答求解各系数由得得得得第三章平面问题的直角坐标解答由此得又有代入A,得第三章平面问题的直角坐标解答在次要边界(小边界)x=上列出三个积分的边界条件:由式(g),(h)解出第三章平面问题的直角坐标解答代入应力分量的表达式得最后的应力解答:第三章平面问题的直角坐标解答例题已知试问它们能否作为平面问题的应力函数?第三章平面问题的直角坐标解答解:作为应力函数必须首先满足相容方程将代入(a)其中A=才可能成为应力函数(b)必须满足(AE)C=,才可能成为应力函数。第三章平面问题的直角坐标解答图中所示的矩形截面柱体在顶部受有集中力F和力矩的作用试用应力函数例题求解图示问题的应力及位移设在A点的位移和转角均为零。第三章平面问题的直角坐标解答解:应用应力函数求解:()校核相容方程满足()求应力分量在无体力时得()考察主要边界条件均已满足第三章平面问题的直角坐标解答考察次要边界条件在y=上满足。得得第三章平面问题的直角坐标解答上述应力已满足了和全部边界条件因而是上述问题的解。代入得应力的解答第三章平面问题的直角坐标解答()求应变分量第三章平面问题的直角坐标解答()求位移分量第三章平面问题的直角坐标解答将u,v代入几何方程的第三式两边分离变量并全都等于常数即第三章平面问题的直角坐标解答从上式分别积分求出代入u,v,得第三章平面问题的直角坐标解答再由刚体约束条件得得得第三章平面问题的直角坐标解答代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=第三章平面问题的直角坐标解答例题图中矩形截面的简支梁上作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量。第三章平面问题的直角坐标解答解:应用上述应力函数求解:()将代入相容方程由此第三章平面问题的直角坐标解答()代入应力公式在无体力下得()考察主要边界条件第三章平面问题的直角坐标解答对于任意的x值上式均满足由此得(a)(b)(c)(d)第三章平面问题的直角坐标解答由()()得由()()得由()()得(e)第三章平面问题的直角坐标解答()考察小边界上的边界条件(x=),由得由式()和()解出(f)第三章平面问题的直角坐标解答另两个积分的边界条件显然是满足的。第三章平面问题的直角坐标解答于是将各系数代入应力表达式得最后的应力解答。第三章平面问题的直角坐标解答读者试校核在x=l的小边界上下列条件是满足的第三章平面问题的直角坐标解答例题矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩M的作用不计体力试用应力函数求解其应力分量。Mqqhyxobb第三章平面问题的直角坐标解答解:应用上述应力函数求解:()代入相容方程()求应力分量在无体力下第三章平面问题的直角坐标解答考察边界条件在主要边界在小边界(x=)第三章平面问题的直角坐标解答第三章平面问题的直角坐标解答再由(a),(b)式解出代入得应力解答第三章平面问题的直角坐标解答例题试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。第三章平面问题的直角坐标解答第三章平面问题的直角坐标解答解:应校核相容方程和边界条件若这些量均满足则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是第三章平面问题的直角坐标解答例题试用应力函数求解图中所示的半平面体在的边界上受均布切力q的问题。第三章平面问题的直角坐标解答第三章平面问题的直角坐标解答解:应校核相容方程和边界条件若这些量均满足则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是αα

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