湖南长沙市一中
2011届高三年级月考（五）
数学试题（理科）
时量：120分钟 满分：150分
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{－2,0,1}，集合B＝{x||x|
0，x＋
≥2的充分必要条件”，命题q：“ x0∈R，x
＋x0－2>0”，则下列命题正确的是 （ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧（┐q）”是真命题
C．命题“（┐p）∧q”是真命题
D．命题“（┐p）∧（┐q）”是真命题
5．已知cos（
－α）＝
，则sin（
－2α）的值为（ ）
A．
B．－
C．
D．－
6．已知函数f（x）＝ 2a（x≥2） 则f（log45）等于 （ ）
f（x+2）（x<2），
A．2
B．4
C．3
D．
7．已知实数x，y满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z＝y－ax（a∈R），若z取最大
2x-y-5≤0
值时的唯一最优解是（1,3），则实数a的取值范围是 （ ）
A．（0,1） B．（－1,0） C．（1，＋∞） D．（－∞，－1）
8．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
9．幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过（3，
），则f（x）的解析式是 ．
10．函数f（x）＝exlnx－1的零点个数是 个．
11．按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是 ．
12．数列{an}满足：a1＝2，an＝1－
（n＝2,3,4，…），则a12＝ ．
13．已知函数f（x）＝|x－2|，若 a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f（x）成立，则实数x的取值范围是 ．
14．在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则
＋
＋
＝0”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心．如果a
＋b
＋
c
＝0，则内角A的大小为 ；若a＝3，则△ABC的面积为 ．
15．给定集合A＝{a1，a2，a3，…，an}（n∈N ，n≥3），定义ai＋aj（1≤i
表
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示，若A＝{2,4,6,8}，则L（A）＝ ；若数列{an}是等差数列，设集合A＝{a1， a2，a3，…，am}（其中m∈N*，m为常数），则L（A）关于m的表达式为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品．
（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；
（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望．
17．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝2sinωx·cos（ωx＋
）＋
（ω>0）的最小正周期为4π．
（1）求正实数ω的值；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA＝acosC＋ccosA，求f（A）的值．
18．（本小题满分12分）
已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）是否存在k∈N*，使得bk－ak∈（0,1）？请说明理由．
19．（本小题满分13分）
某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11－x）2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．
（1）求该企业正常生产一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．
20．（本小题满分13分）
设函数y＝f（x）的定义域为（0，＋∞），且在（0，＋∞）上单调递增，若对任意x，y∈（0，＋∞）都有：f（xy）＝f（x）＋f（y）成立，数列{an}满足：a1＝f（1）＋1，f（
－
）＋f（
＋
）＝0．设Sn＝a
a
＋a
a
＋a
a
＋…＋a
a
＋a
a
．
（1）求数列{an}的通项公式，并求Sn关于n的表达式；
（2）设函数g（x）对任意x、y都有：g（x＋y）＝g（x）＋g（y）＋2xy，若g（1）＝1，正项数列{bn}满足：b
＝g（
），Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小．
21．（本小题满分13分）
定义F（x，y）＝（1＋x）y，其中x，y∈（0，＋∞）．
（1）令函数f（x）＝F（1，log2（x3＋ax2＋bx＋1）），其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0（－4F（y，x）．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1—5 ACDCB
6．B
解：∵11．
8．D
解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为A
A
＝12个．当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数．当千位是3，十位是5时，末位只能是4．此时共有2个波浪数．故所求概率P＝
＝
．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
9．f（x）＝x
．
10．1
11．（28,57] ．
解：当输出k＝2时，应满足 2x+1≤115，解得28115
12．－1 ．
解：由已知a1＝2，a2＝1－
＝
，a3＝1－
＝－1，a4＝1－
＝2，
可知{an}是周期为3的周期数列，则a12＝a3×4＝a3＝－1．
13． [0,4] ．
解：|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f（x）及a≠0得f（x）≤
恒成立，
而
≥
＝2，则f（x）≤2，从而|x－2|≤2，解得0≤x≤4．
14．
．
解：由a
＋b
＋
c
＝a
＋b
＋
c（－
－
）
＝（a－
c）＋（b－
c）
＝0．
又
与
不共线，则a＝
c＝b，由余弦定理可求得cosA＝
，故A＝
．
又S△＝
bcsinA＝
×3×3
×
＝
．
15． 2m－3 ．
解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L（A）＝5．
②不妨设数列{an}是递增等差数列可知a1m时，ai＋aj＝ai＋j－m＋am，
因此每个和ai＋aj（1≤i0，∴bn＝
，（9分）
∴Tn＝
＋
＋…＋
＝1－
，又4Sn＝1－
．
当n＝1,2,3,4时，4n＋1>2n，
∴4Sn>Tn；（10分）
当n≥5时，2n＝C
＋C
＋C
＋…＋C
＋C
>1＋2n＋2
＝1＋n2＋n．
而n2＋n＋1－（4n＋1）＝n2－3n＝n（n－3）>0，故4Sn0，f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
3x20+2ax0+b=-8 ①
∴存在实数b使得 -40 ③
由①得b＝－8－3x
－2ax0，代入③得－2x
－ax0－8<0，
∴由 2x20+ax0+8>0 有解，
-4< x0<-1
得2×（－4）2＋a×（－4）＋8>0或2×（－1）2＋a×（－1）＋8>0，
∴a<10或a<10，∴a<10．（5分）
（2）∵g（x）＝（lnx－1）ex＋x，
∴g′（x）＝（lnx－1）′ex＋（lnx－1）（ex）′＋1＝
＋（lnx－1）ex＋1
＝（
＋lnx－1）ex＋1．（6分）
设h（x）＝
＋lnx－1．则h′（x）＝－
＋
＝
，
当x∈[1，e]时，h′（x）≥0．
h（x）为增函数，因此h（x）在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，
即
＋lnx－1≥0．
当x0∈[1，e]时，ex0>0，
＋lnx0－1≥0，
∴g′（x0）＝（
＋lnx0－1）ex0＋1≥1>0．（8分）[来源:]
曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x0）＝0有实数解．
而g′（x0）>0，即方程g′（x0）＝0无实数解．
故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直．（9分）
（3）证明：令h（x）＝
，x≥1，
由h′（x）＝
，
又令p（x）＝
－ln（1＋x），x≥0，
∴p′（x）＝
－
＝
≤0，
∴p（x）在[0，＋∞）上单调递减，
∴当x>0时，有p（x）
，
∴yln（1＋x）>xln（1＋y），∴（1＋x）y>（1＋y）x，
∴当x，y∈N ，且xF（y，x）．（13分）
浙公网安备 33021202002483